N(0,1) Verteilung

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Domiak Auf diesen Beitrag antworten »
N(0,1) Verteilung
X und Y seien unabhängig N(0,1)-verteilte Zufallsvariablen. Wie lautet dann die gemeinsame Dichte von X und Y/X sowie die Dichte von Y/X

Kann mir jemanden einen Ansatz dazu verraten?
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: N(0,1) Verteilung
Kennst du die Transformationsformel der W-Dichten für Z=g(X), wobei X und Z stetige Zufallsvektoren gleicher Dimension sind und g eine (fast sicher) eineindeutige Funktion?
gast Auf diesen Beitrag antworten »

für den eindim. Fall haben wir die gehabt.
Problem ist bei mir wie man das mit gemeinsamen verteilungen macht
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Bei Dimension d>=1, also X=(X_1,...,X_d) und Z=(Z_1,...,Z_d) läuft das so:

Sei also Z=g(X) und h die Umkehrfunktion, d.h., X=h(Z).

g und h müssen nicht überall, aber fast überall definiert sein (ich hoffe, das sagt dir was - wenn nicht, Erklärung später).

Dann kann man die Dichte des Zufallsvektors Z an der Stelle z=(z_1,...,z_n) durch



berechnen, dabei ist J(z) die Jacobische Funktionaldeterminante:



Dabei ist h(z)=(h_1(z),h_2(z),...,h_d(z)) die Zerlegung der vektorwertigen Funktion h in reelle Komponenten.

----------------

In deinem Fall ist d=2 und

daraus kannst du dann g und h zusammenbauen, J berechnen, um dann schließlich bei f_Z zu landen.

Viel Spaß! Teufel
Domiak Auf diesen Beitrag antworten »

So weit bin ich nun:







wie sieht f_X(h(z) aus? fürchte ich hab den faden verloren!!!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

f_X ist die gemeinsame Verteilung von X und Y, zweier unabhängiger Normalverteilungen (die solltest du eigentlich kennen):



Und jetzt setzt du



da ein.

EDIT:

Ich hab grad noch einen Fehler in deiner Jacobischen Funktionaldeterminante entdeckt:

 
 
Domiak Auf diesen Beitrag antworten »



muss ich "g und h müssen nicht überall, aber fast überall definiert sein" noch ansprechen?

(2. Teil)







AD Auf diesen Beitrag antworten »

Kleine Korrektur:



Du hast die Betragsstriche vergessen! (Nicht bei der Determinante, da stehen sie noch nicht - aber beim Einsetzen in die Dichteformel von f_Z.)


Den Rest bitte völlig streichen:

Zitat:
Original von Domiak
(2. Teil)









Du hast doch bereits alles berechnet!

Nochmal zur Einordnung:

Transformationsfunktion:

(Für x_1=0 ist g zwar nicht definiert, da aber gilt - wie übrigens bei jeder stetigen Zufallsgröße - macht das nichts! Das ist mit "fast überall" gemeint!)

Umkehrtransformation:

(h ist also einfach die Umkehrfunktion, d.h., es gilt h(g(x_1,x_2))=(x_1,x_2) für alle (x_1,x_2) mit x_1 ungleich Null.)

Damit ist der erste Teil der Aufgabe (gemeinsame Verteilung von X und Y/X) fertig - f_Z ist die gesuchte Dichte.

Für den zweiten Teil (nur Verteilung von Y/X) kannst du das eben ermittelte Ergebnis nutzen, schließlich ist Y/X die zweite Komponente des Vektors (X,Y/X) - Stichwort Randverteilung.

P.S.: Auch mich hat der Fehlerteufel Teufel dazu gebracht, allein diesen Beitrag dreimal editieren zu müssen. Augenzwinkern
Domiak Auf diesen Beitrag antworten »

Ach das mit der Rechnung kann ich erklären das wort sowie hat mich verunsichert dachte es wäre gemeint einmal X und Y/X , dann 2) X und X/Y..randverteilungen haben wir noch nicht, hinkt sehr der prof.
Domiak Auf diesen Beitrag antworten »

na toll hab mich gestern abend so spät auch noch verlesen. meine rechnung ist völliger unsinn!!!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Unsinn, das (korrigierte) f_Z stimmt!

Na, wenn ihr mit Randverteilungen noch nicht so weit seid, dann präsentiere ich das schon mal hier - kannst du ja dann später mit der Vorlesung vergleichen (doppelt genäht hält besser).


Randverteilung eines zweidimensionalen Vektors ist einfach die Verteilung einer Komponente (d.h., die andere Komponente darf beliebige Werte annehmen).

Für die entsprechende Randdichte von Z_2 eines zweidimensionalen stetigen Vektors Z=(Z_1,Z_2) bedeutet das dann, dass man die erste Komponente Z_1 "herausintegriert":

Domiak Auf diesen Beitrag antworten »



und das soll ich integrieren? - Denke ja





da kann was nicht stimmen (ist viel arbeit das mit editor richtig zu schreiben)
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Domiak


als Stammfunktion ist die rechte Seite falsch - sie hat einen Sprung bei z_1=0, das darf bei Stammfunktionen nie passieren!!!

Außerdem ist bereits ein Vorzeichenfehler innerhalb e^{...} des Integranden.

Wenn du mit dem Betrag nicht zurecht kommst, dann werte doch das Integral getrennt von -Unendlich bis 0, und dann nochmal von 0 bis +Unendlich aus.
(EDIT: Ich seh in der zweiten Zeile, dass du das versucht hast, aber durch einen weiteren Vorzeichenfehler gescheitert bist.)



Mehr konzentrieren! Lehrer
Domiak Auf diesen Beitrag antworten »

hm irgendwie arbeite ich sehr schlecht, gestern verlesen, heute vorzeichenfehler *Argh*

stimmt die stammfkt bis auf das eine vorzeichen nicht?

e^{-z_1^2/2-(z_1*z_2)^2/2}=e^{z_1^2(-1-z_2^2)^2/2} ableiten ergibt : 2*z_1*(-1-z_2^2)^2/2*e^{z_1^2(-1-z_2^2)^2/2}


den e-ausdruck lasse ich stehen und teile den Integranden durch z_1*(-1-z_2^2)^2 dadurch ergibt sich ein signum oben....nachher wollte ich das splitten
kann leider die beiträge nicht edieren, und formeleditor ist recht mühsam
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Editieren musst du dich hier registrieren - ist kein Akt, also mach mal!

Jetzt stimmt die Integration. Und richtig, du kannst die mit sgn(...) versehene Stammfunktion nutzen, aber jeweils nur getrennt auf der negativen und positiven Achse.
Domiak Auf diesen Beitrag antworten »

nach rechnung kommt dann folgendes raus:

ist die Dichtefkt für die 2. komponente
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Freude

Nennt sich auch (Standard-)Cauchy-Verteilung, fallst du mal danach suchst:

http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Verteilung
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