schon wieder Matrizen...

07.01.2005, 21:42

Bier

schon wieder Matrizen...

Hat man eine Matrix A und eine Basis B gegeben so kann man die Funktion f ausrechnen. Für diese gilt dann:

$\begin{eqnarray*} A=_BM_B(f) \end{eqnarray*}$ So wenn ich also eine Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1& 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ habe und eine Basis B={(1,1),(1,2)} dann berechne ich f folgendermaßen:

Ich weiß dass das Bild von (1,1) durch 2 mal den Vektor (1,1) und 1 mal den Vektor (1,2) dargestellt wird. Also ist das Bild der Vektor (3,4)

Ebenso erhält man f(1,2)=(7,11)
Nun kann man f berechnen mit x+y=3 und x+2y=7
und die Vorschrift für den Y Wert ist x+y=3 und x+2y=11

Man erhält die Funktion f: (x,y)---->(-x+4y,-3x+7y)

Dies stimmt so oder?? Noch ne Frage die Identität ist die Abbildung
f: (x,y)---> (x,y) oder?

So angenommen man hat eine Matrix A die invertierbar ist. Dann existiert die Matix A^-1. Diese Matrix stellt bezüglich der Basis B ebenfalls eine lieare Abbildung dar, nämlich f'. Dann ist AA^-1 die Darstellungsmatrix der Abbildung ff'. (Soweit glaub ich es zu verstehn.)
Da AA^-1 die Einheitsmatrix ist, muss ff' die Identität sein. Und das versteh ich nicht. Ich mein ich hab mal ein Beispiel nachgerechnet und es stimmt, aber mehr auch nicht. Ich mein ich hab nen Satz hier stehen, dass die Identität auf V bezüglich jeder Wahl einer Basis B die Einheitsmatrix hat als Darstellungsmatrix hat. Aber irgnedwie ist mir immer noch nicht klar warum. Kann es nicht auch andere Abbildungen geben die die Einheitsmatrix als Darstellungsmatrix haben? Kann mir das jemand kindgerecht erklären?

08.01.2005, 13:36

quarague

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du kannst dir die Funktion f auch als Matrix vorstellen, in deinem BSP, die Matrix:
-1 4
-3 7
was du dann machst ist die Matrix A in der Standardbasis in deine neue Basis B umrechnen, diese neue Matrix ist dann dein f (ich glaube deine Rechnung ist sorum, eventuell ist es auch andersherum, aber das spielt für die Erklärung keine Rolle).
Dein Satz besagt dann, das es egal ist ob man 2 Matrizen erst miteinander multipliziert und dann das Ergebnis in eine neue Basis umrechnet oder ob man erst die Matrizen in eine neue Basis umrechnet, und dann dort miteinander multipliziert. Das heisst die beiden Aktionen 'in eine andere Basis umrechnen' und 'Matrizen miteinander multiplizieren' sind miteinander vertauschbar.
Das klingt erstmal sinnvoll, aber um das streng mathematisch zu zeigen fällt mir nur ein, das die Matrizen (mit vollen Rang) bezüglich Multiplikation eine Gruppe bilden und das Basistransformation einen Gruppenhomomorphismus ist, das ist aber glaube ich keine 'kindgerechte' Erklärung, ich hoffe es hilft trotzdem Wink

09.01.2005, 19:35

Bier

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hmmm... das les ich in ein paar Wochen nochmal, vielleicht weiß ich dann was du meinst.

Aber nochwas. Ich hab eine lin. Abbildung.

f: (x,y) -----> (x+2y+z,y+z,-x+3y+4z)

Nun soll ich den Kern bestimmten und das Bild. Also für den Kern stellt man folgende Matrix aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 4 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und kriegt dann raus: a-c=0 und b+c=0 also ist der Kern x(1,-1,1)

oder???

für das Bild muss man einfach so viele lin. unabhängige Spalten wie möglich herauspicken. Das, was die dann aufspannen ist das Bild oder?

Bitte sagt zweimal ja.

\\EDIT by sommer87: Latex verbessert Augenzwinkern

09.01.2005, 21:08

Bier

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und schon wieder der dumme Bier....

also ich hab eine Abbildung

f: (x,y)---> (x-y+z,-6y+12z,-2x+2y-2z) und
zwei Basen B=C={(-1,0,1),(-1,2,1),(-2,0,4)}

und nun soll ich die Matrix $\begin{eqnarray*} _BM_C(f) \end{eqnarray*}$ berechnen.

Dazu hab ich erst mal f(-1,0,1)=(0,12,0) berechnet. Nun muss ich doch diesen Vektor als Lin. Komb. von C darstellen oder?

Also das GS

a(-1,0,1)+b(-1,2,1)+c(-2,0,4)=(0,12,0) lösen.

Für die y Komponente ergibt sich also 2b=12 also b=6 oder? d.h, dass in der Matrix in der 1.Spalte der zweite Eintrag von oben 6 sein muss.
Ich frag das eigentlich nur weil in der Lösung steht, dass die Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -11 & -84 & -36 \\ 4 & 29 & 12 \\ -6 & -42 & -17\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die Darstellungsmatrix ist.

Das im Buch ist schon falsch oder?

P.S. beantwortet bitt den Beitrag oben noch gleich mit.

10.01.2005, 08:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von Bier
Bitte sagt zweimal ja.

ja. ja. Bei der Kern-Berechnung sollte die Matrix aber komplett auf Zeilenstufenform gebracht werden.

Zitat:

Original von Bier
Für die y Komponente ergibt sich also 2b=12 also b=6 oder? d.h, dass in der Matrix in der 1.Spalte der zweite Eintrag von oben 6 sein muss.

das habe ich auch raus.

PS: Wie wäre es mit registrieren? Tut nicht weh.

10.01.2005, 20:23

Bier17

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Zitat:

Original von klarsoweit

PS: Wie wäre es mit registrieren? Tut nicht weh.

Bin ich doch schon, bin Bier17, aber da es mich nach 20 Sekunden automaitich wieder ausloggt lass cih es eben meistens. Werd mich aber vielleicht sicher bessern.

So und hab mal wieder ne Frage:

Also ich hab gegeben: V=K^3x3 unf ne Abbildung f: V---> K

welche der 3x3 Matrix das Körperelement k auf fokgende Weise zuordnet: a11+a22+a33

so nun soll ich zeigen, dass die Abbildung linear ist: also
1. f(u+v)=f(u)+f(v) 2. f(kv)=kf(v)

Zu erstens:

$\begin{eqnarray*} f(u+v)=f(\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23} \\ a_{31}+b_{31} & a_{32}+b_{32} & a_{33}+b_{33} \end{pmatrix}= a_{11}+b_{11}+a_{22}+b_{22}+a_{33}+b_{33} \end{eqnarray*}$

So, und da $\begin{eqnarray*} f(u)=a_{11}+a_{22}+a_{33}\ und\ f(v)=b_{11}+b_{22}+b_{33} \end{eqnarray*}$

ist f(u+v)=f(u)+f(v) so und nun meine Frage, ich hab jetzt zwei Rechnungen ausgeführt, und eigentlich kenn ich das so, dass man links mit f(u+v) anfängt und dann rechts f(u)+f(v) rauskommt.
Aber hier Kann man doch nicht von
$\begin{eqnarray*} a_{11}+b_{11}+a_{22}+b_{22}+a_{33}+b_{33} \end{eqnarray*}$ auf die beiden Matrizen schließen oder? Ich mein man weiß doch dann gar nicht, was die Elemente außerhalb der Diagonalen sein sollen.

11.01.2005, 09:41

klarsoweit

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Zitat:

Original von Bier17
Aber hier Kann man doch nicht von
$\begin{eqnarray*} a_{11}+b_{11}+a_{22}+b_{22}+a_{33}+b_{33} \end{eqnarray*}$ auf die beiden Matrizen schließen oder? Ich mein man weiß doch dann gar nicht, was die Elemente außerhalb der Diagonalen sein sollen.

auf welche beiden Matrizen willst du schließen? Der Beweis ist vollkommen in Ordnung. Du hast mit f(u+v) angefangen und es kommt f(u)+f(v) raus, fertig.

PS: wenn du mit deinem registrierten account die Beiträge schreibst, kannst du auch mal deinen Beitrag editieren und zum Beispiel Schreibfehler korrigieren.

11.01.2005, 15:29

Bier17

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Also geht das statt so:

f(A+B)= irgendwas
f(A)+f(B)= irgendwas

gleich auch so:

f(A+B)= irgendwas = f(A)+f(B)

jetzt wo ich es mir so (anderes so als oben) anschau wird es klar. THX.

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