Starkes Gesetz der großen Zahlen

13.05.2007, 21:53

mathcat

Starkes Gesetz der großen Zahlen

Hallo liebe Mathefreunde,
sitze gerade vor einer Matheaufgabe, die höchstwahrscheinlich etwas mit dem starken Gesetz der großen Zahlen zu tun hat ... irgendwie komme ich nicht weiter. Ich schätze ich blick dieses Thema noch nicht ganz unglücklich

Könnt ihr mir vielleicht da weiterhelfen?!? Über jeden Tip wäre ich sehr dankbar.
Lg mathcat

Hier die Aufgabe:

'Ihnen wird das folgende Glücksspiel angeboten: Sie setzen das Startkapital K(0)=100 Euro ein und erhalten in der n-ten Runde, n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , abhängig vom Ausgang eines fairen Münzwurfexperiments, 2/3 des bisherigen Kapitals K(n-1) als Gewinn, sofern "Zahl" erscheint, andernfalls verlieren sie den Betrag 1/2K(n-1). Der Anbieter des Spiels versucht Sie mit dem Argument
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} E[K(n)]= \infty \end{eqnarray*}$
von der Vorteilhaftigkeit dieses Glücksspiels zu überzeugen. Enttäuschte Spieler behaupten jedoch, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} K(n)= 0 \end{eqnarray*}$ P-f.s. gilt. Sollten Sie sich auf dieses Spiel einlassen?

verwirrt

also ich denk schon dass ich mich nicht darauf einlassen sollte, aber wie überprüfe ich die obigen Behauptungen? traurig

13.05.2007, 22:39

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Man kann erstmal die Folge der Einzelgewinne $\begin{eqnarray*} X_1,X_2,\ldots \end{eqnarray*}$ einführen, und zwar mit der Bedeutung $\begin{eqnarray*} X_n=1 \end{eqnarray*}$ für Einzelgewinn und $\begin{eqnarray*} X_n=0 \end{eqnarray*}$ für Einzelverlust im n-ten Spiel.

Dann gilt für die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} K_n \end{eqnarray*}$ (Guthaben nach dem n-ten Spiel)

$\begin{eqnarray*} K_n = \begin{cases} \frac{5}{3}K_{n-1} & \;\mbox{für}\; X_n=1\\[2ex] \frac{1}{2}K_{n-1} & \;\mbox{für}\; X_n=0\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Daraus kann man leicht $\begin{eqnarray*} E(K_n) = \frac{1}{2} \left( \frac{5}{3} \cdot E(K_{n-1}) + \frac{1}{2} \cdot E(K_{n-1}) \right) = \frac{13}{12}\cdot E(K_{n-1}) \end{eqnarray*}$ und somit

$\begin{eqnarray*} E(K_n) = 100\cdot \left( \frac{13}{12} \right)^n \end{eqnarray*}$

folgern, womit die Frage der Erwartungswertkonvergenz klar ist.

Die andere Frage ist schwieriger - fangen wir mal an mit etwas Heuristik: Wenn man bei zwei Spielen einmal gewinnt und einmal verliert, dann landet man bei

$\begin{eqnarray*} K_n = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot K_{n-2} = \frac{5}{6} K_{n-2} \end{eqnarray*}$ ,

also bei weniger als zuvor. Jetzt etwas weiter gesponnen: Man betrachte das Ereignis, bei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Spielen weniger als $\begin{eqnarray*} cn \end{eqnarray*}$ -mal zu gewinnen, mit einer Konstante $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ nur "etwas" größer als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Dann konvergiert die Wkt, dass das eintritt, gegen 1. Trotzdem konvergiert der zufällige Gewinn in diesem Ereignisfall stets gegen Null (!!!), und das genügt dann für den zweiten Teil. Das muss man natürlich alles ordentlich aufschreiben, ist noch eine ordentliches Stück Arbeit - dann leg mal los. smile

Noch als Hilfestellung: Mit obigen Bezeichnungen kann man auch kurz $\begin{eqnarray*} K_n = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{10}{3}\right)^{X_n} \cdot K_{n-1} \end{eqnarray*}$ schreiben. Durch Induktion folgt leicht

$\begin{eqnarray*} K_n = \frac{1}{2^n} \cdot \left(\frac{10}{3}\right)^{S_n} \cdot 100 \end{eqnarray*}$ mit Gewinnanzahl $\begin{eqnarray*} S_n:=X_1+\cdots+X_n \end{eqnarray*}$

Gemäß Bernoulli-Experiment ist $\begin{eqnarray*} S_n\sim B\left(n,\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray*}$ , also (zentriert) binomialverteilt, das hilft bei den weiteren Betrachtungen...

14.05.2007, 21:35

mathcat

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P-fast sichere Konvergenz
Vielen, vielen lieben Dank für deine Mühe und Erklärungen, Arthur Dent. smile

Leider konnte ich dir nicht wirklich folgen (obwohl ich es mir mehrmals angeschaut und lange drüber nachgedacht habt) unglücklich

Wie kommt man z.B. auf den Wert (5/3) für den Gewinn? Heißt das man rechnet 1+(2/3)=(5/3), oder liege ich da falsch?!?

Desweiteren habe ich überhaupt keinen Plan wie ich die P-fast sichere Konvergenz von K(n) beweisen bzw. zeigen soll. *sorry* traurig

Ich glaub das Thema blick ich nicht ganz ...
Könntest du es mir vielleicht nochmal genauer erklären?!? Gott

Liebe Grüße
mathcat

p.s.: Hilft mir solch ein Ansatz irgendwie weiter?!?
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} ln (K(n))= ... = ... +\frac{1}{n}*\sum_{k=1}^n~ln Y(k) \end{eqnarray*}$

15.05.2007, 12:22

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Zitat:

Original von mathcat
Wie kommt man z.B. auf den Wert (5/3) für den Gewinn? Heißt das man rechnet 1+(2/3)=(5/3), oder liege ich da falsch?!?

Nein, da liegst du richtig. Und ich habe nicht von Gewinn, sondern von

Guthaben = (Alt-)Bestand + Gewinn

gesprochen, bzw. im Verlustfall eben

Guthaben = (Alt-)Bestand - Verlust

15.05.2007, 20:03

mathcat

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Hilfe

ah , cool, dann habe ich es doch verstanden...

traurig

Kannst du mir aber vielleicht noch einen Tip zur zweiten Teilaufgabe geben *please

Komm da echt nicht weiter unglücklich

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