Banachscher Fixpunktsatz

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chris21 Auf diesen Beitrag antworten »
Banachscher Fixpunktsatz
Ich habe folgende Aufgabe gelöst

g(t)=

a= 1.1 u = 0.4

Man prüfe die Vorraussetzungen des Banaaschen Fixpunktsatz für I = [0.1;1]

g´(t) =

Lösung (in der Vorlesung) :

Selbsabbildungsvorraussetzung
g(I) = [0.4882;0.92985]

Meine Lösung

g(I) = [1.075;2.0694]

Wer hat Recht

Wenn einer die Ableitungsvorraussetzung noch weiss könnte er mir sie vielleicht auch noch erklärern und mir das Ergebnis nennen.

Vielen dank im voraus

edit(20_Cent): Titel geändert.
Chris2005 Auf diesen Beitrag antworten »

Um den Banachschen Fixpunktsatz zu verwenden, müssen 2 Bedingungen erfüllt sein:

Abbildung muss kontrahierend sein, dass heißt in sich selbst abbildend:

ist offensichtlich monoton wachsend, daher, reicht es die Randpunkte zu prüfen

g(0.1) = 1.2214
g(1) = 7.38906

--> Hier hakt das ganze schon: die ergebnisse müssten wieder im Intervall [0.1 , 1] liegen! Banach kann nicht verwendet werden

tut leid,

mfg Chris
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich komme auch auf .


Gruß, therisen
chris21 Auf diesen Beitrag antworten »

ja kann es sein das du dich verrechnet hast chris 2005. Beiehungsweise kannst du mir erklären wie die Ableitungsvorrausetzung funktioniert. Müssen da die Werte auch im Intervallbereich sein oder gibt es dort andere Regeln?
Chris2005 Auf diesen Beitrag antworten »

OK, therisen hat die richtigen ergebnisse

Mein Fehler...

mfg Chris
Chris2005 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Ableitung ist auch nicht richtig:

 
 
chris21 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie hiese den die richtige ABleitung?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

chris21 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch die selbe nur ohne minus
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja und? Mit minus ist sie halt falsch. Frag mich auch, was die Ableitung hier zu suchen hat. Banach kann nicht verwendet werden, aus.
chris21 Auf diesen Beitrag antworten »

So ich hab dann noch ne andere Aufgabe

f(x) = ax(1-x)

a = 1.5



Überprüfen sie den Banaaschen Fixpunktsatz.

f´(x) = a - 2ax

Selbsabbildungsvorraussetzung

f(0.05) = 0.07125
f(0.95) = 0.07125

Ableitungsvorraussetzung

f´(0.05) = 1.35
f´(0.95) = - 1.35

Ich würde gerne wissen ob die Aufgabe richtig gelöst ist bzw. ob der Bannaasche Fixpunktsatz erfüllt ist.

Ausserdem wäre es schön wenn mir jemand erklären würde woran man sieht das die Ableitungsvorraussetzung (nicht die Selbstabbildungsvorraussetzung) erfüllt ist.

Vielen dank im voraus
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn die Ableitungsvoraussetzung? Die ist allgemein nicht bekannt. Meinst du sowas:



???

BTW: Der Typ hieß Banach - nicht Bannaa oder Banaa!!!
chris21 Auf diesen Beitrag antworten »

Also bei mir im Skript ist die Ableitungsvorraussetzung so erklärt:

für jedes möge gelten (Ableitungsvorrausetzung)

Leider bin ich in der Fprmelsprache nicht allzu sicher und was nicht was q bedeutet wäre nett wenn mir mal jemand mal die Ableitungsvorraussetzung erklären könnte.

Schönen Gruss
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Na, der eigentliche Fixpunktsatz (auf ein abgeschlossenes Intervall bezogen) geht so: Sei f : I-->I eine Selbstabbildung, die gleichzeitig eine Kontraktion sei, d.h. es gebe ein q < 1, so dass für alle x,y aus I gelte



Dann gibt es genau einen Fixpunkt von f in I.

Ist f eine differenzierbare Funktion, dann gilt der Schrankensatz: für alle x,y aus I gilt



Wenn dieses Supremum jetzt kleiner als 1 ist, dann ist die Bedingung im Banachschen Fixpunktsatz offenbar erfüllt.
chris21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Banachscher Fixpunktsatz
So habe nochmal eine letzte Aufgabe für den Fixpunktsatz von Banach

Man prüfe ob die Vorraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt sind für

x = g(x) =

im Intervall

Ich habe heraus g(-3.2) = 4.38
g(-3.1) = 3.72

Daher ist meines erachtens der Banachsche Fixpunktsatz nicht erfüllt.

Stimmt es wenn ich sage dass ich die ABleitungsvorraussetzung nicht mehr rechnen muss da der Satz ohnehin nicht erfüllt ist?

Könnte mir jemand die Ergebnisse bzw. meine Ausführungen bestätigen??

VIelen Dank im voraus
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Banachscher Fixpunktsatz
Zitat:
Original von chris21
x = g(x) =


Geh da nochmal drüber...

Und: Man sagt nicht, der Satz sei nicht erfüllt, sondern man sagt: "Die Bedingungen (oder Voraussetzungen) des Satzes sind nicht erfüllt". Man kann den Satz also nicht anwenden.
chris21 Auf diesen Beitrag antworten »

Soll das bedeuten es ist falsch?

Also meine Rechnung war:





Deswegen sind meines erachtens die Vorraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatz nicht erfüllt.

Korrigiere mich bitte wenn ich falsch liege

schöne grüsse
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Banachscher Fixpunktsatz
Zitat:
Original von WebFritzi
Zitat:
Original von chris21
x = g(x) =


Geh da nochmal drüber...


Sorry, ich verstehe jetzt, was du gemeint hast. Kann man aber so nicht schreiben. Definiere erst g und sag dann, dass du ein (festes!) x suchst mit x = g(x).

Zu deiner Frage: Ich rechne das sicherlich nicht nach. Aber wenn du richtig gerechnet hast, ist es richtig, was du sagst.
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