Stetigkeit einer Potentz-funktion und Beweise(?)

07.01.2005, 23:48

Master

Stetigkeit einer Potentz-funktion und Beweise(?)

Hallo,

ich wusste nicht wie ich das zweite Thema benennen sollte, tut mir leid wenn es für Verwirrung sorg smile

Wir haben ein etwas größeres Übungsblatt bekommen und die Extra-Punkte könnte ich gut gebrauchen, von den 5 Aufgaben, kann ich leider 2 Stück nicht lösen, die da wären:

1) Nur unter Benutzung der Defenition der Stetigkeit einer Funktion beweise man, dass Potenzfunktionen

$\begin{eqnarray*} p_n:\mathbb R ->\mathbb R , p_n(x)=x^n, n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

stetig sind.

2) für x aus R bezeichne [x] die größte ganze Zahl, die nicht größer als x ist. Die Funktion Zack: R->R sei definiert durch:

$\begin{eqnarray*} Zack(x)=|[x+\frac{1}{2}]-x| \end{eqnarray*}$

Zeige: i) Für |x|<=1/2 gilt Zack(x)=|x|
ii) Für alle x aus R, n aus Z ist Zack(x+n)= Zack(x)
iii) Die Funktion Zack ist stetig (auf R).

Wie immer bin ich für jede Hilfe dankbar..und ich bedanke mich wie immer auch shcon im vorraus smile

08.01.2005, 00:04

Mathespezialschüler

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Zu 1) Versuch zuerst einmal zu beweisen, dass das Produkt zweier Funktionen stetig ist, wenn die beiden Funktionen selbst stetig sind. Danach kannst du vollständige Induktion ansetzen.

2) i) Also, wenn $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , was gilt dann für eine Abschätzung für $\begin{eqnarray*} x+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ? Und welche gilt dann für $\begin{eqnarray*} \left[x+\frac{1}{2}\right] \end{eqnarray*}$ ??
ii) Bezeichne einmal $\begin{eqnarray*} \left[x+\frac{1}{2}\right] \end{eqnarray*}$ mit z.B. a, wie kannst du dann $\begin{eqnarray*} \left[x+\frac{1}{2}+n\right] \end{eqnarray*}$ durch a ausdrücken?
iii) Unterscheide Fälle: 1. $\begin{eqnarray*} x\neq z+0,5\ \ \ z\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ Also x darf nicht ...;-10,5;-9,5;...;8,5;9,5;10,5;... sein.
2. x ist gerade eine dieser Zahlen, die es im ersten Fall nicht sein durfte. Also $\begin{eqnarray*} x=z+0,5\ \ \ z\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

08.01.2005, 01:31

Master

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zu 1) hab ich nichtmal einen Ansatz unglücklich

zu 2) i) editiert, wegen nonsense (schon spät smile

ii) editiert, wegen nonsense (schon spät smile

iii) Hm, und was hab ich dann damit bewiesen von wegen Stetigkeit?

zu 2) i) hab ich mir folgendes Überlegt:

[x+1/2] kann doch irgendwas von 0 bis 1 sein.

Wenn es nicht 1 ist, ist der Fall klar, größte ganze Zahl die nicht größer ist ist die null. Wenn es aber 1 ist, ist die nächst größere Zahl auch 1 und somit währe es nicht |x| sondern |1-x|

Hab ich irgendwo einen Denkfehler drin?

edit: zu 2) ii) hab ich mir auf was überlegt smile

Kann man sagen das [x+1/2+n] = [x+1/2] + n ist? Wenn ja wäre es ja direkt klar, wenn nein, wie zeige ich das dem so ist? Indem ich z.b. sage [n]=n nach Vorraussetzung?

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion (MSS)

08.01.2005, 03:09

epiram

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RE: Stetigkeit einer Potentz-funktion und Beweise(?)
setze für x (x0+/-epsilon) ein.
Berechne die Funktionswerte und bestimme deren Limes epsilon->0. Bei Polynomen sind die beiden Grenzwerte für alle x0 und n gleich.

08.01.2005, 13:44

Master

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jetzt verwirrst du mich total :/ Die Funktion kann doch nur die Werte 0 und 1 annehmen oder nicht? Was soll ich da mit Limus erreichen?

Ok, ich hab mir zu der 1) nochmal Gedanken gemacht Hammer

Wenn ich beweisen will, dass das Produkt zweier stetigen Funktionen, auch stetig ist muss ich doch folgendes machen:

Voraussetzung ist ja: $\begin{eqnarray*} lim x_n=a \end{eqnarray*}$ also
Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (f*g) (x_n) = (f*g)(a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } f(x_n) * \lim_{n \to \infty } g(x_n) \end{eqnarray*}$

nach Voraussetzung: $\begin{eqnarray*} f(a)*g(a)=(f*g)(a) \end{eqnarray*}$

Und da wir ja davon ausgehen können das f(x)=x stetig ist, können wir doch sagen das auch x^n stetig ist, oder?

Bitte um kurze Rücksprache ob das richtig ist Mit Zunge

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

08.01.2005, 17:23

Mathespezialschüler

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Also, das sieht schon relativ gut aus.
epirams Beitrag war zu 1. und icht zu 2. Augenzwinkern

zu 1) hast du das zwar etwas komisch aufgeschrieben, aber ich denke, du meinst das richtige. Ich schreibs nochmal ordentlich auf:
Deine Voraussetzung ist: $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}x_n=a\ \ \Rightarrow\ \lim_{n\to \infty}f(x_n)=f(a)\ \mbox{und}\ \lim_{n\to \infty}g(x_n)=g(a) \end{eqnarray*}$
Und jetzt, wie man das zeigt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}(f\cdot g)(x_n)=\lim_{n\to \infty}f(x_n)\cdot g(x_n)=\lim_{n\to \infty}f(x_n)\cdot \lim_{n\to \infty}g(x_n)=f(a)\cdot g(a)=(f\cdot g)(a) \end{eqnarray*}$

So hast du es ja sicher auch gemeint Augenzwinkern

Und zu x^n. Kennst du schon die vollständige Induktion? Man kann aus f(x)=x stetig sicherlich folgern, dass g(x)=x^n stetig ist, aber eigentlich eben nur über vollständige Induktion.

PS: Habt ihr Stetigkeit über Folgenstetigkeit definiert oder über epsilon-delta?

Zitat:

Kann man sagen das [x+1/2+n] = [x+1/2] + n ist?

Ja, das ist richtig, aber du musst noch zeigen, warum man das sagen kann!

Zitat:

[x+1/2] kann doch irgendwas von 0 bis 1 sein.

Wenn es nicht 1 ist, ist der Fall klar, größte ganze Zahl die nicht größer ist ist die null. Wenn es aber 1 ist, ist die nächst größere Zahl auch 1 und somit währe es nicht |x| sondern |1-x|

Also wenn es nicht 1 ist, dann ist ja $\begin{eqnarray*} \left[x+\frac{1}{2}\right]=0 \end{eqnarray*}$ und somit, wie du richtig sagst, Zack(x)=|x|
Und jetzt überleg mal, wann es 1 wird! Nur für eine einzige Zahl in diesem Bereich ist $\begin{eqnarray*} \left[x+\frac{1}{2}\right]=1 \end{eqnarray*}$ , für welche? Und wie groß ist für diese dann Zack(x)? (Du brauchst nur in Zack(x)=... die zahl für x einsetzen!)

Zu iii) Du sollst diese Fälle unterscheiden und dann jeweils in den Fällen x gegen x0 gehen lassen und gucken, was passiert.

08.01.2005, 17:37

Master

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

So hast du es ja sicher auch gemeint Augenzwinkern

Wenn ich doch bewiesen habe, dass das Produkt zweier stetiger Folgen stetig ist, brauche ich doch nicht noch mühsam eine Induktion machne, vor allem wüsste ich dazu nicht mal den Ansatz smile

Stetigkeit haben wir über die Folgenstetigkeit definiert.

Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Zitat:

Kann man sagen das [x+1/2+n] = [x+1/2] + n ist?

Ja, das ist richtig, aber du musst noch zeigen, warum man das sagen kann!

Hm, ich dachte aus der Voraussetzung [n]=n kann man das direkt ableiten. Wie sollte ich das denn sonst zeigen?

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Zu iii) Du sollst diese Fälle unterscheiden und dann jeweils in den Fällen x gegen x0 gehen lassen und gucken, was passiert

Also für $\begin{eqnarray*} x = z + 0.5 \end{eqnarray*}$ ist das Ergenis ja immer 1. Für $\begin{eqnarray*} x \neq z + 0.5 \end{eqnarray*}$ Kann es entweder 0 oder 1 sein. Nur bin ich grad am überlegen was mir das nützen soll smile

Edit: Die 2) ii) hab ich verstanden, danke, war ein Denkfehler smile

Edit2: Ok ich komme bei den Aufgaben mal überhaupt nicht mehr weiter und hab auch grad entdeckt, dass auf der Rückseite auch noch eine Aufgabe ist unglücklich

Sind mehrere kleine, aber ich hab damit auch schon eins-zwei Problemchen. Da sie alle gleich sind brauch ich nur für eine Tipps, z.b. diese hier: $\begin{eqnarray*} a_n = (\frac{1+i}{2})^n \end{eqnarray*}$ Berechne die Häufungspunkte.
Ok, was Häufungspunkte sind ist klar, ich kann des auch mit normalen, nicht komplexen Zahlen, aber hier komm ich nicht weiter. Für mich konvergiert die Folge gegen 0, daher wäre ja 0 ein Häufungspunkt, nur ich weiss nicht wie ich das mit dem blöden i zeigen soll

08.01.2005, 22:36

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Master
Wenn ich doch bewiesen habe, dass das Produkt zweier stetiger Folgen stetig ist, brauche ich doch nicht noch mühsam eine Induktion machne, vor allem wüsste ich dazu nicht mal den Ansatz smile

Dann versuch doch mal, ohne Induktion zu beweisen, dass das Produkt n stetiger Funktionen auch stetig ist. Du musst da nämlich eine Induktion nach Anzahl der Funktionen machen.
Irgendwie stört mich das "Nur unter Benutzung der Defenition der Stetigkeit einer Funktion" in der Aufgabe aber noch. Wir haben ja jetzt noch benutzt, dass, falls $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ konvergieren, $\begin{eqnarray*} \lim(a_n\cdot b_n)=\lim a_n\cdot \lim b_n \end{eqnarray*}$ gilt.
Natürlich könnte man auch einen "Pünktchen-Beweis" machen, solche Beweise gehen korrekt eigentlich durch vollständige Induktion. Also der Pünktchen-Beweis würde dann so aussehen, allerdings bräuchte man da auch die Regel von oben:

Sei $\begin{eqnarray*} \left(x_j\right) \end{eqnarray*}$ eine beliebige Folge mit dem Grenzwert $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ . Dann folgt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{j\to \infty}x_j^n=\begin{matrix}\ \\ \underbrace{\lim_{j\to \infty}x_j\cdot \lim_{j\to \infty}x_j\cdot \lim_{j\to \infty}x_j\cdots \lim_{j\to \infty}x_j} \\ \textrm{n-mal}\end{matrix}=x_0^n \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Master

Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Zitat:

Kann man sagen das [x+1/2+n] = [x+1/2] + n ist?

Ja, das ist richtig, aber du musst noch zeigen, warum man das sagen kann!

Hm, ich dachte aus der Voraussetzung [n]=n kann man das direkt ableiten. Wie sollte ich das denn sonst zeigen?

Ne, damit geht das nicht! $\begin{eqnarray*} \left[x+\frac{1}{2}\right] \end{eqnarray*}$ ist ja eine ganze Zahl, für diese gilt

$\begin{eqnarray*} \left[x+\frac{1}{2}\right]\leq x+\frac{1}{2}<\left[x+\frac{1}{2}\right]+1 \end{eqnarray*}$

Jetzt addiere mal bei diese Doppelungleichung überall n und du erhälst die Aussage.

Zitat:

Original von Master

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Zu iii) Du sollst diese Fälle unterscheiden und dann jeweils in den Fällen x gegen x0 gehen lassen und gucken, was passiert

Nein, für z=x+0,5 ist das nicht immer 1! Und für die anderen ist es auch nicht 0 oder 1! Es kann jede ganze Zahl angenommen werden!

Zitat:

Original von Master
$\begin{eqnarray*} a_n = (\frac{1+i}{2})^n \end{eqnarray*}$ Berechne die Häufungspunkte.
Ok, was Häufungspunkte sind ist klar, ich kann des auch mit normalen, nicht komplexen Zahlen, aber hier komm ich nicht weiter. Für mich konvergiert die Folge gegen 0, daher wäre ja 0 ein Häufungspunkt, nur ich weiss nicht wie ich das mit dem blöden i zeigen soll

Richtig, sie konvergiert gegen 0. Wenn eine Folge einen Grenzwert hat, dann hat sie nur einen Häufungspunkt, nämlich den Grenzwert selbst. Damit wäre diese Aufgabe erledigt.
Problematischer könnte es bei divergenten Folgen sein.

08.01.2005, 22:58

Master

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Irgendwie stört mich das "Nur unter Benutzung der Defenition der Stetigkeit einer Funktion" in der Aufgabe aber noch. Wir haben ja jetzt noch benutzt, dass, falls $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ konvergieren, $\begin{eqnarray*} \lim(a_n\cdot b_n)=\lim a_n\cdot \lim b_n \end{eqnarray*}$ gilt.

Wir haben stetig so definiert: Sei f: D -> R eine Funktion und a aus D. Die Funktion Heisst stetig im Punkt a, falls
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} f(x)=f(a) \end{eqnarray*}$
f heisst stetig in D, falls f in jedem Punkt von D stetig ist.

Mehr haben wir doch nicht angewandt oder? und mit dem "Pünktchen-Beweis" habe ich die Aufgabe doch gelöst.

Zitat:

Original von Mathespezialschüler

$\begin{eqnarray*} \left[x+\frac{1}{2}\right]\leq x+\frac{1}{2}<\left[x+\frac{1}{2}\right]+1 \end{eqnarray*}$

Jetzt addiere mal bei diese Doppelungleichung überall n und du erhälst die Aussage.

$\begin{eqnarray*} \left[x+n+\frac{1}{2}\right]\leq x+\frac{1}{2}+n<\left[x+\frac{1}{2}\right]+1+n \end{eqnarray*}$

Meinst du so? Ich wiess nur nicht was ich damit nun bewiesen haben soll.

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Nein, für z=x+0,5 ist das nicht immer 1! Und für die anderen ist es auch nicht 0 oder 1! Es kann jede ganze Zahl angenommen werden!

also ich nehme an du meintest x=z+0.5, was aber auch eigentlich egal ist. Ok, ich rechne mal Beispiele durch

x= 1.5 -> |[1.5 + 0.5]-1.5|=0.5
x= 2.5 -> |[2.5 + 0.5]-2.5|=0.5
x= 3.5 -> |[3.5 + 0.5]-3.5|=0.5

Ok, es ist nicht immer 1, da hab ich mich vertan, aber immer 0.5. Ich wüsste auch nicht wann es anders werden sollte.

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Richtig, sie konvergiert gegen 0. Wenn eine Folge einen Grenzwert hat, dann hat sie nur einen Häufungspunkt, nämlich den Grenzwert selbst. Damit wäre diese Aufgabe erledigt.
Problematischer könnte es bei divergenten Folgen sein.

Jaha, dass sie konvergiert schon, nur wie beweise ich das? Ich komme mit dem i da nicht klar in diesem Falle, weil ja auch bei größeren n die binomische Formel drastisch erhöht.

Oh man, ich danke dir für die Tipps, aber irgendwie komm ich damit nicht wirklich vorran, aber ich setz mich da nochmal voll rein smile

08.01.2005, 23:16

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Master
Wir haben stetig so definiert: Sei f: D -> R eine Funktion und a aus D. Die Funktion Heisst stetig im Punkt a, falls
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} f(x)=f(a) \end{eqnarray*}$
f heisst stetig in D, falls f in jedem Punkt von D stetig ist.

Mehr haben wir doch nicht angewandt oder? und mit dem "Pünktchen-Beweis" habe ich die Aufgabe doch gelöst.

Das ist doch nicht Folgenstetigkeit. Ich denke mal, den Grenzwert habt ihr so definiert: c heißt Grenzwert der Funktion f für x gegen a (in Zeichen $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a}f(x)=c \end{eqnarray*}$ ), wenn es für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} |f(x)-c|<\epsilon \end{eqnarray*}$ für alle x mit $\begin{eqnarray*} |x-a|<\delta \end{eqnarray*}$ .
oder?? Dann müssten wir den Beweis der Stetigkeit auch über epsilon-delta machen und nicht über Folgen verwirrt

ii) Nein, so:

$\begin{eqnarray*} \left[x+\frac{1}{2}\right]+n\leq x+\frac{1}{2}+n<\left[x+\frac{1}{2}\right]+1+n \end{eqnarray*}$

Da die linke und rechte Seite eine ganze Zahl ist, ist somit $\begin{eqnarray*} \left[x+\frac{1}{2}\right]+n \end{eqnarray*}$ die größte ganze Zahl, die nicht größer als $\begin{eqnarray*} x+\frac{1}{2}+n \end{eqnarray*}$ ist. Also ist $\begin{eqnarray*} \left[x+\frac{1}{2}+n\right]=\left[x+\frac{1}{2}\right]+n \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Master

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Nein, für z=x+0,5 ist das nicht immer 1! Und für die anderen ist es auch nicht 0 oder 1! Es kann jede ganze Zahl angenommen werden!

Achso, ich dachte, du meinst erstmal die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\left[x+\frac{1}{2}\right] \end{eqnarray*}$ , bei Zack(x) hast du sicher Recht.
Eigentlich brauchst du erstmal wieder nur das Intervall $\begin{eqnarray*} \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right] \end{eqnarray*}$ , die anderen kannst du dann mithilfe von ii) abfertigen.

Zu der komplexen Folge: Kennst du die Polardarstellung komplexer Zahlen?

$\begin{eqnarray*} a+bi=r\cdot (\cos(\varphi)+i\cdot \sin(\varphi)) \end{eqnarray*}$

r ist dabei der Betrag der komplexen Zahl. Und dann bräuchtest du noch die Moivresche Formel

$\begin{eqnarray*} \left(r\cdot (\cos(\varphi)+i\cdot \sin(\varphi))\right)^n=r^n\cdot (\cos(n\varphi)+i\cdot \sin(n\varphi)) \end{eqnarray*}$

08.01.2005, 23:36

Master

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Das ist doch nicht Folgenstetigkeit. Ich denke mal, den Grenzwert habt ihr so definiert: c heißt Grenzwert der Funktion f für x gegen a (in Zeichen $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a}f(x)=c \end{eqnarray*}$ ), wenn es für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} |f(x)-c|<\epsilon \end{eqnarray*}$ für alle x mit $\begin{eqnarray*} |x-a|<\delta \end{eqnarray*}$ .
oder?? Dann müssten wir den Beweis der Stetigkeit auch über epsilon-delta machen und nicht über Folgen verwirrt

ok, das kann ich dir nicht genau sagen, in meinen Aufzeichnungen von den Vorlesungen habe ich keine Definition drin stehen, und im Buch steht: Sei f eine reele Funktion und a ein Berührpunkt auf D.
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} f(x)=c \end{eqnarray*}$
falls für jede Folge $\begin{eqnarray*} x_n, x_n\in D \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x_n=a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } f(x_n)=c \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
ii) Nein, so:

$\begin{eqnarray*} \left[x+\frac{1}{2}\right]+n\leq x+\frac{1}{2}+n<\left[x+\frac{1}{2}\right]+1+n \end{eqnarray*}$

Da die linke und rechte Seite eine ganze Zahl ist, ist somit $\begin{eqnarray*} \left[x+\frac{1}{2}\right]+n \end{eqnarray*}$ die größte ganze Zahl, die nicht größer als $\begin{eqnarray*} x+\frac{1}{2}+n \end{eqnarray*}$ ist. Also ist $\begin{eqnarray*} \left[x+\frac{1}{2}+n\right]=\left[x+\frac{1}{2}\right]+n \end{eqnarray*}$ .

q.e.d.?

Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Achso, ich dachte, du meinst erstmal die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\left[x+\frac{1}{2}\right] \end{eqnarray*}$ , bei Zack(x) hast du sicher Recht.
Eigentlich brauchst du erstmal wieder nur das Intervall $\begin{eqnarray*} \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right] \end{eqnarray*}$ , die anderen kannst du dann mithilfe von ii) abfertigen.

mithilfe von ii) ? Hmm, jetzt komm ich gar nicht mehr klar. Also für x=1/2 oder x=-1/2 ist das Ergenis ja bekanntermassen 1/2. So und wie sage ich jetzt daraus, dass die Funktion stetig ist?

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Zu der komplexen Folge: Kennst du die Polardarstellung komplexer Zahlen?

$\begin{eqnarray*} a+bi=r\cdot (\cos(\varphi)+i\cdot \sin(\varphi)) \end{eqnarray*}$

r ist dabei der Betrag der komplexen Zahl. Und dann bräuchtest du noch die Moivresche Formel

$\begin{eqnarray*} \left(r\cdot (\cos(\varphi)+i\cdot \sin(\varphi))\right)^n=r^n\cdot (\cos(n\varphi)+i\cdot \sin(n\varphi)) \end{eqnarray*}$

Nein, hatte ich auf keinen Fall unglücklich

09.01.2005, 00:04

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Master

ok, das kann ich dir nicht genau sagen, in meinen Aufzeichnungen von den Vorlesungen habe ich keine Definition drin stehen, und im Buch steht: Sei f eine reele Funktion und a ein Berührpunkt auf D.
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} f(x)=c \end{eqnarray*}$
falls für jede Folge $\begin{eqnarray*} x_n, x_n\in D \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x_n=a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } f(x_n)=c \end{eqnarray*}$

Das ist ja doch die Folgenstetigkeit, dann können wir das so lassen.

Zitat:

Original von Master

Zitat:

q.e.d.?

Ja, fertig. q.e.d.!!

09.01.2005, 00:23

Master

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Ich danke dir tausendmals smile

Ich merke schon, dir geht die Luft aus mir zu helfen, kann ich gut verstehen, ich finde das alles bissl zu abstrakt smile

Den Rest versuche ich irgendwie, auch wenn das wohl zu abgedreht für mich ist, eine kleine Frage hätt ich aber noch: Muss ich noch eine Induktion machen oder ist dies nun Beweis genug?

09.01.2005, 00:46

Mathespezialschüler

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Um es korrekt zu machen, musst du eine Induktion machen, ja.
Und da du anscheinend nicht weiterkommst, möchte ich mal zeigen, wie das geht, damit du es mal siehst. Für die Stetigkeit: Erstmal haben wir für natürliche z gezeigt, dass

$\begin{eqnarray*} Zack(x+z)=Zack(x) \end{eqnarray*}$

Also ist für positive, natürliche z auch

$\begin{eqnarray*} Zack(x)=Zack((x-n)+n)=Zack(x-n) \end{eqnarray*}$

Also gilt für alle ganzzahligen z

$\begin{eqnarray*} Zack(x+z)=Zack(x) \end{eqnarray*}$

Jetzt betrachten wir mal den linkseitigen Grenzwert für -0,5. Wenn x von unten gegen -0,5 geht (das heißt, gegen -0,5 geht und immer kleiner als -0,5 ist), dann ist irgendwann auch $\begin{eqnarray*} -1,5\leq x<-0,5 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} -1\leq x+0,5<0 \end{eqnarray*}$ und für diese x ist dann $\begin{eqnarray*} \left[x+0,5\right]=-1 \end{eqnarray*}$ . Also ist für diese x $\begin{eqnarray*} Zack(x)=|\left[x+0,5\right]-x|=|-1-x| \end{eqnarray*}$ . Und geht jetzt x gegen -0,5, dann geht $\begin{eqnarray*} Zack(x)=|-1-x|\to |-1-(-0,5)|=0,5 \end{eqnarray*}$ . Der Funktionswert von -0,5 ist auch 0,5. Der rechtsseitige Grenzwert für x gegen -0,5 von Zack(x) ist auch 0,5, denn für $\begin{eqnarray*} -0,5\leq x\leq 0,5 \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} Zack(x)=|x| \end{eqnarray*}$ und das ist stetig.

Also haben wir insgesamt, dass Zack(x) auf $\begin{eqnarray*} [-0,5,0,5) \end{eqnarray*}$ stetig ist.

Wenn jetzt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ein beliebiger Punkt ist, dann gibt es eine ganze Zahl z, sodass $\begin{eqnarray*} z-0,5\leq x_0<z+0,5 \end{eqnarray*}$ ist. Also ist $\begin{eqnarray*} -0,5\leq x_0-z<0,5 \end{eqnarray*}$ . Ist jetzt $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ wieder eine Folge mit dem Grenzwert $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , dann geht somit $\begin{eqnarray*} x_n-z\to x_0-z \end{eqnarray*}$ und da $\begin{eqnarray*} x_0-z\in [-0,5,0,5) \end{eqnarray*}$ liegt und Zack dort stetig ist, geht $\begin{eqnarray*} Zack(x_n)=Zack(x_n-z)\to Zack(x_0-z)=Zack(x_0) \end{eqnarray*}$ .
Hier wurde auch benutzt, dass $\begin{eqnarray*} Zack(x)=Zack(x-z) \end{eqnarray*}$ ist (s.oben). Augenzwinkern

09.01.2005, 01:06

Master

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OK, ich habs mir angeschaut, nochmal angeschaut, und glaube es auch zu verstehen, nur weiss ich nciht wie du aus den letzten beiden Zeilen sagen kannst, dass es komplett stetig ist, aber das werde ich auch noch irgendwie rausfinden! smile

edit: Bei der Induktion, kannst du mir da vielleicht einen Ansatz geben? Ich sehe da leider keinen, Induktionen rechnen sollte ich eigentlich können...hoffe ich

09.01.2005, 01:15

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} p_n(x)=x^n \end{eqnarray*}$ ist stetig auf R.

Beweis: Vollständige Induktion:
Anfang: n=1 ..., kriegst du selbst hin.
Schritt: Sei $\begin{eqnarray*} p_n \end{eqnarray*}$ stetig, dann folgt also aus $\begin{eqnarray*} x_j\to x_0 \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} x_j^n\to x_0^n \end{eqnarray*}$ gilt und somit, dass

$\begin{eqnarray*} x_j^{n+1}=...\to ...=... \end{eqnarray*}$

Führe das mal selbst weiter Augenzwinkern

09.01.2005, 01:25

Master

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Induktionsanfang: n=1
$\begin{eqnarray*} x \to x^1 \end{eqnarray*}$
Ist stetig.

Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} x_j^{n+1} = x_o^n * x_o \to \end{eqnarray*}$

also so ist des schonmal falsch! Soviel weiss ich ..ich weiss nicht wie ich das auseinanderziehen soll, es ist ja weder ein Produkt noch eine Summe. Das ist mal sehr komishc Hilfe

09.01.2005, 01:33

Mathespezialschüler

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Naja, fast. Du warst zu schnell.

$\begin{eqnarray*} x_j^{n+1}=x_j^n\cdot x_j\to x_0^n\cdot x_0=x_0^{n+1} \end{eqnarray*}$

09.01.2005, 01:44

Master

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Das habe ich hier auch grade auf meinem Zettel geschrieben smile

)
Ich denke meistens nur nicht lange genug nach und verliere die Nerven, das ist auch mein Problem in Klausuren Hammer

Ich hab auch was lustiges an meinem Analysis 1 Buch von Foster entdeckt: Da sind Aufgaben drin, zum üben...nur leider stehen nirgends die Lösungen. Dann nutzt es mir aber auch wenig....hab nämlich grad gesehen, dass da eine Aufgabe zu den Komplexen Zahlen-Reihen ist. Aber verdammt nochmal keine Lösung, hihi.

Aber ich habe mir natürlich auch dazu weiter Gedanken gemacht und mir alles angekuckt (ich will es schliesslich auch können, nur lerne ich wohl nicht so schnell wie andere unglücklich

)

Also, wenn der Imaginär Teil und der Realteil konvergieren, konvergiert auch die Folge. Also habe ich mir bei der Aufgabe, an der ich das probiere (wohl die einfachste), trennen wir mal, nur wie soll das gehen?

$\begin{eqnarray*} a_n=(\frac{1+i}{2})^n \end{eqnarray*}$

das wäre ja auch $\begin{eqnarray*} a_n=(\frac{(1+i)^n}{2^n}) \end{eqnarray*}$

Problem was ich hier habe: Man kann bei $\begin{eqnarray*} (1+i)^n \end{eqnarray*}$ nicht wirklich Realteil und Imaginärteil trennen. Und ich kann es ja nicht für alle n die es gibt (sind ja immerhin unendlich) ausmultiplizieren. Hinweis gerne gesehen smile

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