Grenzwertberechnung mit Mittelwertsatz

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MartinW Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertberechnung mit Mittelwertsatz
Hallo!

Wie kann man den Grenzwert n*(1-cos(1/n)) für n gegen unendlich mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung berechnen?
Das Beispiel ist aus dem Buch "Lehrbuch der Analysis" von H.Heuser.
Die Regel von l#hospital wird erst in einem späteren kapitel besprochen,der Grenzwert soll direkt mit dem Mittelwertsatz berechnet werden.

Gruß Martin
quarague Auf diesen Beitrag antworten »

man kan den Term n(1-cos(1/n)) mit 'unsauberer' Notation als Differenzenquotiont der Funktion cos(1/n) an den Stellen n und unendlich auffassen. Dann sagt dir der Mittelwertsatz der Differerentialrechnung, dass es ein n' zwischen n und unendlich gibt mit (cos(1/n)' = n(1-cos(1/n))
Du kannst also die Funktion cos(1/n) einmal nach n ableiten und dann den Grenzwert für n gegen unendlich bestimmen, der ist 0 und konvergiert auch n(1-cos(1/n)) gegen 0
MartinW Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

mir ist immer noch nicht klar wie das funktionieren soll.Wenn ich den Differentialquotient von cos(1/n) zwischen 0 und unendlich bilde komme ich auf (1-cos(1/n))/(unendlich-n)!
Wie kann man daraus auf n*(1-cos(1/n)) schliessen bzw. was mache ich mit /(unendlich-n)?

Gruß Martin
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee von quarague ist an sich nicht schlecht, aber mathematisch schlampig (um nicht zu sagen falsch) formuliert.

Besser ist es, den Differenzenquotienten

für f(x) = -cos(x) an der Stelle x=0 und h=1/n zu betrachten. Dann ist f'(x) = sin(x) und es gilt nach Mittelwertsatz

für ein
MartinW Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.

Erstmal Danke!

Jetzt hab ich das nächste Beispiel gelöst,und wollte fragen ob das so richtig ist.



f(x)=
h=



Durch multiplikation mit a^2 und dann Grenzwert bildung des rechten Ausdruckes für z gegen unendlich müsste den gewünschten Grenzwert 0 ergeben,oder habe ich hier irgendwo falsche schlüsse gezogen?

Gruß Martin
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wo kommt denn auf einmal das z her?

Wie auch immer - ich würde das hier anders anpacken: Es ist u³-v³=(u-v)(u²+uv+v²), also



Und jetzt setze einfach

da ein.
 
 
MartinW Auf diesen Beitrag antworten »

Hab gerade einen Fehler bei mir endeckt,ich kann f(x) und h gar nicht so wählen!
Das z habe ich statt zeta aus dem Mittelwertsatz genommen.
Im Buch steht das die Beispiele mit dem Mittelwertsatz zu lösen sind,deshalb diese Rechnerei!
Weis aber jetzt nicht wie das mittels Mittelwertsatz zu lösen sein soll.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@MartinW
Fast richtig, aber du solltest noch etwas mehr dazu schreiben und du musst die Funktion anders wählen! Mach es so:

Sei

Dann ist und .
Nach dem Mittelwertsatz gibt es zu der obigen Funktion ein , sodass . Geht n gegen unendlich, so geht auch z gegen unendlich und somit die Rechte Seite gegen 0, also auch die linke Seite.

So hätte das korrekt aussehen müssen und der Grenzwert ist natürlich 0 Augenzwinkern
MartinW Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Ein letztes Beispiel gibt es noch im Buch,bei diesem habe ich aber keine Ahnung wie das Funktionieren soll.
Vielleicht weiss ja jemand einen Lösungsansatz:



u>0,v0

Gruß Martin
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Das steht aber im Buch nicht so Big Laugh
Da stehts mit und anstelle von u und v Big Laugh
Also du brauchst dafür den verallgemeinerten Mittelwertsatz der Differentialrechnung (Satz 49.9, Seite 284).
Vielleicht kriegst du es ja damit selbst hin, wenn ich, dann zeig ichs nochmal unglücklich
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