Höhenvektor Dreieck - Seite 2

10.01.2005, 23:32

riwe

@hallo verzweifelter, tokitoks
man darf nicht das, was uns unwahrscheinlich und unnatürlich erscheint, mit dem verwechseln, was absolut umöglich ist (kant), daher hoffe ich auf eine antwort smile

wenn du mein herz mit kant erweichst, wollen wir es mal versuchen.

dein problem ist, zu zeigen, dass die 3 punkte H(öhenschnittpunkt); S(chwerpunkt) und U(mkreismittelpunkt) auf einer geraden e (eulersche gerade) liegen.

wenn du die beiträge von leopold, artur dent ...genau gelesen hast, muß klar sein, dass es genügt, dies in der ebene zu zeigen, da das koo-system immer so gewählt werden kann, dass die z-komponente = 0 ist.
(das dreieck spannt ja eine ebene auf, sollte es zumindest).

weiters wählen wir die einheiten obda so, wie du angegeben hast, daher
A(0/0), B(1/0) und C(c_1/c_2).

1.) schwerpunkt
die schwerelinien verbinden die seitenmittelpunkte mit dem gegenüberliegenden eckpunkten.
$\begin{eqnarray*} M_c(\frac{1}{2}/0)\;,\;M_a( \frac{c_1+1}{2}/ \frac{c_2}{2} ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_a:\;\vec{x} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} c_1+1\\ c_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_c:\;\vec{x} =\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 2c_1-1\\ 2c_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
dieses gleichungssystem liefert für den schnittpunkt H die parameter t = 1/3 bzw. s = -1/3 und damit
$\begin{eqnarray*} S(\frac{c_1+1}{3} /\frac{c_2}{3} ) \end{eqnarray*}$

2.) Höhenschnittpunkt
die höhen stehen senkrecht auf die entsprechenden seiten
$\begin{eqnarray*} \vec{AB} =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \vec{h_c}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \;,\;\vec{h_a}=\begin{pmatrix} c_2 \\ 1-c_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h_c:\;\vec{x} =\begin{pmatrix} c_1\\ c_2\end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h_a:\;\vec{x} =\begin{pmatrix} 0\\ 0\end{pmatrix}+s \begin{pmatrix} c_2\\ 1 -c_1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
mit s = c1/c2 erhält man
$\begin{eqnarray*} H(c_1/\frac{c_1}{c_2} (1-c_1)) \end{eqnarray*}$

3.) Umkreismittelpunkt
ist der schnittpunkt der seitensenkrechten, seitenmitte und senkrechte sind ja bereits bekannt.
$\begin{eqnarray*} u_a:\;\vec{x} =\begin{pmatrix} \frac{c_1+1}{2} \\ \frac{c_2}{2} \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} c_2 \\ 1-c_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u_c:\;\vec{x} =\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\0 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
woraus man erhält
$\begin{eqnarray*} U(\frac{1}{2} /\frac{c_1^{2}+c_2^{2}-c_1}{2c_2} ) \end{eqnarray*}$

4.) eulersche gerade
die gerade durch H und S lautet
$\begin{eqnarray*} e:\;\vec{x} =\begin{pmatrix} \frac{c_1+1}{3} \\ \frac{c_2}{3} \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} \frac{2c_1-1}{3} \\ \frac{c_1}{c_2}(1-c_1)-\frac{c_2}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
durch einsetzen von U erhält man aus der 1. gleichung t = -1/2 und verifiziert damit aus der 2., dass U auf e liegt.

das war latexmäßig ziemlich schweißtreibend
ich hoffe, ich habe mich nicht allzu oft vertippt
und es war eine kleine hilfe,
bitte unbedingt alles nachrechnen!!!!

werner

11.01.2005, 12:54

kikira

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: spezielles beispiel

Zitat:

Original von wernerrin
hallo kiki,
aber wenn man ganz unten ist, geht es immer aufwärts
werner

Du bist wirklich lieb, Werner! Und wie gut, dass wir in Österreich wohnen, wo es hohe Berge gibt. Sonst hätt ich ja gar keine Möglichkeit, wieder bergauf zu hatschen, hihi.

Aber Leopold hat schon Recht damit, wenn er sagt, dass man eher die Finger davon lassen soll, wenn man dilettiert (auch wenn dieser Fehler ein Huschdiwuschdifehler war), bevor man falsche Informationen gibt. Denn der Endeffekt ist derselbe: der Schüler hat das Nachsehen.
Deswegen:

Bye an alle
und baba an dich, Werner

lg kiki

11.01.2005, 14:23

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: spezielles beispiel
hallo kiki,
ich bin da nicht so pragmatisch,
fehler sind dazu da, dass man/ frau sie macht.

außerdem ist meines wissen die derzeitige lehrmeinung die, dass man NUR durch fehlern lernt.

und schlußendlich ist es wohl so, wenn man nur auf die hilfe der olympier wartet, muß man oft lange oder zu lange warten, und dann sprigt halt die halbgöttin kiki ein
lg werner

18.01.2005, 13:47

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: spezielles beispiel
vielleicht gefällt es auch anderen, erstellt mit euklid
ortslinie von C, wenn e parallel c
werner

« vorherige Seite 12

Neue Frage »

Antworten »

Höhenvektor Dreieck - Seite 2

Verwandte Themen