Gleichungssystem

Neue Frage »

jat Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungssystem
Ich hab ein kleines Problem mit einer Matheaufgabe, die meine Tochter über Weihnachten aufbekommen hat. Ich habe mich schon dumm und duselig gerechnet und hoffe, das mir hier einer helfen kann.

Die Aufgabe:

Ein Zug fährt vom Startbahnhof eine Stunde mit konstanter Geschwindigkeit und fährt danach aufgrund eines Schadens nur noch 3/5 der vorherigen Geschwindigkeit. Deshalb kommt er am Zielbahnhof 2 Stunden zu spät an. Wenn der Schaden 50 km später aufgetreten wäre, hätte er nur 20 Minuten Verspätung gehabt.

Frage: Wie lang ist die Strecke zwischen den Bahnhöfen?

Danke schonmal.

edit: Titel geändert, bitte wähle einen aussagekräfigen Titel! (MSS)
Sciencefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Am besten man stellt erst mal ein paar Gleichungen auf.
v:=die normale Geschindigkeit
t:=eigentliche Fahrtdauer in Stunden
s:=Strecke in km
a:=Strecke, die der Zug mit verminderter Geschwindigkeit fährt in km
Dann erhält man die Formeln




edit: latex verbessert (MSS)
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

vielleicht geht es doch:
s = vt
daher:
tatsache: s= v*1 + 3/5v(t + 1)
was wäre wenn: s = v*1 + 50 + 3/5v(t - 2/3 - 50/v)
daraus erhält man v = 20 km/h
und nun
s - 20 - 50 = 12(s/20 - 2/3 - 5/2)

ergibt AB = 80 km

hoffentlich ist das auch wahr,
der kopf ist noch schwer vom feiern
werner
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist vielleicht eine tückische Aufgabe, die sollte der Lehrer mal an der Tafel vorrechnen.

Es sei
v1 = Geschw. des Zuges ohne Schaden
L1 = Fahrstrecke des Zuges ohne Schaden
t1 = Fahrzeit des Zuges ohne Schaden

v2 = Geschw. des Zuges mit Schaden = 3/5*v1
L2 = Fahrstrecke des Zuges mit Schaden
t2 = Fahrzeit des Zuges mit Schaden

L0 = gesamte Fahrstrecke = L1 + L2
t0 = gesamte Fahrzeit, wenn kein Schaden Aufgetreten wäre
v0 = Geschw. des Zuges ohne Schaden = v1

Nun gilt allgemein:
Fahrzeit = Fahrstrecke/Geschwindigkeit, also ti=Li/vi

Dann folgt für die Fahrzeit mit Schaden
Gl. 1: im 1. Fall: L1/v1 + L2/v2 = t0 + 2
Gl. 2: im 2. Fall: (L1+50)/v1 + (L2-50)/v2 = t0 + 1/3

Gl.1 minus Gl.2 ergibt: -50/v1 + 50/v2 = 2 - 1/3
und mit v2=3/5*v1 folgt : v1 = 20 km/h und v2 = 12 km/h

Aus Gl.1 folgt mit t0=L0/v0=(L1+L2)/v1
L1/20 + L2/12 = (L1+L2)/20 + 2
Dabei hebt sich L1 weg und es bleibt für L2: L2 = 60 km

Die Fahrzeit bei vermindeter Geschwindigkeit v2 ist
im 1. Fall: t2 = L2/v2 = 60/12 = 5 h
im 2. Fall: t2' = (L2-50)/v2 = 10/12 = 5/6 h = 50 Min.

So, und jetzt weiß ich nicht mehr weiter, irgendeine Angabe muss ich bisher übersehen haben. Vielleicht kann ja jemand helfen.

EDIT: Nachtrag
Ich sehe gerade, Sciencefreak hat auch nur 3 Gleichungen für 4 Unbekannte ....

