Wahrscheinlichkeitsraum im Roulette

10.05.2007, 16:05

VinSander82

Wahrscheinlichkeitsraum im Roulette

Hi Dudes, ich soll eienn Wahrscheinlichkeitsraum für das Roulette - Spielaufstellen und de Wahrscheinlichkeiten der EReignisse bestimmen

Vielleicht kann mir einer von euch Kollegen helfen

viell. erstmal die ersten aufgaben zu schnallen und den rest würd ich gern versuchen und euch dann noch ma fragen ob's so ok ist!

also a) A:= "Impair" = $\begin{eqnarray*} \{1,3,5 ...,33,35\} \end{eqnarray*}$

b) you will see soon geschockt

lg vinni

12.05.2007, 03:56

VinSander82

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RE: Wahrscheinlichkeitsraum im Roulette
äääähm hallo ist da vielleicht jemand anwesend, wäre super nett

wenn ihr mich nicht helfen wollt, dann sagt es wenigstens

lg vinni

12.05.2007, 07:32

Newton2

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Hallo!

Du sollst einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum für das Roulette angeben. Schau dir dazu erstmal die Definition eines Wahrscheinlichkeitsraumes an:

Ein Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einem Tripel $\begin{eqnarray*} (\Omega, \Sigma, P) \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ist dabei die Menge aller Elementarereignisse, also
$\begin{eqnarray*} \Omega = \{0, 1, 2, 3, ... , 36\} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Sigma \end{eqnarray*}$ ist die Ereignisalgebra. Sie ist eine Menge von Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ .
Die $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra muss folgende Bedingungen erfüllen:
1. $\begin{eqnarray*} \Omega \in \Sigma \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} S \in \Sigma \Rightarrow \Omega \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} S \in \Sigma \end{eqnarray*}$
Mit jedem S liegt auch das Komplement in der Ereignisalgebra.
3. $\begin{eqnarray*} S_{1}, S_{2}, ..., S_{n} \in \Sigma \Rightarrow \bigcup S_{i} \in \Sigma \end{eqnarray*}$
Die Vereinigungsmenge der Teilmengen liegt auch in der Ereignisalgebra.

Dabei ist $\begin{eqnarray*} \Sigma = \{\emptyset, \Omega\} \end{eqnarray*}$ die kleinste Ergebnisalgebra und $\begin{eqnarray*} \Sigma = \{P(\Omega)\} \end{eqnarray*}$ die größte Ereignisalgebra.

Das Wahrscheinlichkeitsmaß P ordnet einem Ereignis der Ereignisalgebra einen reellen Wert zwischen 0 und 1 zu, wobei
1. $\begin{eqnarray*} P(\Omega) = 1 \end{eqnarray*}$
2. Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung disjunkter Ereignisse ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse.

12.05.2007, 19:47

VinSander82

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vertseh leider nur bahnhof mein freund, vieleicht schritt für schritt für den anfang

das wär super

lg vinni

14.05.2007, 19:00

VinSander82

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heeej jungs, kommt schon wenn ihr wirklich keine lust habt mir zu helfen , dann seit wenigstens fair genug ... und sagt mir das Gott

14.05.2007, 20:05

Leopold

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Das Roulette-Spiel hat meines Wissens (ich bin kein Spieler!) 37 Ausgänge, die alle gleichwahrscheinlich sind. Es liegt also ein sogenannter Laplace-Raum vor. Die 37 Ausgänge $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ kann man durch die 37 Zahlen $\begin{eqnarray*} 0,1,2,...,36 \end{eqnarray*}$ repräsentieren. Dann ist

$\begin{eqnarray*} \Omega = \left\{ 0 , 1 , 2 , \ldots , 36 \right\} \end{eqnarray*}$

der Ergebnisraum. Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses $\begin{eqnarray*} \{ \, \omega \, \} \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} P(\omega) = \frac{1}{37} \end{eqnarray*}$

Zur Schreibvereinfachung habe ich mir die Mengenklammern um $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ erspart. Ereignisse sind alle Teilmengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ . Die Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ berechnet sich wegen der Additivität gemäß

$\begin{eqnarray*} P(A) = \sum_{\omega \in A}~P(\omega) \end{eqnarray*}$

Da nun aber alle $\begin{eqnarray*} P(\omega) = \frac{1}{37} \end{eqnarray*}$ sind, heißt das

$\begin{eqnarray*} P(A) = \sum_{\omega \in A}~\frac{1}{37} = \frac{|A|}{37} \end{eqnarray*}$

Die senkrechten Striche bedeuten die Mächtigkeit der Menge. Das ist also wie in jedem Laplaceraum:

$\begin{eqnarray*} P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{\mbox{Anzahl der für} \ A \ \mbox{günstigen Ausgänge}}{\mbox{Anzahl der möglichen Ausgänge}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ mit dem so definierten $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ bestimmt den Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} (\Omega,P) \end{eqnarray*}$ . Wenn du noch die Ereignisalgebra in die Bezeichnung mitaufnehmen willst, dann hast du $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{P}(\Omega),P) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}(\Omega) \end{eqnarray*}$ die Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ bezeichnet. Mengensysteme komplizierterer Logik wie Sigma-Algebren sind nicht erforderlich, solange man nur endliche Wahrscheinlichkeitsräume betrachtet.

14.05.2007, 20:11

VinSander82

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Danke erst einmal, das wenigstens einer antwortet .. ist echt cool

ich wollt dich ma fragen was ein laplace-raum ist

lg vinni

14.05.2007, 20:48

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Zitat:

Original von Leopold
Mengensysteme komplizierterer Logik wie Sigma-Algebren sind nicht erforderlich, solange man nur endliche Wahrscheinlichkeitsräume betrachtet.

Erforderlich sind sie schon, aber es ist eben de facto immer die Potenzmenge. Augenzwinkern

Übrigens nicht nur bei endlichen, sondern auch bei abzählbaren $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ .

Insofern war die starke Betonung auf das Ereignissystem bei Newton2 wirklich nicht nötig, das kann man sich für überabzählbare $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ aufheben.

14.05.2007, 22:48

Leopold

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Zitat:

Original von VinSander82
ich wollt dich ma fragen was ein laplace-raum ist

Ein Laplace-Raum ist ein Wahrscheinlichkeitsraum, bei dem alle Ausgänge dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzen.

Für das Roulette macht man diese Laplace-Annahme. Beweisbar ist so etwas allerdings nicht. Aber der gesunde Menschenverstand sagt einem, daß bei fairer Apparatur kein Ausgang vor einem anderen ausgezeichnet ist (Symmetrie), so daß auf lange Sicht gesehen jeder gleich oft vorkommt. Bei der Modellbildung unterstellt man daher gleiche Wahrscheinlichkeit für die Ausgänge.

Ein Wahrscheinlichkeitsraum muß natürlich kein Laplace-Raum sein. Nimm eine Urne mit 3 weißen (w) und 7 schwarzen (s) Kugeln und ziehe zweimal mit Zurücklegen, wobei nur die Farbe der Kugeln interessieren möge. Dann sind die Ausgänge ss,sw,ws,ww, der Ergebnisraum ist also vierelementig:

$\begin{eqnarray*} \Omega = \left\{ ss , sw , ws , ww \right\} \end{eqnarray*}$

Nach den Pfadregeln sind die Wahrscheinlichkeiten

$\begin{eqnarray*} P(ss) = 0{,}49 \, ; \ \ P(sw) = 0{,}21 \, ; \ \ P(ws) = 0{,}21 \, ; \ \ P(ww) = 0{,}09 \end{eqnarray*}$

Die Werte sind nicht gleich groß. Es liegt kein Laplace-Raum vor. (Allerdings arbeitet hier ein Laplace-Raum im Hintergrund. Welcher?)

@ Arthur

Der Schwerpunkt meiner Aussage lag auf "komplizierterer Logik", weil ja Forderungen wie die Abgeschlossenheit gegenüber abzählbaren Vereinigungen bei endlicher Ereignisalgebra unnötig sind.

21.05.2007, 22:50

VinSander82

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P(A)= $\begin{eqnarray*} \frac{18}{37} \end{eqnarray*}$

21.05.2007, 23:22

Lazarus

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Diese Wahrscheinlichkeit stimmt.

28.10.2007, 19:53

Timeless44

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is vielleicht schon ein bisschen alt aber ich möchte gerne wissen wie man auf

P(ww) = 0.09 kommt. Ich hab da

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix}7 \\ 0 \end{pmatrix} / \begin{pmatrix} 11 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ damit ist bei mir P(ww) = 0.05

29.10.2007, 18:26

Timeless44

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kann mir denn keiner einen tipp geben?

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