Aufgabe, die ich nicht komplett gelöst bekomm

Neue Frage »

bene_ Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe, die ich nicht komplett gelöst bekomm
Hallo, folgende Aufgabe haben wir bekommen:

x senkrecht zu y ist äquivalent zu [latex]\mid x + \lambda y \mid \geq \mid x \mid \forall \lambda \in \mathbb R bzw \mathbb C[/latex]

So, die Hinrichtung hab ich hinbekommen. Einfach beide Seiten der Gleichung quadrieren, Pythagoras unter der Annahme x senkrecht auf y anwenden und dann steht schon alles da.

Mit der Rückrichtung tu ich mir aber grad schwer. Kann mir da jemand nen Tipp geben.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe, die ich nicht komplett gelöst bekomm
Woraus sind denn x und y? Was ist |.| ? verwirrt
 
 
bene_ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe, die ich nicht komplett gelöst bekomm
Ok, hätt ich dazuschreiben sollen. x und y sind Vektoren eines Vektorraums mit Skalarprodukt und |.| ist der Betrag.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe, die ich nicht komplett gelöst bekomm
Besser ist das Augenzwinkern Endlichdimensional?
bene_ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe, die ich nicht komplett gelöst bekomm
Das steht nicht direkt in der Aufgabe, aber ich geh mal davon aus. So genau kenn ich mich da noch nicht aus, würde dass denn einen Unterschied machen?
bene_ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe, die ich nicht komplett gelöst bekomm
Also, für reelle Lambda hab ich es bewiesen bekommen:

wähle [latex]\lambda =-\frac{<x,y>}{\mid y \mid ^2} [/latex]

1. Trivialfall: x senkrecht y:
=> Lambda = 0
=> [latex]|x| \geq |x|[/latex]
w.A.

2. Fall: x nicht senkrecht y:

[latex]<x+\lambda y,x+\lambda y>   \geq   <x,x>[/latex] Beide Seiten quadriert

[latex]<x,x> + <x,\lambda y> + <\lambda y,x> + <\lambda y,\lambda y> \geq <x,x>[/latex]

[latex]2\cdot \lambda <x,y> + \lambda ^2|y|^2 \geq 0[/latex]

[latex]-2\frac{<x,y>}{\mid y \mid ^2}<x,y> + \frac{<x,y>^2}{\mid y \mid ^4}|y|^2 \geq 0[/latex]

[latex]<x,y>^2 \geq 2\cdot <x,y>^2[/latex]

=> falsche Aussage
=> Annahme war falsch
=> x ist doch senkrecht auf y

So, das müsste im Reellen stimmen. Aber im Komplexen gelten doch die Umformungen nicht mehr so einfach. Das hab ich nicht hinbekommen.

edit: ich seh grad, dass das jetzt doch ziemlich unübersichtlich ausschaut. Ich hoff man kann trotzdem einigermaßen meine Schritte nachvollziehen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe, die ich nicht komplett gelöst bekomm
Ich neige dazu unter einem Vektorraum schnell man den beliebten [latex]\mathbb K^n[/latex] zu verstehen. Der ist eben endlichdimensional. Und wenn das so nicht dasteht, darf ich es auch nicht darauf einschränken Augenzwinkern

Also, die Aufgabe lautet dann:

[latex]\text{Sei V ein } \mathbb R (\mathbb C)\text{-Vektorraum V mit Skalarprodukt} <,>.[/latex]

[latex]\text{Dann gilt für  }x,y \in V:[/latex]

[latex] x \perp y ~\Leftrightarrow~ ||x+\lambda \cdot y||\geq ||x||\quad \forall~ \lambda \in \mathbb R(\mathbb C)[/latex]



Es ist nun durch [latex]||.|| :=\sqrt{<,>}[/latex] eine Norm definiert. Es sind 2 Richtungen zu zeigen.

reeller Fall

"[latex]\Rightarrow[/latex]: "[latex] x \perp y ~\Rightarrow~ ||x+\lambda \cdot y||\geq ||x||\quad \forall~ \lambda \in \mathbb R[/latex]
*****************************************
Nun wenden wir die Rechengesetze des Skalarprodukts an.

