Hilfe bei Integral sin(x)*cos(x), unterschiedliche Ergebnisse!

16.05.2007, 01:31	Yuurei	Auf diesen Beitrag antworten »
*Hilfe bei Integral sin(x)cos(x), unterschiedliche Ergebnisse!** Hi Leute, bräuchte mal Hilfe bei folgendem Integral: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\pi/2}~sin(x)\cdot cos(x)~dx \end{eqnarray}$ Über die Substitution: $\begin{eqnarray} u=sin(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{du}{dx} = cos(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dx=\frac{du}{cos(x)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{u(0)}^{u(\pi/2)}~u\cdot cos(x)~\frac{du}{cos(x)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{u(0)}^{u(\pi/2)}~u~du \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow [u]_{u(0)}^{u(\pi/2)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow [sin(x)]_{0}^{\pi/2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow [\sin(\pi/2) - \sin(0)] = 1 \end{eqnarray}$ Es müsste aber $\begin{eqnarray} 0.5 \end{eqnarray}$ herauskommen, da mögliche Stammfunktionen dieses Integrals $\begin{eqnarray} \frac{\sin(x)^2}{2} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} - \frac{cos(x)^2}{2} \end{eqnarray}$ sind. In beiden Fällen kommt als Ergebnis $\begin{eqnarray} 0.5 \end{eqnarray}$ heraus. Wo habe ich einen Fehler gemacht? (Wenn ich die Substitution mit $\begin{eqnarray} u=cos(x) \end{eqnarray}$ durchführe, kommt auch 1 heraus bzw ich mache den selben Fehler)
16.05.2007, 01:50	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int u~\dd u=\frac{1}{2}u^2 \end{eqnarray}$
16.05.2007, 02:03	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativlösung: einmal Partiell oder mit Pythagoras und dann Additionstheorem benutzen...
16.05.2007, 02:27	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Die dann Additionstheorem? Gleich: $\begin{eqnarray} \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x \end{eqnarray}$ .

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