Extremalprobleme, Optimierungsprobleme

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17.05.2007, 00:38	lamodus	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremalprobleme, Optimierungsprobleme Hallo zusammen Wir nehmen in der Schule grad Extremalprobleme durch, aber ich weiss nicht, wie ich eine solche Aufgabe anpacken soll. zB. Eine ebene 400-m-Bahn soll so angelegt werden, dass sie ein Rechteck mit zwei angesetzten Halbkreisen begrenzt. Wie gross muss der Radius r sein und wie lang ein gerades Stück zwischen den Kurven, wenn a) das Rechteck maximalen Flächeninhalt haben soll b) das ganze Oval maximalen Flächeninhalt haben soll. mfg Lamodus
17.05.2007, 01:12	Yoshee	Auf diesen Beitrag antworten »
Da der Flächeninhalt maximal sein muss, ist die Fläche ja schonmal die Hauptbedingung. Also stell die Gleichung für den Flächeninhalt auf.
17.05.2007, 01:24	lamodus	Auf diesen Beitrag antworten »
Flächeninhalt von der 400m-Bahn: $\begin{eqnarray} \pi r^2 + (((400 - 2 * \pi * r)/2) * 2r) \end{eqnarray*}$
17.05.2007, 01:27	Yoshee	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, dass ist weder ein Flächeninhalt, noch ein Volumen, sondern nur quatsch. Mach erstmal nur Aufgabe a), also die Fläche vom Rechteck.
17.05.2007, 01:30	lamodus	Auf diesen Beitrag antworten »
A= ((400-2 * \pi * r) / 2) * 2r
17.05.2007, 01:35	Yoshee	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein! Flächeninhalt des Rechtecks: A= x * 2r wobei x eine Seitenlänge ist. Ist das soweit klar?
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17.05.2007, 01:36	lamodus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ist klar. Aber wenn es eine 400-m-Bahn ist wäre das (400 - 2pir) / 2 doch eine Seitenlänge des Rechteckes,nicht?
17.05.2007, 01:40	Yoshee	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, jetzt haben wir ja sozusagen 3 Unbekannte, A, x und r. Daher brauchen wir jetzt noch eine Nebenbedingung, um eine Unbekannte "rauszuschmeißen". Da wir wissen, dass der Umfang 400m ist, sollten wir die Gleichung für den Umfang aufstellen, in der kommen dann ja auch r und x vor. Versuch mal die Gleichung für den Umfang der ganzen Bahn aufzustellen. Edit: achso, ja, dass ist ja eigentlich unsere Nebenbedingung! Aber du hast recht. Aber immer schrittweise!
17.05.2007, 01:45	lamodus	Auf diesen Beitrag antworten »
U = 2x + 2pir
17.05.2007, 01:47	Yoshee	Auf diesen Beitrag antworten »
genau, das wäre dann die Nebenbedingung. Dann das ganze entweder nach x oder r umstellen, aber dass hast du ja vorhin schon gemacht. Übrigens, wir müssen das immer allgemein machen, also dürfen die 400 erst am Ende einsetzen, ist das bei euch nicht so?
17.05.2007, 01:49	lamodus	Auf diesen Beitrag antworten »
ja allgemein passt schon.
17.05.2007, 01:54	lamodus	Auf diesen Beitrag antworten »
x=u/2 - pi * r
17.05.2007, 01:56	Yoshee	Auf diesen Beitrag antworten »
genau, und jetzt in die Flächengleichung einsetzen
17.05.2007, 01:58	lamodus	Auf diesen Beitrag antworten »
A= (u/2 - pi * r) * 2r
17.05.2007, 01:59	Yoshee	Auf diesen Beitrag antworten »
joa, jetzt definieren und ableiten
17.05.2007, 02:13	lamodus	Auf diesen Beitrag antworten »
was ist denn das?
17.05.2007, 02:15	Yoshee	Auf diesen Beitrag antworten »
meinst du ableiten? Falls ihr das noch nicht hattet, weiß ich ehrlich gesagt nicht, wie man das macht. Ich kann das leider nur über Extremwerte.
17.05.2007, 13:15	lamodus	Auf diesen Beitrag antworten »
kannst du mir das ableiten vielleicht erklären? Oder ist das zu schwer? Ich sollte so eine Aufgabe einfach können bis am Montag.
17.05.2007, 13:27	Yoshee	Auf diesen Beitrag antworten »
Prinzipiell wäre es kein Problem dir zu erklären wie man ableitet, aber warum man das macht schon eher. In welcher klasse bist du denn, und welches thema habt ihr gerade?
17.05.2007, 13:29	lamodus	Auf diesen Beitrag antworten »
In der 10. Wir haben gerade Parabeln und quadratische Gleichungen und so. Gehe aber in der Schweiz zur Schule und mein Mathelehrer ist beknackt.
17.05.2007, 14:16	lamodus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat es denn Sinn, dass du es mir erklärst, oder gibt es noch eine andere Möglichkeit so eine Aufgabe zu lösen?
17.05.2007, 15:27	lamodus	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir keiner helfen?
17.05.2007, 21:26	martin-w	Auf diesen Beitrag antworten »
Offensichtlich hast du von Differenzialrechnung noch nie etwas gehört. Aber in diesem Fall ist die auch nicht von Nöten. Du hast ja jetzt die Funktion, die den Flächeninhalt des Rechtecks in Abhänigkeit von der Breite angibt. Dieser Flächeninhalt soll so groß wie möglich sein, das heißt es ist der größte Funktionswert der Funktion gesucht. Wenn du dir mal den Graphen der Funktion aufzeichnest erkennst du, dass es sich um eine nach unten geöffnete Parabel handelt (das erkennt man eigentlich auch, wenn man sich die Funktionsgleichung nur so anschaut). Der gesuchte maximale Funktionswert ist also der Scheitelpunkt. Den kannst du bestimmen, indem du die Funktion mittels quadratischer Ergänzung auf Scheitelform bringst. Ich nehme an, das ist dir ein Begriff (?)
17.05.2007, 21:51	lamodus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah danke, das ist mal was, was ich verstehe. Ja ich werd das ma versuchen. Danke für die Hilfe.
17.05.2007, 23:08	lamodus	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie geht nochma das quadratische Ergänzen?Unser Lehrer hat uns dazu nur ein Blatt ausgeteilt und so ganz kapier ich das nicht mehr. Irgendwie muss ich ja erst diese Form haben ax^2+bx+c nicht? Und dann das Ergänzungsglied bestimmen. Aber wie geht das in meinem Beispiel?
18.05.2007, 10:20	martin-w	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast ja A= (u/2 - pi * r) * 2r U ist bekannt, nämlich 400. Das kannst du einsetzen und erhälst dann $\begin{eqnarray} A=(200- \pi r)\cdot 2r = -2 \pi r^2+400r \end{eqnarray}$ dies enspricht ja nun der Form ar²+br+c mit a=-2pi; b=400; c=0. Für die Scheitelform musst du jetzt als erstes -2pi ausklammern. Anschließend in der Klammer quadratisch ergänzen.
18.05.2007, 22:14	lamodus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab jetz $\begin{eqnarray} A=-2pi(r^2-(\frac{200}{pi})r+(\frac{200}{2pi})^2-(\frac{200}{2pi})^2) \end{eqnarray}$ stimmt das so? Jetzt muss ich doch $\begin{eqnarray} r^2-(\frac{200}{pi})r+(\frac{200}{2pi})^2 \end{eqnarray}$ in die Form bringen: $\begin{eqnarray} (r+...)^2 \end{eqnarray}$ Aber ich brings irgendwie nicht hin. Edit: $\begin{eqnarray} r^2-(\frac{200}{pi})r+(\frac{200}{2pi})^2 \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} (r-\frac{200}{2pi})^2 \end{eqnarray*}$ stimmt das?
18.05.2007, 22:35	Yoshee	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, das ist soweit korrekt, verwirrt nur erst etwas, da du es nicht durchgängig als Funktion geschrieben hast. Wie lautet denn die fertige Scheitelpunkts form jetzt, also A=...? €dit: und kürz doch bitte mal die 200 mit der 2, das sieht ja schrecklich aus
18.05.2007, 22:41	lamodus	Auf diesen Beitrag antworten »
Also schlussendlich gibt das sowas: $\begin{eqnarray} A=-2pi(r-\frac{100}{pi})^2-(\frac{100}{pi})^2 \end{eqnarray}$ nisch?
18.05.2007, 22:45	Yoshee	Auf diesen Beitrag antworten »
Kleiner fehler: Du hast leider vergessen, die $\begin{eqnarray} -(\frac{100}{\pi} )^2 \end{eqnarray}$ mit -2pi zu multiplizieren, ansonsten stimmts €dit: Genau deswegen würde ich sowas immer lieber auf die andere Seite bringen, also $\begin{eqnarray} \frac{A}{-2\pi} \end{eqnarray}$ und dann erst am Ende wieder rübeholen...
18.05.2007, 22:54	lamodus	Auf diesen Beitrag antworten »
ahja stimmt logisch. dann wäre es gekürzt : $\begin{eqnarray} A=-2pi(r-\frac{100}{pi})^2+\frac{20000}{pi} \end{eqnarray}$
18.05.2007, 23:01	Yoshee	Auf diesen Beitrag antworten »
sehr gut! Wo liegt jetzt der Scheitelpunkt, also das maximum?
18.05.2007, 23:10	lamodus	Auf diesen Beitrag antworten »
Also der Scheitel wäre $\begin{eqnarray} S(\frac{100}{\pi}/\frac{20000}{\pi}) \end{eqnarray}$
18.05.2007, 23:13	Yoshee	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, was sagt dir das im Bezug zur Fragestellung?
18.05.2007, 23:20	lamodus	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn ich das mir so überlege sollte jetzt der gesuchte Radius $\begin{eqnarray} 100/\pi \end{eqnarray}$ betragen. edit: und die gerade strecke: (400- 2pi(100/pi))/2 also 400m, dann die beiden Halbkreise abziehen und noch durch 2. Weil ich will die gerade strecke nur einmal. und in den Taschenrechner eingegeben gibt das 100 Könnte stimmen, is ne schulbuchaufgabe.
18.05.2007, 23:24	Yoshee	Auf diesen Beitrag antworten »
absolut richtig! Man könnte jetzt noch sagen, dass sich daraus eine maximale Fläche von 20000/pi (Scheitelhöhe) ergibt, aber danach ist ja garnicht gefragt.
18.05.2007, 23:28	lamodus	Auf diesen Beitrag antworten »
mhm

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