Newton Verfahren im mehrdimensionalen

21.05.2007, 16:38

chris21

Newton Verfahren im mehrdimensionalen

Es geht hierbei um das Newton Verfahren im mehrdimensionalen.

das Gleichungssystem heisst:

$\begin{eqnarray*} 0 = 1+x2 - ax1^{2} -x1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = bx1 - x2 \end{eqnarray*}$

Startvektor: $\begin{eqnarray*} x^{(0)} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hierbei möchte ich wissen wie die partiellen Ableitungen berechne bzw. wie ich eine Jacobi Matrix berechne.

21.05.2007, 20:47

WebFritzi

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Deine Abbildung ist wohl

$\begin{eqnarray*} f(x,y) := \begin{pmatrix}1 + y - ax^2 - x\\bx - y\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Davon soll jetzt also die Jacobi-Matrix bestimmt werden. Diese sieht wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y}\\ \frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y}\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Das sind die partiellen Ableitungen. $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_1}{\partial x} \end{eqnarray*}$ bedeutet z.B.: "Die obere Funktion (also die in der ersten Komponente) nach x abgeleitet". Wie leitet man nach x ab? Ganz einfach, indem man y als Konstante ansieht. Beispielsweise ist x²y nach x abgeleitet gleich 2xy und nach y abgeleitet gleich x², weil man ja hier x als Konstante ansieht.

22.05.2007, 10:58

chris21

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Ich habe die partiellen Ableitungen erstellt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2ax-1 & 1 \\ b & -1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

kann man mir sagen ob sie richtig sind?

22.05.2007, 11:02

Dual Space

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Die stimmen. Freude

Aber was hat das ganze jetzt mit dem Newton-Verfahren zu tun? verwirrt

22.05.2007, 11:34

chris21

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Mein Schritt war folgender :

Ich habe einen Startvektor

$\begin{eqnarray*} x^{(0)} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

folgendes Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} f1 = 1 + y -ax -x = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f2 = bx - y = 0 \end{eqnarray*}$

Damit soll ich einen Newton-Schritt ausführen

Ich berechne den Funktionswervektor

$\begin{eqnarray*} F(x^{0}) = \begin{pmatrix} f1 (0,0) \\ f2(0,0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0-a\cdot0-0 \\b\cdot0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt erstelle ich die Matrix der partiellen Ableitungen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2ax-1 & 1 \\ b & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bei dem folgenden stecke ich fest denn ich will die Koordinaten einsetzen

$\begin{eqnarray*} F'(x^{0}) = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ ? & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich stecke fest weil ich keinen wert für b habe

es wäre sehr nett wenn mir jemand weiterhelfen könnte

22.05.2007, 12:54

WebFritzi

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Wenn dir kein Wert gegeben wurde, gibt es halt keinen. Na und? Rechne halt mit b als Buchstaben.

22.05.2007, 13:37

chris21

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Aber ist es nicht so wenn ich für b keinen Wert habe nicht die exakten Nullstellen berechnet werden können?

22.05.2007, 19:00

chris21

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So hier ist die Dokumentation des gesamten Newtonschritts

Ich habe einen Startvektor

$\begin{eqnarray*} x^{(0)} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

folgendes Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} f1 = 1 + y -ax -x = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f2 = bx - y = 0 \end{eqnarray*}$

Damit soll ich einen Newton-Schritt ausführen

Ich berechne den Funktionswervektor

$\begin{eqnarray*} F(x^{0}) = \begin{pmatrix} f1 (0,0) \\ f2(0,0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0-a\cdot0-0 \\b\cdot0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt erstelle ich die Matrix der partiellen Ableitungen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2ax-1 & 1 \\ b & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bei dem folgenden will ich die Koordinaten einsetzen

$\begin{eqnarray*} F'(x^{0}) = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ b & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt invertiere ich die Jacobi Matrix

$\begin{eqnarray*} J^-1=\frac{1}{1-b} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -b & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt führe ich den Newtonschritt aus

$\begin{eqnarray*} x^{(1)} = x^{(0)} - Jo^-1\cdot F(x^{(0)}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} - \frac{1}{1-b} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -b & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} - \frac{1}{1-b} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{-1}{1-b}\\ \frac{-b}{1-b} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} -\frac{-1}{1-b}\\ \frac{-b}{1-b} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Könnte mir bitte jemand sagen ob ich richtig liege oder ob ich totalen Müll fabriziert habe

Und könnte mir noch jemand sagen wann das Newton-Verfahren versagt??

22.05.2007, 19:32

Dual Space

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Zitat:

Original von chris21
Und könnte mir noch jemand sagen wann das Newton-Verfahren versagt??

*Klick*

23.05.2007, 11:14

chris21

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Nett wäre es noch wenn mir jemand sagen könnte ob ich richtig gerechnet habe

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