Vollständige Induktion

Neue Frage »

Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion
Hallo

Wie würde man wohl bei der Lösung der folgenden Aufgabe vorgehen ?
Ich bin der Meinung, dass einfaches Zeigen der Tatsache, dass durch 3 teilbar ist eigentlich zu wenig ist, da dadurch ja nicht bewiesen ist, dass man die Winkelsteine so aufteilen kann, dass keine Freiräume auftreten, denn wenn man diese "ungeschickt" anordnet hat man ja mindestens mal drei irgendwo verteilte Einheitsquadrate, die nicht bedeckt sind.



Jemand eine Idee ?

Gruß Björn
JuleLE Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion
Hey Björn!

Lustiges Problem!

Also, die Bemerkung der völlständigen Induktion in der Aufgabenstellung ist der Trick!

Induktionsanfang:
n=1:
Bei Q_1 ist es ja kein Problem. Da kann der Quadratstein liegen wo er will und man fügt das Winkelelement hinzu.

n=2:
Q_2 kann man in 4 Q_1-Felder zerlegen. Der Quadratstein liegt also wieder in genau einem Q_1-Feld. Der erste Winkelstein wird so eingefügt, dass genau dieses Q_1-Feld ausgefüllt ist. Übrig bleiben 3 völlig leere Q_1-Felder. Da wir nur auffüllen können, wenn in den Q_1-Feldern je ein Quaderelement liegt, wird der nächste Winkelstein so platziert, dass in jedem Q_1-Feld genau ein Quadrat belegt wird. Danach wird in jedem Q_1-Feld verfahren wie bei n=1.


Induktionsvoraussetzung:
Es gelte die Behauptung für n.

Induktionsschritt:
Ein Quadrat Q_(n+1) kann in 4 Q_n-Felder zerlegt werden. Zunächst wird das Q_n-Feld aufgefüllt, in dem der Quadratstein liegt (dies funktioniert laut Induktionsvoraussetzung). Danach wird ein Winkelstein so platziert, dass in jedem Q_n-Feld ein Quadrat belegt wird. Diese 3 Felder können dann ebenfalls nach Induktionsvoraussetzung mit Winkelsteinen befüllt werden.


Ich hoffe das ist nicht zu wirr beschrieben....
Liebe Grüße
Jule
 
 
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo JuleLE

Bin zwar spät dran aber wollte mich noch ganz herzlich für deine tolle Hilfe bedanken. Hast mir wirklich sehr weiter geholfen smile

Gruß Björn
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Hab den Thread erst jetzt entdeckt und will nur folgenden Kommentar hinzufügen:

Wenigstens ein, zwei solche Beispiele wie das hier sollten möglichst auch in Schulen gebracht werden, wenn Vollständige Induktion (VI) an der Reihe ist, statt immer nur dieselben Summenformeln oder Ungleichungen nachzuweisen. Damit die Schüler sehen, dass VI viel mächtiger und universeller einsetzbar ist. Freude
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »