Einheitskreis, vielleicht grapfhisch lösbar?

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gast Auf diesen Beitrag antworten »
Einheitskreis, vielleicht grapfhisch lösbar?
Hallo, kann mir jemand helfen?!

Der zufällige Vektor (X,Y) sei gleichverteilt auf dem Einheitskreis K = {(x,y) aus R²; x²+x² =< 1}
a) Berechne Die Dichte von X sowie von Y
b) Berechnen sie den Erwartungswert des FLächeninhaltes des Rechteckes mit den Eckpckten (0,0); (0,Y); (X,0) und (X,Y)
c) Berechne die Kovarianz von X und Y.


Zu a)
Verteilungsfunktion von X:
VF = 2 / PI * Int_von_-1_bis_x( Wurzel(1-u²) )du
VF = 2 / PI * Int( - sin²t )dt
VF = 2 / PI * [ 1/2 * cos(t)*sin(t) - 1/2 * t + C ]
VF = 2 / PI * [ 1/2 * u * Wurzel(1-u²) - 1/2 * arccos(u) + C ]_von_-1_bis_x
VF = 2 / PI * [ 1/2 * x * Wurzel(1-x²) - 1/2 * arccos(x) - 1/2 * (-1) * Wurzel(1-(-1)²) + 1/2 * arccos(-1) ]
VF = 1 / PI * [ x * Wurzel(1-x²) - arccos(x) + arccos(-1) ]
VF = 1 / PI * [ x * Wurzel(1-x²) - arccos(x) + PI ]
VF = 1 + [ x * Wurzel(1-x²) - arccos(x) ]/PI

Ableiten für die Dichte ergibt (nach etwas REchnung)
f(x) = 2 * Wurzel(1-x²) für_-1_bis_1; 0 sonst ist Dicht von X
Aus Symmetrie gründen folgt:
f(y) = 2 * Wurzel(1-y²) für_-1_bis_1; 0 sonst ist Dicht von Y



Zu b)
Wie gehe ich hier vor?
Glaube die ZV X und Y sind unabhängig, so dass sich für c) zwangsläufig Null ergaben müsste!
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einheitskreis, vielleicht grapfhisch lösbar?
Du hast ja die Dichtefunktion



(I_K ... Indikatorfunktion des Kreisinneren).

Den Erwartungswert einer beliebigen (integrierbaren) Funktion g(X,Y) kannst du nun wie immer berechnen durch



Ja, und was nehmen wir wohl bei b) als g(x,y) ?
gast Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt denn die Rechnung zu a)....mir ist aufgefallen, müsste unten noch mal 2/PI verrechnet werden, so dass man f(x) = 4/PI* Wurzel(1-x²) für_-1_bis_1; 0 sonst ist Dichte von X

Die Aufgabe besagt ja was von einem Rechteck, würde daher annehmen das g(x,y) = |x| * |y| ist, mache die Betragstriche hierhin da der Flächeninhalt positiv orientiert sein muss!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Der Vorfaktor ist falsch, es ist



im Intervall [-1,1]. Das kann man auch über



berechnen.

Das g ist richtig.

P.S.: Schreib mal die Formeln mit LaTeX (Formel-Editor!), das ist dann besser lesbar.
gast Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Methode gefällt mir sogar besser! Ist die Definitionsmethode, meine war ein wenig graphisch orierniet. schreibe morgen hier rein wie weit ich gekommen bin, danke !
gast Auf diesen Beitrag antworten »

Zu a)

Nach Def. der Gleichverteilung (:





natürlich gilt für x außerhalb des Intervalls [-1, 1]

Zwischenfrage: der ausgewählte Vektor wie es in Aufgabenteil a) steht, muss der aus dem Kreisinneren stammen oder nicht? Wenn nicht würde Aufgabenteil b) keinen Sinn machen. da alle Vektoren aushalb des Kreises(x>1, y>1) die Wahrscheinlichkeit 1/4 hätten?!
 
 
gast Auf diesen Beitrag antworten »

3 Zeile zwischen den Wurzelausdrücken muss ein y hin!.
gast Auf diesen Beitrag antworten »

Zu b)
und nach Def. ist:

gast Auf diesen Beitrag antworten »

Zu c)
Cov(X,Y) = E(XY) - EX * EY laut Def.

Symmetrie des Kreises: EY =


Wäre nett wenn jemand was zu schreiben könnte!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwo fehlt Faktor 2, ich denke mal hier:



... aber in den nächsten Zeile fehlt dann wieder Faktor 1/2, also gleicht sich der Fehler aus. Augenzwinkern

Wieso kommt denn jetzt bei der Berechnung von EX ein "|x|" rein? Da muss wie immer nur "x" stehen!
gast Auf diesen Beitrag antworten »

Zu b) Hatte mich mit den Grenzen vertan, -1 < y < 1
und nach Def. ist:

Funktion ist y-Achsensymmetrisch..



war die Korrektur zu b)

glaube die bezeichnung EX ist nicht gut gewählt von mir, müsste E(g(x)) stehen mit g(x) = |x| d.h. E(|X|) ist auszurechnen...
naja sehe aber grade ich muss Cov(X,Y) ausrechnen hab im Grunde Cov(|X|, |Y|) ausgerechnet....kann mich hier was retten??? (Symmetrie???)
oder muss ich das ganze wieder durchkauen, d.h. E (XY) ausrechnen und nun richtig EX statt E|X| ausrechnen?
gast Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich E(XY) müsste doch null rauskommen, da die Fkt ungerade ist, bei EX bzw EY entsprechend auch null so dass insgesammt null rauskommt? verwirrt oder
gast Auf diesen Beitrag antworten »

Was mich beschäftigt ist bei b) ob das rechteck im kreis liegen muss oder es auch darüber hinausgehen darf, wenn ja würde es ja immer die wahrscheinlich PI^2/4 durch PI erhalten. und da es unend. viele Punkte aushalb der kreises gibt müsste der Erwartungswert doch ins unendliche schießen
AD Auf diesen Beitrag antworten »

1) Null ist richtig für die Kovarianz.

2) Außerhalb des Einheitskreises liegt - bildlich gesprochen - keine "Wahrscheinlichkeitsmasse". Es ist daher völlig unerheblich, wie groß der Flächeninhalt |X|*|Y| da wäre, da der Fall sowieso nie eintritt.

Unterm Integral äußerst sich das so:



für (x,y) außerhalb des Einheitskreises - also wo ist das Problem?

Außerdem kannst du dir geometrisch klar machen, dass das Rechteck vollständig innerhalb des Kreises liegt, sofern (X,Y) innerhalb des Kreises liegt, und das ist ja (fast sicher) der Fall.
gast Auf diesen Beitrag antworten »

glaube mein problem rührt daher, dass ich den schnitt vom kreis und dem rechteck nehme, was dann immer ein viertel vom kreis ist wenn ein punkt im ursprung liegt un der andere außerhalb des kreises. naja je mehr ich drüber nachdenke - wenn ich einen vektor wähle ausserhalb des kreises, so kann dieser gar nicht mitgezählt werden da er eh mit wahrscheinlichkeit null gezählt wird - glaube ich habs verstanden nur meine interpretation mit dem schnitt der beiden flächen verunsicherte mich doch sehr stark.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Verteilungsfunktion von ist mit



dann folgt doch nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sofort



für die Dichte. Die lange Rechnung am Anfang ist also unnötig.
gast Auf diesen Beitrag antworten »

danke für eure hilfe. smile
gast Auf diesen Beitrag antworten »

die aufgabe wurde ergänzt, soll nun auch die verteilung und dichte von R= Wurzel aus (X^2+Y^2), und dann auch noch für |X|
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Irgend welche Ideen für einen Ansatz?
gast Auf diesen Beitrag antworten »

glaube für |X| ist leichter, würde deshalb damit anfangen!
was klar ist |X| >= 0, d.h. P(|X|<0) =0
hm...wenn ich es mir genau überlege gilt doch:
die von leopold angegebene Verteilungsfunktion (leicht verändert):



Hauptsatz der...
=> ableiten:

man müsste doch - fasse eben zusammen was ich gemacht habe - nun von 0 bis |x| schauen, da man auf P(0<|X|<|x|) schaut

für den anderen fall mit R hab ich keine idee...
vielleicht so - fast keine idee also Augenzwinkern - erstmal X^2 (mon. steigend) ausrechnen....
geht über einen trafosatz, dann ist Y^2 entsprechend smile
dann beide übers faltungsprodukt bilden
und dann noch mal einen trafosatz (monoton steigend)
aber ist mir irgendwie zu umständlich, wenn das überhaupt geht!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt sicher mehrere Möglichkeiten, z.B. Trafosatz (Kartesische in Polarkordinaten).

Ich will aber noch auf eine andere Methode aufmerksam machen:

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich dem Erwartungswert der entsprechenden Indikatorfunktion, also gilt für r>0:



wobei die Kreisscheibe mit dem Radius r um den Ursprung ist.


P.S.: Die Dichte von |X| ist richtig, natürlich nur für die Argumente in [0,1], außerhalb ist sie Null.
gast Auf diesen Beitrag antworten »

vieleicht ist die methode mit den polarkoord. die bessere, darunter hab ich noch ne teilaufgabe, da steht was von einem winkel, wollte die aber noch nicht hereinposten, sieht ja blöd aus wenn ich nix kann
ich probier mal morgen, heute ist zu spät *gähn*
gast Auf diesen Beitrag antworten »

"Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich dem Erwartungswert der entsprechenden Indikatorfunktion" kenn den Satz leiider nicht....
hab aber mal gerechnet....kommt auch wirklich das raus was ich mir selbst überlegt habe:
ist r>1 liegt der punkt außerhalb des kreises, damit hat man alle punkte des einheitskreises + punkte mit wahrhscheinlichkeit 0.
ist r=1 hat man genau die wahrkeit von 1....alle punkte sind abgedeckt keine anderen zusätzlichen punkte hat man.
ist r<1 (natürlich gibt es nicht r<0..von der geometrischen anschauung her) so ist das gleich flächeninhalt vom K_r durch K_1: also r^2

ableiten um die dichte zubekommen ist dann 2r...

wie geht denn das mit der trafoformel, kann ja mal den nächsten punkt sagen:
bestimme die verteilungsfunktion und dichte von (R,a) wobei a der winkel ist, den (X,Y) mit der x-achse bildet
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gast
"Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich dem Erwartungswert der entsprechenden Indikatorfunktion" kenn den Satz leiider nicht....


Das kann man immer wieder gebrauchen - der Beweis ist ein "Einzeiler":



Dabei ist A ein beliebiges Ereignis, z.B. . Die Erwartungswertberechnung sollte klar sein - schließlich ist eine Indikatorfunktion nichts weiter als eine normale diskrete Zufallsgröße, die nur die zwei Werte 0 und 1 annehmen kann.
gast Auf diesen Beitrag antworten »

gut!
weiterhin soll ich auch zeigen das R und der winkel a unabhängig sind.
sollte mit kreiskoodinaten arbeiten:
x = r* cos a
y = r * sin a
würde sagen 0<R<1 wobei grenzen zugelassen sind, a von 0 bis 2Pi

was ich selbst kann ist die verteilung von a und damit auch dichte auszurechnen! es gilt: kreissektor/kreisfläche

wenn a>2Pi dann gilt stets 1. a kleiner 0 hat wkeit von 0
Ableitung (für dichte) : 1/(2PI) nur fürs oben gesagte a!

was ich noch weiss ist folgendes:
f(r, a) = f_R(r)*f_A(a) ist zu zeigen (damit wären r und a unabhängig!)
also: 2r * 1/(2pi) = r/pi muss f(r,a) sein.
bloss konnte ich nicht verteilungsfunktion und dichte von (R,a) finden! wie mache ich das?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Berechne die gemeinsame Verteilung von R und A, also

(Flächeninhalt eines Kreissektors mit Radius r und Öffnungswinkel a)

(Kannst natürlich auch den Transformationssatz für zweidimensionale Zufallsvektoren anwenden, aber der "geometrische Weg" ist wohl kürzer.)

Und dann weise einfach nach, dass dieser Wert gleich dem Produkt der entsprechenden Randverteilungswahrscheinlichkeiten ist, d.h.

,

fertig ist der Nachweis der Unabhängigkeit.
gast Auf diesen Beitrag antworten »


die unabhängigkeit wäre damit gezeigt.

zu teil b) fehlt noch die dichte!
das hab ich in einem buch gelesen (außerdem schließe ich jetzt von c) auf b) )
da
für r>=0.....wie sonst auch immer...
darf ich auch direkt ableiten (einmal nach a und dann nach r?)
hab vielleicht in meiner rechnung nicht deutlich gemacht das ich abgeleitet habe.....also jeden der beiden einzeln...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe gerade, dass ich mich oben verschrieben hatte - es muss natürlich heißen

(Flächeninhalt ...)

(Der Flächeninhalt des Einheitskreises ist ja immer noch pi und nicht 2pi. ), hast du hoffentlich selbst gemerkt.
Wenn nicht, dann musst du sicher an der einen oder anderen Stellen den Faktor 1/2 korrigieren - Entschuldigung! Hammer

Zitat:
Original von gast
darf ich auch direkt ableiten (einmal nach a und dann nach r?)


Ja, wobei es sogar erlaubt ist, dass die Ableitung an endlich vielen r- oder auch a-Stellen nicht mal existiert ("Knickstellen" in der Verteilungsfunktion, d.h., Sprungsstellen in der Dichtefunktion). Hier passiert das z.B. bei r=1 sowie a=0 und a=2*pi.
gast Auf diesen Beitrag antworten »

arthur danke für deine hilfe.

nochmal:
1/PI * Flächeninhalt eines Kreissektors mit Radius r und Öffnungswinkel a
=
naja jetzt stimmts...hatte ein Pi verschwinden lassen....hatte mich gestern nicht ganz an deiner formel gehalten....macht von daher nix, hab ja nen anderen fehler...überall 1/Pi dazumultiplizieren und die sache ist geritzt Augenzwinkern
gast Auf diesen Beitrag antworten »

ehm ne zwischenfrage:
bereite grade alles noch mal auf, wenn die ableitung an ein paar stellen nicht existiert, so gibt es für die dichtefunktion diese stellen nicht oder heißt das einfach nur ich muss mir dann überlegen was ich an diesen stellen anstelle der ableitung nehme?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Tatsächlich ist es völlig egal (!), wie du die Dichtefunktion an den Sprungstellen wählst. Naheliegenderweise wählt man sie dann meist so, dass man "nur einen" Sprung hat: Also wenn die Funktion an der Stelle von 0 auf 1 springt, so wählt man dann eben an genau der Stelle den Wert 0 oder 1. Aber wie gesagt, es ist völlig egal.

(Falls du schon von Maßtheorie gehört hast, dann verstehst du sicher diese Nichteindeutigkeit der Dichte. Falls nicht, vergiss diese Klammerbemerkung.)
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