Summenzeichen

07.01.2005, 21:16	Bier	Auf diesen Beitrag antworten »
Summenzeichen Also ich hab hier einen Beweis bei dem folgendes bewiesen wird: Seien V1,V2 und V3 Vektorräume über K; seien g: V1-->V2 und f:V2--->V3 lin Abbildungen. Sei B1,2,3 eine Basis von V1,2,3 und sei $\begin{eqnarray} A=_{B_1}M_{B_2}(g) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B=_{B_2}M_{B_3}(f) \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} _{B_1}M_{B_3}(fg)=BA \end{eqnarray}$ So nun gehts los: Sei A=(aji) die Darstellungsmatrix von g, und sei B=(bkj) die Darstellungsmatrix von f. Wir definieren die Vektoren u_i,v_j und w_k durch B1={u_i l i=1,...dim(V1)} B2={v_j l j=1,...dim(V2)} B3={w_k l k=1,...dim(V3)} Um die Darstellungsmatrix C=(cki) von fg zu erhalten müssen wir fg(u_i) ausrechnen und diesen Vektor als Linearkombination der Vektoren aus B3 darstellen: Da $\begin{eqnarray} g(u_i)=\sum_{j=1}^{dim(V_2)}~a_{ji}v_j \end{eqnarray}$ ist folgt: $\begin{eqnarray} fg(u_i)=f(\sum_{j=1}^{dim(V_2)}~a_{ji}v_j)=\sum_{j=1}^{dim(V_2)}~a_{ji}f(v_j)=\sum_{j=1}^{dim(V_2)}~a_{ji}(\sum_{k=1}^{dim(V_3)}~b_{kj}w_k)=\sum_{j=1}^{dim(V_2)}~\sum_{k=1}^{dim(V_3)}~a_{ji}b_{kj}w_k=\sum_{k=1}^{dim(V_3)}~(\sum_{j=1}^{dim(V_2)}~b_{kj}a_{ji})w_k=\sum_{k=1}^{dim(V_3)}~c_{ki}w_k \end{eqnarray}$ Puuuh so nun meine Fragen: Wieso darf man f einfach so hinter das Summenzeichen ziehen? Wieso darf man die Summenzeichen einfach vertauschen? Wieso darf man das aji mit dem bkj vertauschen? Gibts hier irgendwo ne ausführliche Anleitung zum Rechnen mit Summenzeichen?
07.01.2005, 22:01	AndyRo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, 1) Wieso darf man f einfach so hinter das Summenzeichen ziehen? Antwort: Hier wird die Linearität der Abbildung ausgenutzt. 2) Wieso darf man die Summenzeichen einfach vertauschen? Antwort: Dies ist eine allgemeine Rechenregel für Summenzeichen, dass man Doppelsummen vertauschen kann. Hier sind Regeln erklärt: http://www.mathe-online.at/materialien/k...egelnsummen.pdf 3) Wieso darf man das aji mit dem bkj vertauschen? Antwort: Das aji und das bkj sind aus K. D.h. es handelt sich hier um Zahlen. Und die Multiplikation von zwei Zahlen ist Kommutativ. MfG: AndyRo

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