EDIT: Schreibfehler oben bei Gl.2 ff korrigiert, Dank an Arthur Dent
Sciencefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Schon damit komme ich nicht klar
Zitat:
s= v*1 + 3/5v(t + 2)

Wieso v*1? und der Zug fährt doch nicht (t+2)h lang mit verminderter Geschwindigkeit, sonst müsste er die gesamte Strecke lang einen Schaden gehabt haben

Hier mal meins:
Zitat:
Original von Sciencefreak




Ich rechne jetzt einfach mal die Differenz der 2. und 3. Gleichung aus und erhalte somit



Somit habe ich eine andere Geschwindigkeit
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@etzwane

Ich glaube, du hast den einfachsten Fall vergessen: Dass der Zug ohne Schaden durchfährt (2 Stunden schneller als in deinem 1.Fall.

War nicht sehr deutlich in der Aufgabenstellung... Augenzwinkern

EDIT:

Entschuldigung, ist doch drin.
 
 
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sciencefreak
Schon damit komme ich nicht klar
Zitat:
s= v*1 + 3/5v(t + 2)

Wieso v*1? und der Zug fährt doch nicht (t+2)h lang mit verminderter Geschwindigkeit, sonst müsste er die gesamte Strecke lang einen Schaden gehabt haben


hatte ich schon korrigiert,
der weg ist das ziel
werner
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

@Arthur Dent

Ja, genau dafür suche ich einen Ansatz, und finde ihn nicht. Ich muss ein Brett vor dem Kopf haben ...

Ich denke später noch einmal darüber nach.
Sciencefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hast du gerechnet, dass der Zug eine Stunde unbeschadet fährt und dann plötzlich der Defekt auftritt

Es geht nicht. Ich habe oben mal das mit der Geschwindigkeit durchgerechnet. Und damit kann man jetzt nur die Entfernung ausrechnen, in der der Unfall vor dem Zeilbahnhof passiert ist, aber nicht die Entfernung der beiden Bahnhöfe
jat Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe durch ausprobieren in einer Exceltabelle v und s ermittelt, so dass alle Bedingungen erfüllt sind, danach ist v=31,25 km/h und s=125 km

aber das Rumprobieren ist nicht der richtige Weg, es muss irgendwie noch eine Bedingung geben, die die Beziehung zwischen den beiden Verspätungen näher definiert, daraus müsste sich dann die 4.Gleichung für die 4. Unbekannte ergeben, aber ich weiß nicht wie ich es anstellen soll traurig
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Der Faulheit halber habe ich etzwanes Rechnung nur in wenigen Punkten korrigiert und ergänzt (1 Stunde defektfreies Fahren im 1.Fall !!!):

Zitat:
Original von etzwane

Es sei
v1 = Geschw. des Zuges ohne Schaden
L1 = Fahrstrecke des Zuges ohne Schaden
t1 = Fahrzeit des Zuges ohne Schaden (1h)

v2 = Geschw. des Zuges mit Schaden = 3/5*v1
L2 = Fahrstrecke des Zuges mit Schaden
t2 = Fahrzeit des Zuges mit Schaden

L0 = gesamte Fahrstrecke = L1 + L2
t0 = gesamte Fahrzeit, wenn kein Schaden Aufgetreten wäre
v0 = Geschw. des Zuges ohne Schaden = v1

Nun gilt allgemein:
Fahrzeit = Fahrstrecke/Geschwindigkeit, also ti=Li/vi

Dann folgt für die Fahrzeit mit Schaden
Gl. 1: im 1. Fall: L1/v1 + L2/v2 = t0 + 2
Gl. 2: im 2. Fall: (L1+50)/v1 + (L2-50)/v2 = t0 + 1/3

Gl.1 minus Gl.2 ergibt: -50/v1 + 50/v2 = 2 - 1/3
und mit v2=3/5*v1 folgt : (-50+50*5/3)/v1 = 5/3
v1 = 20 km/h und v2 = 12 km/h

Es ist L1=v1*t1, also L1 = 20 km

Aus Gl.1 folgt mit t0=L0/v0=(L1+L2)/v1
L1/20 + L2/12 = (L1+L2)/20 + 2
Dabei hebt sich L1 weg und es bleibt für L2: L2 = 60 km


Wegen L0 = L1 + L2 ist L0 = 80km.
Sciencefreak Auf diesen Beitrag antworten »

20 km/h habe ich auch raus, aber die 1h vorher fahren ist schwachsinn. Er könnte auch vorher 5h fehlerfrei gefahren sein. Somit kann man nur die Entfernung zwischen Beginn des langsamer fahrens und Ende dwer Fahrt bestimmen. Die Zeit vorher kann man ganz beliebig wählen.

Hier mal ein Beispiel.
edit:Beispiel ist Schwachsinn, weil ich nicht lesen kann
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem
Was ist daran Schwachsinn:

Zitat:
Original von jat
Ein Zug fährt vom Startbahnhof eine Stunde mit konstanter Geschwindigkeit und fährt danach aufgrund eines Schadens nur noch 3/5 der vorherigen Geschwindigkeit.
Sciencefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Mist. So lese ich eine Aufgabenstellung. In Ordnung. Ich habe mal wieder gemerkt, dass ich nicht lesen kann. Somit sind 80km natürlich richtig
Somit ist die 4. Gleichung die mir fehlte wirklich

Und somit ist sie eindeutig lösbar
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Der Faulheit halber habe ich etzwanes Rechnung nur in wenigen Punkten korrigiert und ergänzt (1 Stunde defektfreies Fahren im 1.Fall !!!):

Danke, das war es, da hätte ich noch stundenlang Nachdenken können, und hätte das nicht gesehen ...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe zumindest nicht nur schmarotzt, sondern auch noch deinen Fehler mit (L1-50),(L2+50) in das richtige (L1+50),(L2-50) korrigiert. Du hattest wahrscheinlich v1=-20km/h rausgekriegt, und dann als alter Physiker den Betrag gebildet. Big Laugh
Sciencefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Denn Fehler habe ich doch gleich korrigiert oder hat jemand anders den gleichen Fehler gemacht gehabt
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Das war ein Schreibfehler von mir, da rauchte mein Kopf schon gewaltig.

3 Seiten DIN A4 vollgeschrieben und immer noch kein Ergebnis kann ganz schön frustrieren.

Ich hab's oben korrigiert, danke.
Sciencefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Nach solch einem Haufen Arbeit ist das schon verständlich. Ich habe im Kof gerechnet und habe da irgendwie die Vorzeichen vertauscht
jat Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke jedem einzelnen, der sich hier eingebracht hat, recht herzlich für seine Bemühungen.

Jetzt muss ich das alles erstmal ordnen. Stimmten eigentlich meine Angaben von oben (125 km)? So richtig bin ich da noch nicht durchgestiegen.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

weil es so schön war
werner
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ergänzend noch die "Probe" zu den von uns ermittelten 80 km.

Die beiden Geschwindigkeiten waren 20 km/h (normal) und 12 km/h (verlangsamt), scheint also ein wahrer Bummelzug zu sein.

Einzeln aufgeschlüsselt, entsprechend der drei Varianten der Aufgabenstellung:

1) Defektfreies Fahren die ganzen 80 km, dauert 4 Stunden.

2) 20 km defektfrei (1 Stunde), dann 60 km verlangsamt (5 Stunden), dauert 6 Stunden.

3) 70 km defektfrei (3 1/2 Stunden), dann 10 km verlangsamt (5/6 Stunden), dauert 4 1/3 Stunden (4 Stunden 20 Minuten).

Die Probe stimmt also.
jat Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, danke.

Nach Durchsicht der Beiträge habe ich auf meinen Fehler erkannt. Ich habe bei der 2.Gleichung zwar für den ersten Streckenabschnitt (schadensfreie Fahrt) 50 km hinzuaddiert, aber für den 2. Streckenabschnitt (3/5 der Geschw.) die 50 km nicht wiedr abgezogen. Hammer Durch solche Konzentrationsschwächen rechnet man stundenlang umsonst rum.

Danke nochmal. ihr hab mir sehr geholfen.
laarisha Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja echt kniffelig...

Darf ich mal fragen in welcher Klasse und auf welcher Schule deine Tochter ist, jat? Nur interessehalber als angehende Mathelehrerin

Gruß, laarisha
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »