Laplace'scher Entwicklungssatz

14.05.2007, 00:57

meli05

Laplace'scher Entwicklungssatz

huhu,

ich sol die unten angegebene $\begin{eqnarray*} n~x~n-Determinante \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} D_n \end{eqnarray*}$ mit Hilfe des Laplace'scher Entwicklungssatzes

a) auf $\begin{eqnarray*} D_{n-1} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} D_{n-2} \end{eqnarray*}$ zurückführen
b) $\begin{eqnarray*} D_{1000} \end{eqnarray*}$ berechnen:

http://www.theochem.uni-stuttgart.de/~100on/mathe/mathe2/6.7/gifs/img6.7.1.f.gif

a) ich hab dann einfach die unterste zeile genommen und 2x entwickelt rauskam für $\begin{eqnarray*} D_{n-1}=-1 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} D_{n-2}=-1 \end{eqnarray*}$

b)

hier ist mir jetzt nicht ganz klar wie ich das lösen soll

kann ich das nach der formel machen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i}^n~A_{ik}(-1)^{i+k} det(A^{i+k} \end{eqnarray*}$
sprich da dann 1000 einsetzen

oder wie mache ich das? irgendwie habe ich das Gefühl, dass bei D_1000 auch -1 rauskommt verwirrt

aber ich kann es nicht erklären

lg
meli

14.05.2007, 04:04

Schmonk

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RE: Laplace'scher Entwicklungssatz
nochmal's Hallo! Wink

Zitat:

Original von meli05
a) ich hab dann einfach die unterste zeile genommen und 2x entwickelt rauskam für $\begin{eqnarray*} D_{n-1}=-1 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} D_{n-2}=-1 \end{eqnarray*}$

Das ist falsch.

verwirrt

Was genau hast du da gemacht?

Die Aufgabe lautet, dass du $\begin{eqnarray*} D_n \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} D_{n-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D_{n-2} \end{eqnarray*}$ darstellen sollst. Also eine Rekursionsformel sollte da als Ergebnis stehen. Mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz ist's eigentlich ganz leicht.

Zitat:

Original von meli05
b)

hier ist mir jetzt nicht ganz klar wie ich das lösen soll

Du sollst die unter a) gefundene Rekursionsformel nutzen und dann $\begin{eqnarray*} D_{1000} \end{eqnarray*}$ ausrechnen. Das könnte jedoch dauern. Augenzwinkern

Besser ist es, mithilfe der Rekursionsformel per Induktion eine Vermutung über eine explizite Darstellung der Determinaten in Abhängigkeit von n zu beweisen. Das klingt jetzt komplizierter, als es ist.

Gruß!

14.05.2007, 10:43

meli05

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und wie komme ich auf diese rekursionsformel, sagt mir jetz grad überhaupt nix unglücklich

??

ich habs so gemacht, dass ich die untereste zeile genommen hab und dannach entwickelt habe...

danke schonmal

14.05.2007, 13:46

Schmonk

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Zitat:

Original von meli05
ich habs so gemacht, dass ich die untereste zeile genommen hab und dannach entwickelt habe...

Aber wie kommst du da auf eine Zahl? Du hast eine nxn-Matrix wobei n beliebig ist...

Hast du den Laplace'schen Entwicklungssatz verstanden?

Als Rekursionsformel bezeichnet man zB die implizite Darstellung einer Zahlenfolge. Bei dieser aufgabe ist demnach erstmal soetwas gefragt:

$\begin{eqnarray*} D_n=f(D_{n-1},D_{n-2}) \end{eqnarray*}$

Also nach einem Weg, der dir erlaubt, aus den schon berechneten Determinanten $\begin{eqnarray*} D_{n-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D_{n-2} \end{eqnarray*}$ die nächste Determinante $\begin{eqnarray*} D_n \end{eqnarray*}$ zu berechnen.

Gruß!

14.05.2007, 14:48

meli05

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ja aber ich muss ja Dn auf $\begin{eqnarray*} D_{n-1}, D_{n-2} \end{eqnarray*}$ zurückführen und die liegen doch im endlichen bereich, also ergeben eine Zahl... oder net? unglücklich

als tipp stand dran:

Entwickeln Sie die Determinante nach Zeilen bzw. Spalten, die möglichst viele Nullen enthalten. Vereinfachen Sie die so erhaltene Rekursionsformel für Dn noch weiter und berechnen sie anschließend D1000.

also hab ich die zeile mit den meisten nullen genomen (die unterste) und dannach entwickelt. Ich kam dann auf -1 was laut lösung auch richtig ist für $\begin{eqnarray*} D_{n-1}, D_{n-2} \end{eqnarray*}$ nur wie ich diese rekursionsformel vereinfachen soll verstehe ich nicht...

als lösung steht da nur:

$\begin{eqnarray*} D_n=-1~ D_{n-1} -1~ D_{n-2} \end{eqnarray*}$

14.05.2007, 16:28

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@meli05

Ich glaube, verbal ist alles von Schmonk gesagt worden, aber irgendwie ist bei dir eine Denkblockade oder ein Missverständnis bei der Anwendung des Laplaceschen Entwicklungssatzes vorhanden, deswegen jetzt mal die Ausführung konkret:

Ich entwickle mal nach der ersten statt der letzten Zeile, da hat man weniger Sorgen beim "Abzählen" der Position, die ja für das Vorzeichen des Terms in der Entwicklung wichtig ist:

$\begin{eqnarray*} D_n = \underbrace{\left| \begin{array}{rrrrrrr} -1 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 1 & -1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 1 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & -1\end{array} \right|}_{\text{Dimension}\; n\times n} = (-1)^{1+1}\cdot (-1)\cdot \underbrace{\left| \begin{array}{rrrrrr} -1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 1 & -1 & 1 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & -1\end{array} \right|}_{\text{Dimension}\; (n-1)\times (n-1)} + (-1)^{1+2} \cdot 1\cdot \underbrace{\left| \begin{array}{rrrrrr} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & -1\end{array} \right|}_{\text{Dimension}\; (n-1)\times (n-1)} \end{eqnarray*}$

Die erste Teildeterminante ist offensichtlich $\begin{eqnarray*} D_{n-1} \end{eqnarray*}$ . Die zweite Teildeterminante wird nun nochmal entwíckelt, diesmal nach der ersten Spalte, da ist nur das allererste Element ungleich Null:

$\begin{eqnarray*} D_n = -D_{n-1} - (-1)^{1+1} \cdot 1 \cdot \underbrace{\left| \begin{array}{rrrrr} -1 & 1 & \cdots & 0 & 0\\ 1 & -1 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1\\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -1\end{array} \right|}_{\text{Dimension}\; (n-2)\times (n-2)} = -D_{n-1}-D_{n-2} \end{eqnarray*}$

P.S.: Jetzt muss ich mich erstmal ausruhen, denn ich habe einen LaTeX-Copy+Paste-Schreibkrampf in der Hand, das war das eigentlich komplizierte - nicht die Mathematik ... Big Laugh

15.05.2007, 18:11

meli05

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huhu,

ich danke dir für deine mühen, hat bestimmt jahre gedauert das in latex einzugeben Big Laugh

ich verstehe drei sachen nicht:

1. wieso kann ich bei einer dimension von n x n einfach sagen die unterste zeile sei 0, 0, 0, 0 ... 1 -1 ?

2. wie komme ich bei der zweiten teildeterminante auf die erste spalte?!

3. und warum wird die zweeite teildeterminmante nochmals entwickelt nicht die erste?

4. wie komm ich damit auf $\begin{eqnarray*} Dn_1000 \end{eqnarray*}$ verwirrt

ach is das eine doofe aufgabe!

trotzdem nochmals danke für deine hilfe!!!

lg
meli05

21.05.2007, 12:17

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Weiß nicht, ob du nach einer Woche nochmal vorbeischaust, aber hier zu deinen Fragen:

Zitat:

Original von meli05
1. wieso kann ich bei einer dimension von n x n einfach sagen die unterste zeile sei 0, 0, 0, 0 ... 1 -1 ?

Weil das deine Matrix ist - oder wie soll die letzte Zeile sonst aussehen???

Zitat:

Original von meli05
2. wie komme ich bei der zweiten teildeterminante auf die erste spalte?!

Einfach Laplacescher Entwicklungssatz: Bei der ersten Teilmatrix werden erste Zeile und erste Spalte der Originalmatrix gestrichen; bei der zweiten Teilmatríx die erste Zeile und zweite Spalte der Originalmatrix. So ist nun mal der Entwicklungssatz - was soll ich weiter dazu sagen?

Zitat:

Original von meli05
3. und warum wird die zweite teildeterminmante nochmals entwickelt nicht die erste?

Weil die erste Teildeterminante genau der Struktur von $\begin{eqnarray*} D_{n-1} \end{eqnarray*}$ entspricht, warum soll ich sie dann noch weiter entwickeln - wäre doch Unsinn! Bei der zweiten Teildeterminante liegt jedoch noch nicht eine solche Struktur vor, aber nach dem nächsten Entwicklungsschritt schon, nämlich dann $\begin{eqnarray*} D_{n-2} \end{eqnarray*}$ , und genau deswegen wird der Schritt so gemacht!

Zitat:

Original von meli05
4. wie komm ich damit auf $\begin{eqnarray*} Dn_1000 \end{eqnarray*}$ verwirrt

Sei nicht so faul, sondern rechne mal $\begin{eqnarray*} D_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D_2 \end{eqnarray*}$ direkt aus, und dann die nächsten $\begin{eqnarray*} D_3,D_4,D_5,\ldots \end{eqnarray*}$ über die eben gewonnene Rekursion. Dann müsstest du eigentlich eine Regelmäßigkeit sehen, die es dann nur noch zu begründen gilt. Und mit dieser "Regelmäßigkeit" kommst du dann auch ganz schnell auf $\begin{eqnarray*} D_{1000} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von meli05
ach is das eine doofe aufgabe!

Ganz im Gegenteil: Das ist eben eine Aufgabe, wo man mal ein bisschen nachdenken muss. Aber nun auch nicht wieder so viel, dass sie wirklich schwer ist.

Zitat:

Original von meli05
trotzdem nochmals danke für deine hilfe!!!

Dieses "trotzdem" finde ich immer wieder schön. Man könnte es aber auch als Geringschätzung der geleisteten Hilfe auffassen... verwirrt

22.05.2007, 11:28

meli05

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hei das trotzdem bezog sich nicht auf deine hilfe, sondern auf die doofe aufgabe und dass du mir trotzdem dabei hilft Augenzwinkern

du sprichst von der struktur Dn-1 die die erste teildeterminante hat? Ich verstehe nicht warum die anders ist als die der zweiten teildeterminanten

gern würde ich $\begin{eqnarray*} D_1 \end{eqnarray*}$ errechnen, ich weiß nur nicht wie die aussieht?! faul bin ich nicht traurig

soll ich da einfach das hier berechnen, den n-bereich sprich die punkte einfach ignorieren:

http://www.theochem.uni-stuttgart.de/~100on/mathe/mathe2/6.7/gifs/img6.7.1.f.gif

oder hier ne 1 einsetzen und dann ausrechnen?!

$\begin{eqnarray*} D_n=-D_{n-1}-D_{n-2} \end{eqnarray*}$

sprich:

$\begin{eqnarray*} D_1=-D_{1-1}-D_{1-2} \end{eqnarray*}$

hoffe du schaust hier auch nochmal rein Augenzwinkern

danke!

lg
meli

22.05.2007, 13:02

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Zitat:

Original von meli05
du sprichst von der struktur Dn-1 die die erste teildeterminante hat? Ich verstehe nicht warum die anders ist als die der zweiten teildeterminanten

Na schau sie dir doch einfach an! $\begin{eqnarray*} D_n \end{eqnarray*}$ hat die Struktur einer sogenannten Bandmatrix: Auf der Hauptdiagonalen ist jeweils $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ , auf den beiden Nebendiagonalen - jeweils eine links und rechts der Hauptdiagonalen - steht jeweils $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , und im gesamten Rest der Matrix nur Nullen. Das ist doch nicht so schwer zu begreifen, da muss man doch nur die Augen aufmachen und kein bisschen rechnen...

Nun zu den Anfangswerten: Ich verstehe nicht, was daran so kolossal schwierig ist:

$\begin{eqnarray*} D_1 = \left| \begin{array}{r} -1 \end{array} \right| = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D_2 = \left| \begin{array}{rr} -1 & 1\\ 1 & -1\end{array} \right| = 0 \end{eqnarray*}$ ,

von mir aus auch noch

$\begin{eqnarray*} D_3 = \left| \begin{array}{rrr} -1 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 1\\ 0 & 1 & -1\end{array} \right| = 1 \end{eqnarray*}$ ,

aber das passt bereits in die Rekursion $\begin{eqnarray*} D_3=-D_2-D_1 \end{eqnarray*}$ . Und jetzt rechne mal weiter

$\begin{eqnarray*} D_4 = -D_3-D_2 = -1-0 = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D_5 = -D_4-D_3 = -(-1)-1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D_6 = -D_5-D_4 = -0-(-1) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D_7 = -D_6-D_6 = -1-0 = -1 \end{eqnarray*}$

...

Und jetzt allgemein ...

22.05.2007, 15:17

meli05

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ah ok jetzt hab ichs verstanden, von dieser bandmatrix hatte ich halt noch nie gehört...

als ergebnis kommt ja immer -1,0,1,-1,0,1,-1... etc. deshalb sollte $\begin{eqnarray*} D_{1000} \end{eqnarray*}$ = -1 sein oder?

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