[latex]||x+\lambda\cdot y|| &&= \sqrt{<x+\lambda\cdot y,x+\lambda\cdot y>} \\&&=... \\&& = \sqrt{<x,x>+\lambda <x,y> + \lambda<x,y> + \lambda ^2 <y,y>} \\ \text{ Mit } x \perp y \\&&=\sqrt{<x,x>+\lambda ^2 <y,y>} \\ &&\geq \sqrt{<x,x>}[/latex]


"[latex]\Leftarrow[/latex]: "[latex] x \perp y ~\Leftarrow~ ||x+\lambda \cdot y||\geq ||x||\quad \forall~ \lambda \in \mathbb R[/latex]
******************************************
Dies ist äquivalent zum Beweis von

[latex] \neg x \perp y ~\Rightarrow ~\exists \text{ mind. ein } ~ \lambda \in \mathbb R \text{ mit } ||x+\lambda \cdot y||< ||x||[/latex]

So ganz steig ich bei Dir nicht durch... Warum folgt aus der Orthogonalität, dass Lambda 0 sein muss? Es soll doch für alle Lambda gelten verwirrt Welche Beweisrichtung bist Du denn nun angegangen? Richtung 2 habe ich mal nur der Fallunterscheidung wegen hingeschrieben, aber noch ohne Lösung.
bene_ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe, die ich nicht komplett gelöst bekomm
Also meine Hinrichtung nochmal komplett (ich hoff das ist so auch richtig):


[latex] x \perp y ~\Rightarrow~ <x,y> = 0[/latex]

[latex]|x+\lambda \cdot y|\geq |x|\quad[/latex]

[latex]\Leftrightarrow~ |x+\lambda \cdot y|^2 \geq |x|^2[/latex]

[latex]\Leftrightarrow~ |x|^2+|\lambda \cdot y|^2 \geq |x|^2 ~~\text{gilt weil}~ x \perp y~\text{und dann mit Pythagoras umgeformt}[/latex]

[latex]\Leftrightarrow~ |\lambda \cdot y|^2 \geq 0[/latex]

w.A. qed


Für die Rückrichtung muss ich mir das jetzt nochmal anschauen. Folgendes von dir wir mir dabei wohl helfen:
[latex] \neg x \perp y ~\Rightarrow ~\exists \text{ mind. ein } ~ \lambda \in \mathbb R \text{ mit } ||x+\lambda \cdot y||< ||x||[/latex]
So ähnlich hab ich mit das schon gedacht, ich bin nur selbst überhaupt nicht drauf gekommen.
Das mit dem Lambda, da haben wir dann noch den Tipp bekommen, dass wir für Lambda mal [latex]-\frac{<x,y>}{\mid y \mid ^2} [/latex] wählen sollen und dass dann probieren.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe, die ich nicht komplett gelöst bekomm
Mit der Rückrichtung kannst du dir das, was bei mir in a) steht zu Nutze machen. Also die Anwendung der Rechenregeln für das Skalarprodukt. Jetzt fallen die beiden in der Mitte eben nicht weg, aber man bekommt eine doppelt Ungleichung. Einen Tipp hast Du schon. Die andere Schranke bekommt man über die Nullstellen ein quadr. Polynoms in lamdba.

Es reicht ja aber im Grunde, wenn man ein Lambda findet. Es müssen ja nicht alle möglichen angegeben werden Augenzwinkern

Nun zu deiner a) Ich weiß nicht, warum ihr das mit |.| schreibt. Finde ich irreführend, da wir Vektoren und Skalare haben. Ich bevorzuge da meine Schreibweise. Augenzwinkern
hxh Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe, die ich nicht komplett gelöst bekomm
Zitat:
Original von tigerbine

reeller Fall

"[latex]\Rightarrow[/latex]: "[latex] x \perp y ~\Rightarrow~ ||x+\lambda \cdot y||\geq ||x||\quad \forall~ \lambda \in \mathbb R[/latex]
*****************************************
Nun wenden wir die Rechengesetze des Skalarprodukts an.

[latex]||x+\lambda\cdot y|| &&= \sqrt{<x+\lambda\cdot y,x+\lambda\cdot y>} \\&&=... \\&& = \sqrt{<x,x>+\lambda <x,y> + \lambda<x,y> + \lambda ^2 <y,y>} \\ \text{ Mit } x \perp y \\&&=\sqrt{<x,x>+\lambda ^2 <y,y>} \\ &&\geq \sqrt{<x,x>}[/latex]


"[latex]\Leftarrow[/latex]: "[latex] x \perp y ~\Leftarrow~ ||x+\lambda \cdot y||\geq ||x||\quad \forall~ \lambda \in \mathbb R[/latex]
******************************************


Diesen Beweis kann ich gut nachvollziehen, nur die Rückführung


"[latex]\Leftarrow[/latex]: "[latex] x \perp y ~\Leftarrow~ ||x+\lambda \cdot y||\geq ||x||\quad \forall~ \lambda \in \mathbb R[/latex]

versteh ich nicht.

Außerdem hab ich beim hinbeweis quadriert, das ist doch ok oder? ist ja analog zu dem was da steht
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe, die ich nicht komplett gelöst bekomm
Zitat:
Original von hxh

Außerdem hab ich beim hinbeweis quadriert, das ist doch ok oder? ist ja analog zu dem was da steht


Das sollte auch gehen.
hxh Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Frage zum Rückbeweis. Ob ich das jetzt richtig verstanden habe.

Ich mache prinzipiell das gleiche, nur das die 2lamda<x,y> nicht wegen der orthogonalität wegfallen. Dann forme ich um, damit ich einen Wert für lamda bekomme.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu musss ich erst nocheinmal die Aufgabe lesen. Ist ja nun schon was her.^^
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
So müsste es sein
Zitat:
Original von tigerbine


"[latex]\Leftarrow[/latex]: "[latex] x \perp y ~\Leftarrow~ ||x+\lambda \cdot y||\geq ||x||\quad \forall~ \lambda \in \mathbb R[/latex]
******************************************
Dies ist äquivalent zum Beweis von

[latex] \neg x \perp y ~\Rightarrow ~\exists \text{ mind. ein } ~ \lambda \in \mathbb R \text{ mit } ||x+\lambda \cdot y||< ||x||[/latex]


Damit habe ich ja nur mal eine Beweisalternative gezeigt. Nun nehmen wir mal wieder die Umformung:


[latex]||x+\lambda\cdot y|| &&= \sqrt{<x+\lambda\cdot y,x+\lambda\cdot y>} \\&&=... \\&& = \sqrt{<x,x>+\lambda <x,y> + \lambda<x,y> + \lambda ^2 <y,y>} [/latex]

mit

[latex]<x,y> \neq 0[/latex]


Dem gegenüber steht nun:

[latex]||x|| = \sqrt{<x,x>}[/latex]


Da der 0-Vektor auf allen Vektoren senkrecht steht, sind x und y vom Nullvektor verschieden und es gilt:

[latex]<x,x> \neq 0, ~<y,y> \neq 0[/latex]

Wie muss man nun [latex]\lambda [/latex] wählen, damit gilt (in deiner Quadrierten Schreibweise):

[latex]<x,x>+\lambda <x,y> + \lambda<x,y> + \lambda ^2 <y,y> ~\stackrel{!} <~ <x,x>[/latex]

[latex]\lambda <x,y> + \lambda<x,y> + \lambda ^2 <y,y> ~\stackrel{!} <~ 0[/latex]

[latex]\lambda \cdot (<x,y> + <x,y> + \lambda  <y,y> )~\stackrel{!} <~ 0[/latex]

[latex]\lambda \cdot (2<x,y> + \lambda  <y,y> )~\stackrel{!} <~ 0[/latex]


Es muss offensichtlich gelten:

[latex]\lambda ~ <~ 0[/latex]


Damit muss gelten:

[latex]2<x,y> + \lambda  <y,y>~ > 0[/latex]

[latex]\lambda >- \frac{2<x,y>}{<y,y>}[/latex]


Damit ergibt sich das Auswahlintervall:

[latex]\lambda \in ] - \frac{2<x,y>}{<y,y>}, 0[[/latex]


Hoffe ich habe trotz meiner Müdigkeit hier keinen Schnitzer gemacht. Augenzwinkern
hxh Auf diesen Beitrag antworten »

Ok Rechnung leicht nachzuvollziehen.
Die Logik hinkt nur nach, dh dass für diese Lambda die Gleichung erfüllt ist wenn x nicht senkrecht zu y ist
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Logik hinkt nur nach, dh dass für diese Lambda die Gleichung erfüllt ist wenn x nicht senkrecht zu y ist
Erstaunt1

Wie meinst du das jetzt? Mit dem Umschreiben des Beweises muss man zeigen, dass es mindestens ein "solches "lambda gibt. Das intervall am Ende Existiert auch, da (wei x und y nicht orthogonal sind)

[latex]<x,y> \neq 0 [/latex] gilt.

Was hinkt denn da nun?
hxh Auf diesen Beitrag antworten »

ja es wurde ein lamda gefunden damit die gleichung gilt, jedoch wurde vorrausgesetzt das x,y nicht orthogonal sind oder ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Das steht ja auch da:

Zitat:

"[latex]\Leftarrow[/latex]: "[latex] x \perp y ~\Leftarrow~ ||x+\lambda \cdot y||\geq ||x||\quad \forall~ \lambda \in \mathbb R[/latex]
******************************************
Dies ist äquivalent zum Beweis von

[latex] \neg x \perp y ~\Rightarrow ~\exists \text{ mind. ein } ~ \lambda \in \mathbb R \text{ mit } ||x+\lambda \cdot y||< ||x||[/latex]
hxh Auf diesen Beitrag antworten »

gut damit wären beide richtungen bewiesen, darauf wollte ich letztendlich noch raus. (die andere hatte ich ja schon)
Vielen Dank Gott
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Dieser "Trick" kann immer einmal ganz hilfreich sein. Hier war z.B. das Finden eines lambdas nicht so schwer. Wink
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »