Monotonie von Folgen und Konvergenz von Reihe/Folge

08.01.2005, 19:49

Smarti

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Monotonie von Folgen und Konvergenz von Reihe/Folge

Huhu!

Bin schon länger an eurem Board unterwegs, hab aber bisher eigentlich immer die Hilfe passiv genutzt, sei es durch eure Workshops oder mit der Suchfunktion. Nun komme ich aber nicht drumrum hier auch mal etwas reinzuschreiben, weil ich bei diesen Aufgaben nicht weiter weiss.

Aufgabe 1) Zu den Mengen $\begin{eqnarray*} X, Y c \mathbb R \end{eqnarray*}$ seien Funktionen $\begin{eqnarray*} f: X -> Y, g: Y -> \mathbb R \end{eqnarray*}$ gegeben
Ist f monoton wachsend, so gilt:
a) Wenn g monoton wächst, dann auch g o f
b) Wenn g monoton fällt, dann auch g o f

Aufgabe 2) a) Für welche a aus den Komplexen Zahlen mit $\begin{eqnarray*} |a| \neq 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert die Folge ( $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+a^n}) \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ), und wie lautet ggf. der Grenzwert?

b) Für welche a aus den Komplexen Zahlen ist die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~a^n \end{eqnarray*}$ konvergent? Bestimme für diese a den Grenzwert

Das ist mein erster Versuch mit diesem Formeleditor, ich hoffe es klappt alles. Ich hoffe auch, dass ihr mir irgendwie erklären könnt, wie ich das angehen muss.

Gruß, Vera

Fehler in Aufgabe 2 korrigiert, danke LOED

08.01.2005, 19:59

JochenX

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ist das bei b) wirklich eine summe über k und dann hinten a^n?
wenn nicht bitte mal "editieren".

08.01.2005, 23:00

Mathespezialschüler

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1) is eigentlich ganz einfach. Wenn f monoton steigt, dann folgt aus $\begin{eqnarray*} x_1<x_2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(x_1)\geq f(x_2) \end{eqnarray*}$ und jetzt kannst du auch die richtige Aussage über $\begin{eqnarray*} g(f(x_1))\ \mbox{?}\ g(f(x_2)) \end{eqnarray*}$ machen (an die Stelle des Fragezeichens soll ein Relationszeichen Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

08.01.2005, 23:05

Smarti

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Ja, soweit war ich auch schon, nur:

Einmal ist g monoton steigend und einmal fallend. Das sind ja zwei verschiedene Aussagen, da kann ich doch jetz nicht einfach sagen, dass:

$\begin{eqnarray*} g(f(x_1))\geq (g(f(x_2)) \end{eqnarray*}$

Wenn beide steigend sind, geht das. Aber ich denke, dass dies kein Beweis ist und wüsste auch nicht wie ich jenes dann bei g=fallend machen soll.

Gruß, Vera

08.01.2005, 23:21

Mathespezialschüler

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Doch, der Beweis ist ganz einfach: Du musst ja nur zeigen, dass aus $\begin{eqnarray*} x_1>x_2 \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} g(f(x_1))\geq g(f(x_2)) \end{eqnarray*}$ gilt!
Und der Beweis geht so: f monoton, also gilt:
Aus $\begin{eqnarray*} x_1>x_2 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} f(x_1)\geq f(x_2) \end{eqnarray*}$ .
Da g monoton steigt, gilt:
Aus $\begin{eqnarray*} f(x_1)\geq f(x_2) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} g(f(x_1))\geq g(f(x_2)) \end{eqnarray*}$ . Fertig! q.e.d.
Für fallend genauso.

08.01.2005, 23:41

Smarti

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Wie kann es denn für fallend genauso sein? Bei steigend komme ich ja noch dahinter.

$\begin{eqnarray*} g(f(x_1))\geq g(f(x_2)) \end{eqnarray*}$ Sagt ja, dass g o f monoton steigt, aber $\begin{eqnarray*} g(f(x_1))\leq g(f(x_2)) \end{eqnarray*}$ sagt ja das g o f monoton fällt, oder nicht? Trotzdem ist aber doch $\begin{eqnarray*} f(x_1)\geq f(x_2) \end{eqnarray*}$ , da kann ich nicht irgendwas draus folgern.

Bitte berichtige mich traurig

traurig

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09.01.2005, 00:01

Mathespezialschüler

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Aus $\begin{eqnarray*} a\geq b \end{eqnarray*}$ folgt doch, wenn g fallend ist, $\begin{eqnarray*} g(a)\leq g(b) \end{eqnarray*}$ . Und wenn f jetzt steigend ist, dann gilt doch:

$\begin{eqnarray*} x_1>x_2\ \ \Rightarrow\ \ f(x_1)\geq f(x_2) \end{eqnarray*}$

Und jetzt setze mal oben für a $\begin{eqnarray*} f(x_1) \end{eqnarray*}$ ein und für b $\begin{eqnarray*} f(x_2) \end{eqnarray*}$ , dann bist du fertig Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.01.2005, 00:11

Smarti

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Ich probier es mal.

$\begin{eqnarray*} g(f(x_1)\leq g(f(x_2) \end{eqnarray*}$

So, hier hab ich aber ein Verständnisproblem:
$\begin{eqnarray*} f(x_1)\geq f(x_2) \end{eqnarray*}$

das gilt ja, aber diese $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ verschwindet doch dann einfach so, oder nicht? Ich muss die doch irgendwie berücksichtigen

09.01.2005, 00:22

Mathespezialschüler

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Ich versteh nich ganz, was du meinst verwirrt

verwirrt

09.01.2005, 00:42

Smarti

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Entschuldigung schonmal, dass ich einen neuen Post mache, aber ich komme gerade ziemlich ins Schaukeln mit > und <. Ich werde hiernach meinen einen Post löschen.

wir haben $\begin{eqnarray*} a < b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1 < x_2 \end{eqnarray*}$

wir wissen g ist monoton fallend, also gilt $\begin{eqnarray*} g(a)\geq g(b) \end{eqnarray*}$

wir wissen f ist monoton steigend, also gilt $\begin{eqnarray*} f(x_1) \leq f(x_2) \end{eqnarray*}$

Soweit so gut.

Jetzt soll ich zeigen, dass g o f monton fällt. Also setze ich nach deiner Aussage x_1 und x_2 für a und b ein, also: $\begin{eqnarray*} g(f(x_1))\geq g((x_2)) \end{eqnarray*}$

Hierbei habe ich aber dann doch nicht beachtet, dass x_1 < x_2 und auch nicht das $\begin{eqnarray*} f(x_1) \leq f(x_2) \end{eqnarray*}$

So, diesmal sollte alles richtig sein, ich hab einfach Probleme damit

Gruß, Vera

09.01.2005, 00:51

Mathespezialschüler

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Zitat:

Hierbei habe ich aber dann doch nicht beachtet, dass x_1 < x_2 und auch nicht das $\begin{eqnarray*} f(x_1)\leq f(x_2) \end{eqnarray*}$

Wie sollst du das sonst gemacht haben??

09.01.2005, 00:57

Smarti

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Wenn ich doch einfach nur $\begin{eqnarray*} f(x_1), f(x_2) \end{eqnarray*}$ für a,b einsetze soielt es keine Rolle ob f monoton steigen oder fallend ist.

09.01.2005, 01:09

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Smarti
Wenn ich doch einfach nur $\begin{eqnarray*} f(x_1), f(x_2) \end{eqnarray*}$ für a,b einsetze soielt es keine Rolle ob f monoton steigen oder fallend ist.

Dabei musst du aber voraussetzen, dass $\begin{eqnarray*} f(x_1)\geq f(x_2) \end{eqnarray*}$ !!!!

09.01.2005, 01:13

Smarti

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Also nehmen wir an, f ist monton fallend: $\begin{eqnarray*} f(x_1)\geq f(x_2) \end{eqnarray*}$
und ich hab noch das fallende g: $\begin{eqnarray*} g(a)\geq g(b) \end{eqnarray*}$

dürfte ich dann auch einfach x_1 und x_2 in a und b einsetzen?

Weil ich soll ja beweisen, dass dem so ist wie in der Aufgabenstellung ist, da kann ich doch nicht einfach voraussetzen, dass ich das so einsetzen kann.

Gruß, Vera

09.01.2005, 01:26

Mathespezialschüler

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Das x1 und x2 für a und b einsetzen bringt doch nichts.
Ich zeigs nochmal:

Aus $\begin{eqnarray*} x_1<x_2 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} f(x_1)\leq f(x_2) \end{eqnarray*}$ und daraus, weil g fallend ist:

$\begin{eqnarray*} g(f(x_1))\geq g(f(x_2)) \end{eqnarray*}$

09.01.2005, 01:31

Smarti

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Ach so! Ah na klar, und daraus kann man ablesen das g o f natürlich auch fallend ist..ich danke dir Mit Zunge

Mit Zunge

Hast du denn auch eine Idee bei der anderen Aufgabe?

ps.: Also für deine 17 Jahre bist du ja ein richtiges Naturtalent !!

09.01.2005, 12:39

Smarti

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Bei der 2b hatte ich nun folgende Idee:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~ a^n \end{eqnarray*}$ ist ja dann absolut konvergent, wenn $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~ |a^n| \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Da ja $\begin{eqnarray*} |a|=\sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$ müsste ich doch nur beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~(a^2+b^2)^n \end{eqnarray*}$ konvergiert, oder nicht?

Ich bräuchte das ziemlich dringend für morgen, wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.

Gruß, Vera

09.01.2005, 14:06

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Smarti
Da ja $\begin{eqnarray*} |a|=\sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$ müsste ich doch nur beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~(a^2+b^2)^n \end{eqnarray*}$ konvergiert, oder nicht?

Nein, du musst beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)^n \end{eqnarray*}$ . Das ist nicht schwer: Für welche q konvergiert denn $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~q^n \end{eqnarray*}$ und für welche a konvergiert dann die obige Reihe?

09.01.2005, 14:19

Smarti

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$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~q^n \end{eqnarray*}$ konvergiert doch wenn $\begin{eqnarray*} 0 < q <\gamma < 1, y < 1 \end{eqnarray*}$ .

Also konvergiert die Reihe, wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2+b^2} < \gamma \end{eqnarray*}$ , daraus folgt, dass ...was folgt nun daraus?

Gruß, Vera

edit: Vielleicht kann ich einfach sagen, dass der Betrag von a kleiner y < 1 sein muss?

edit2: aber wie ist dann der Grenzwert den ich bestimmen muss? Hilfe!

09.01.2005, 15:05

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Smarti
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~q^n \end{eqnarray*}$ konvergiert doch wenn $\begin{eqnarray*} 0 < q <\gamma < 1, y < 1 \end{eqnarray*}$ .

'Falsch', Es konvergiert, wenn $\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$ . Also konvergiert die Reihe für $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2+b^2}<1 \end{eqnarray*}$
Tipp für den Grenzwert: Die geometrische Summenformel gilt auch im Komplexen.

09.01.2005, 15:44

Smarti

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Ok, dann wende ich diese mal an

$\begin{eqnarray*} \frac{1-(\sqrt{a^2+b^2)}^{n+1}}{1-(\sqrt{a^2+b^2)}} \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2+b^2} < 1 \end{eqnarray*}$ wird doch der obere Ausdruck = 1. Der Untere wird somit irgendwas 0 < x < 1, also was ist nun der Grenzwert?

09.01.2005, 15:48

Mathespezialschüler

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Du musst jetzt von $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~|a^n| \end{eqnarray*}$ auch wieder auf $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~a^n \end{eqnarray*}$ zurückgehen, das konvergiert auch falls, $\begin{eqnarray*} |a|<1 \end{eqnarray*}$ ist. Der Grenzwert ist dann

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-a} \end{eqnarray*}$ .

09.01.2005, 15:56

Smarti

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Ah, natürlich.

Danke dir. Den Rest versuche ich irgendwo abzuschreiben , weil dazu hab ich nichtmakl einen Ansatz *g*

Gruß, Vera

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