Minimalpolynom und Jordan-Normalform

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beuteltier Auf diesen Beitrag antworten »
Minimalpolynom und Jordan-Normalform
hallo
ich versuche gerade, die Jordan-Normalform zu verstehen, aber ich glaube ich hab den durchblick noch nicht so ganz.
dazu habe ich ein paar fragen:
1) muss das minimalpolynom alle eigenwerte als nullstellen haben?
2) ich verstehe die auswirkung des minimalpolynoms auf die JNF nicht ganz. wenn das minimalpolynom der form , dann muss es wohl min. ein jordankästchen der länge k zum (einzigen) eigenwert geben. wenn das minimalpolynom aber aus mehr faktoren besteht, kann man so eine aussage wohl nicht mehr treffen.
also: was kann ich aus dem minimalpolynom über die JNF schließen?

ich soll als übungsaufgabe 2 4x4 matrizen finden, die selbes charakt. und minimalpolynom haben, aber nicht änlich sind.
mein ansatz war, 2 matrizen in jnf zu finden, die die gleiche diagonale haben aber unterschiedliche nebendiagonalen und trotzdem gleiches minimalpolynom. nur leider, wie gesagt, ich habe die verbindung des minimalpolynoms wohl nicht ganz verstanden
therisen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Minimalpolynom und Jordan-Normalform
Eine Frage kann ich dir schon mal beantworten:

Zitat:
Original von beuteltier
1) muss das minimalpolynom alle eigenwerte als nullstellen haben?


Ja.


Gruß, therisen
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Minimalpolynom und Jordan-Normalform
Zitat:
Ich soll als Übungsaufgabe 2 4x4 Matrizen finden, die selbes charakt. und Minimalpolynom haben, aber nicht ähnlich sind.


Dein Ansatz war doch schon gut. Vergleiche einmal:



Die Übung soll Dich darauf Aufmerksam machen, dass die Umkehrung des folgenden Satzes i.a. nicht gilt

"Ähnliche Matrizen besitzen dasselbe char. Polynom"


Eine weitere interessante Frage die sich aus der Aufgabe ergibt, ist warum gerade 4x4 Matrizen gewählt wurden. Augenzwinkern Wie würde es denn bei kleineren Matrizen aussehen. Folgt da aus Gleichheit von Minimal und char. Poly vielleicht schon die Ähnlichkeit?
beuteltier Auf diesen Beitrag antworten »

ah hmm danke das bringt mich wieder n stückchen weiter smile
das mit den kleineren matrizen weiss ich schon, das war die teilaufgabe vorher, aber die hab ich eher schlecht als recht mit mehreren fallunterscheidungen gemacht...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von beuteltier
... mit mehreren Fallunterscheidungen gemacht...


Ist aber ein bewährtes Mittel bei der Aufgabe Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Mal etwas zum "Verstehen der Jordan-Normalform". Der Einfachheit halber für den Fall, dass der Skalarenkörper der Körper der komplexen Zahlen ist. Sei also A : V --> V eine lineare Abbildung in einem n-dimensionalen C-Vektorraum V. Der algebraische Eigenraum zu einem Eigenwert z wird definiert als (ich schreibe stets kurz A - z anstatt A - zI mit der Einheitsmatrix I)



Wegen und der endlichen Dimension von V ist die Vereinigung in der Definition eigentlich eine endliche. Es gilt



für ein . Es seien die Eigenwerte von A. Man macht sich nun relativ leicht klar, dass



gilt. Der Einfachheit halber sei r = 2. Da jeder Raum invariant bzgl. A ist (d.h. ) - was man auch leicht sieht -, hat A bzgl. dieser Zerlegung des Raumes die Darstellung



Dabei gelten und . Wir betrachten im folgenden nur B. Die gleichen Überlegungen gelten natürlich genauso für C. Es gilt (s.o.)



für irgendein m. Also folgt Weil die Kerne ineinander geschachtelt sind, gibt es ein kleinstes m mit dieser Eigenschaft. Diese Zahl nennt man auch den Riesz- (oder auch Aufsteiger-)Index von B bzgl. Sei dieser beispielsweise 3. Eine Basis des Raumes sieht dann wie folgt aus



Ein rechts-nach-links-Pfeil bedeutet, dass das Element rechts davon durch auf das Element links davon abgebildet wird. Die Elemente in der linken Spalte bilden eine Basis von und alle Elemente außer bilden eine Basis von Du siehst, wie sich Ketten bilden. Diese Ketten werden Jordan-Ketten genannt. Der Raum, den jede einzelne Kette aufspannt, ist wieder invariant bzgl. A (oder auch bzgl. B, oder auch bzgl. ). In unserem Beispiel gilt



da wir drei Ketten haben. ist die (1 x 1)-Nullmatrix, da Da nun gilt





hat die folgende Form:



Analog:



Man sieht: Die Jordan-Blöcke entstehen deswegen, weil man sich eine Basis aus Jordanketten wählt.

Übrigens: Die algebraische Vielfachheit von (im charakteristischen Polynom) ist die Dimension von , und der Riesz-Index von ist gerade der Exponent von im Minimalpolynom. Das Minimalpolynom hat also die Form



wo den Riesz-Index des Eigenwertes bezeichne.
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