Einseitige Hypothesentests

22.05.2007, 10:00

TouFan

Einseitige Hypothesentests

hallo,
habe diese Aufgabe und muss sie lösen...sitze schon etwas länger dran und kann Stochstik gar nicht!

BITTE HILFT MIR, DASS ENTSCHEIDET OB ICH 5 ODER 4 PUNKTE IM ZEUGNIS BEKOMME!!!! Gott

Die Frage:

24 von 300 Packungen haben Untergewicht. Zulässig ist dies nur bei maximal 5% der Produktion. Liegt ein Betrugsversuch vor?

Hoffe auf schnelle und danke schon mal im Vorraus!

bye Toufan Tanzen

22.05.2007, 10:04

joehanes

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Kannst du die ganze Aufgabe genauer posten?

Was ich bis jetzt verstanden habe: Überprüfe, ob ein Betrugsversuch vorliegt (Betrugsversuch ist, wenn mehr als 5% Untergewicht haben).

Wieviel Prozent entsprechen die angegebenen 24?

22.05.2007, 10:08

Toufan

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Einseitiger hypothesentest
hallo,
das ist die ganze Aufgabe...leider habe ich damit auch schwierigkeiten!
Alos es steht nur das drin! Steht im Buch von heinz klaus strick " Einführung in die Beurteilende Statistik" azf Seite 88!!!

die ganze Aufgabe:

24 von 300 Packungen haben Untergewicht. Zulässig ist dies nur bei maximal 5% der Produktion. Liegt ein Betrugsversuch vor?

Gott

bye Toufan

22.05.2007, 10:12

joehanes

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Ok, dann nehmen wir mal an, dass meine Interpretation richtig ist.

Dann musst du vergleichen, ob die 24 nun mehr als 5% sind oder weniger.

Ne Idee wie man auf die % kommt?

22.05.2007, 10:16

Toufan

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Einseitiger Hyxpothesentest
24 / 300 x 100 dann hat man wieviel prozent 24 von 300 prozent sind und weiss ob es über 5% ist oder nicht!

Richtig??
24 / 300 = 0,08 X 100 = 8 %

Gott

bye Toufan

22.05.2007, 10:18

joehanes

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sag mal noch jemand anderes was zu dem Lösungsweg, aber deine Rechnung stimmt auf jeden Fall.

22.05.2007, 10:22

Lazarus

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Also ich kann mir nicht vorstellen, dass das alles gewesen sein soll.
Ist das evtl. nur eine Unteraufgabe und es stehen oben drüber noch andere Informationen ?

Und zur Rechnung: Formal isses falsch "24 / 300 = 0,08 X 100 = 8 % "
zu schreiben.
Missbrauch des Gleichheitszeichens nennt sich dieses Verbrechen.

100*24/300=0.08*100

so würde es dann wenigstens stimmen.
Dass du das "%"-Zeichen dann hinten einfach aus dem Hut zauberst ist leider etwas, was man dir nicht anlasten darf, dass wird leider zuoft schlampig gelehrt.

22.05.2007, 10:22

Toufan

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ja man müsste es aufjedenfall mit müh und der varinaz beweisen weisst du??

müh = E(X) = n x p

Varinaz (Sigma) = $\begin{eqnarray*} \sqrt{n * p * ( 1-p)} \end{eqnarray*}$

22.05.2007, 10:25

Lazarus

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ja und genau dieses p fehlt ja.

22.05.2007, 10:29

Toufan

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sind dann etwa die 8% dieses p??? kann aber nicht sein...???

das ist die schwierigkeit mit der ich mich auch auseinander setze!!

22.05.2007, 10:48

Toufan

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beim einseitigen hypothsentest geht es ja darum zu beweisen ob die zugrunde liegende Erfolgswahrscheinlichkeit (hier darf bei der Produktion nur 5% der packungen Untergewicht haben//Erfolgswahrscheilichtkeit = 95%?!?) größer oder kleiner als der bsiher btrachtete wert ( hier 5% ) ist!!!

Der Verwerfungsbereich liegt dann hierbei beim oberen und unteren teil der Verteilung.

Signifikante Abweichungen nach unten sind bei p > p0 (oder auch p >= p0) oder nach obenn p < p0 ( oder auch p <= p0).

Alos will man p > p0 (oder auch p >= p0) untersuchen muss man die entgegengesetze hypothese untersuchen und mit dem Stichproben ergebnis (hier 24 onn 300 haben untergewicht) verwerfen (oder andersum)!!

Hmm keine ahnung was ich nun machen soll?? unglücklich

22.05.2007, 10:54

joehanes

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du irgendeine Angabe über das Vertrauensintervall? Wenn es bspw 95% wäre, könntest du sagen:

Die FRage in der Aufgabe ist: Der Hersteller gibt an, 5% Untergewicht zu produzieren. Liegen die 24 von 300 noch im Toleranzbereich?

E = n*p
= 300*0,05=15

sigma=wurzel(n*p*(1-p))
= Wurzel(15*0,95)
= Wurzel(14,25)
=3,77

jetzt kommt es noch auf die Verteilungsannahme an, aber bei Z-Verteilung hättest du 95% bei z=plusminus 1,96

Obere Grenze:
E+sigma*z
15+3,77*1,96=22,3892

Unter Grenze:
E-sigma*z
15-3,77*1,96=7,6108

24>22,39
Da das Untergewicht nicht in dem zu erwartenden Bereich liegt, liegt ein Betrugsversuch vor

22.05.2007, 10:57

joehanes

Auf diesen Beitrag antworten »

Halt, ich hab zweiseitig getestet:

Einseitig müsste es heissen z=1,645 und dann entsprechend
15+3,77*1,645=21.20165

21.20165<24
Es liegt kein Betrugsversuch vor

22.05.2007, 11:03

Toufan

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nein habe ich leider nicht...das einzige was ich in der farge stehen habe ist das:

...Zulässig ist dies nur bei maximal 5% der produktion...

Die ganze Frage nochmal:

24 von 300 geprüften Pakungen haben Untergewicht.Zulässig ist dies nur bei maximal 5% der Produktion.
Liegt ein Betrugsversuch vor?
(Das ist die ganze Frage und nicht nur ein Auschnitt)!

Wenn es zulässig ist bei maximal nur 5%...dann würde ich doch sagen dass man erstmal Annehmen sollte, dass 95%

oder man versucht es mit 99%,98%,97%,96% und als letztes 95%...aber das würde ja keinen sinn machen weil bei 95% das schlechteste Ergebnis rauskommen würde!

Sind jetzt die 95%?? verwirrt

könnte man Annehmen) die Veteilung??

wie bist du auf 1,96 gekommen!!!

bye

22.05.2007, 11:03

Dual Space

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Was hat denn das mit Geometrie zu tun? verwirrt

*verschoben*

22.05.2007, 11:04

Toufan

Auf diesen Beitrag antworten »

wie du hast zweiseitig getestet???

kannst du das genau aufschreiben..würde das nämlich gerne verstehen!!! geschockt

Bye

22.05.2007, 11:06

Toufan

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tut mir leid @ dual space...war nicht absichtlich!!!

danke fürs verschieben!!! Wink

22.05.2007, 11:08

Dual Space

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Kein Problem. Jetzt konzentrier dich aber bitte, musste eben diesen zweiten Thread auch noch schließen!

22.05.2007, 11:11

joehanes

Auf diesen Beitrag antworten »

1,96 ist der Z-Wert für 95% zweiseitiges testen.
1,645 für einseitig.

hab oben noch einen Fehler drin:
bei z=1,645 ist die Grenze 21,2... damit ist 24 natürlich immer noch größer als die Grenze und es liegt ein Betrugsversuch vor.

Sag nochmal jemand anderes was dazu!

Meine Idee ist zu sagen, dass man einen Erwartungswert hat (15) um den man ein Vertrauensintervall legt. Das bedeutet, dass man davon ausgeht, dass bei einem wahren Mittelwert von 15 in 95% der Fälle Stichprobenmittelwerte kleiner gleich 21,201 rauskommen. Damit kann man davon ausgehen, dass die erreichten 24 nicht mehr der Population entstammen, die 15 als Mittelwert hat.

Muss jetzt leider los und kann wahrscheinlich erst heute abend wieder schreiben...

Viel Erfolg

22.05.2007, 11:15

Toufan

Auf diesen Beitrag antworten »

wie hast du denn die Z-Werte gerechnet...es kommt nämlich drauf an wie ich es aufschreibe...kann sein das wir uns missverstehen und du einfach Z-wert anders bezeichnet las ich...hmm...könntest du oder jemand anders diesen z-wert-rechnung aufschreiben...wär sehr gut...und evtl. mir auch den zweiseitge Rechnung aufschreiben...das andere hab ich verstanden (glaub ich)!!!

22.05.2007, 11:52

Toufan

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kannst du heute abend nochmal reinkommen und kurz mir das nochmal eindeutig erklären hab das mit dem z-wert nicht verstanden!!!

Bye Toufan

22.05.2007, 13:28

bil

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hi...
also zweiseitiges testen ist hier falsch. die hypothesen für zweiseitiges testen wären:

$\begin{eqnarray*} H_0:~p=0.05 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H_1:~p\not=0.05 \end{eqnarray*}$

die lösung dazu hat joehanes ja schon gegeben(nachgerechnet habe ich sie nicht).

richtig ist hier:

$\begin{eqnarray*} H_0:~p\leq 0.05 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H_1:~p>0.05 \end{eqnarray*}$

es ist ein betrugsversuch wenn die nullhypothese $\begin{eqnarray*} H_0 \end{eqnarray*}$ abgelehnt wird. normalerweise steht bei solchen aufgaben das signifikanzniveau dabei. falls nicht sollst entweder du es entscheiden oder ihr habt euch auf einen standardwert festgelegt. wenn du 95% nimmst wirst schon nix falsch machen.

jetzt gibt es zwei möglichkeiten diese aufgabe zu lösen, entweder per binomialverteilung (exakt) oder per normalverteilung (approximation).
per binomialverteilung sieht es so aus:

X=anzahl der packungen die untergewichtig haben (zufallsvariable, binomialverteilt)

gesucht ist dann c für das gilt:

$\begin{eqnarray*} P(0\leq X \leq c)=P(X\leq c)\geq 0.95 \end{eqnarray*}$

die parameter für die binomialverteilung sind hier:
$\begin{eqnarray*} n=300,~p=0.05 \end{eqnarray*}$

wenn du eine kumulierte binomialverteilungstabelle hast musst den wert c quasi nur noch ablesen.

gruss bil

22.05.2007, 14:10

joehanes

Auf diesen Beitrag antworten »

Also, bei großen n kann man als Annäherung der Binomialverteilung auch die Z-Verteilung nehmen. Die Z-WEerte habe ich aus einer Z-Tabelle, die sind sozusagen fest.

Wenn du die binomialverteilung nimmst, hättest du als k dann 24. Das ergebnis würde dir dann sagen, was die wahrscheinlichkeit ist, bei 300 würfen 24 mal Untergewicht zu würfeln wenn gilt, dass die wahrscheinlichkeit für Untergewicht 5% ist. Wenn dieses Ergebnis größer 5% ist (nicht die 5% Untergewicht, sondern 5% Fehlerwahrscheinlichkeit), dann liegt kein Betrugsversuch vor.

22.05.2007, 16:11

bil

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Zitat:

Original von joehanes
Also, bei großen n kann man als Annäherung der Binomialverteilung auch die Z-Verteilung nehmen. Die Z-WEerte habe ich aus einer Z-Tabelle, die sind sozusagen fest.

ja gegen normalverteilungsapproximation spricht nichts. hatte hier nur als alternative mal die binomialverteilung genommen. aber das hier:

Zitat:

Wenn du die binomialverteilung nimmst, hättest du als k dann 24. Das ergebnis würde dir dann sagen, was die wahrscheinlichkeit ist, bei 300 würfen 24 mal Untergewicht zu würfeln wenn gilt, dass die wahrscheinlichkeit für Untergewicht 5% ist. Wenn dieses Ergebnis größer 5% ist (nicht die 5% Untergewicht, sondern 5% Fehlerwahrscheinlichkeit), dann liegt kein Betrugsversuch vor.

stimmt nicht. dann würde nämlich fast kein wert einen betrugsversuch geben.

$\begin{eqnarray*} P(X=k)=P(X=24)=0.007495 \end{eqnarray*}$

sagt hier noch nichts über den betrugsversuch aus. das ist nur die wahrscheinlichkeit das GENAU 24 mal untergewicht "gewürfelt" werden. hier mal 2 andere werte für k die es nochmal verdeutlichen solln:

$\begin{eqnarray*} P(X=3)=0.0001347963 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X=300)\approx 0 \end{eqnarray*}$

das die einzelwahrscheinlichkeit meistens unter 5% liegen sagt also noch nichts aus.

gesucht ist nämlich ein intervall für das gilt:

$\begin{eqnarray*} P(X\geq c+1)=P(c+1\leq X\leq n)=P(X=c+1)+P(X=c+2)+\dots+P(X=n)\leq 0.05 \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} P(0\leq X \leq c)=P(X\leq c)=P(X=0)+P(X=1)+\dots+P(X=c)\geq 0.95 \end{eqnarray*}$

und da es ziemlich aufwendig wäre es per hand auszurechnen greift man auf die normalverteilung.

gruss bil

22.05.2007, 20:20

Toufan

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das was also joehanes geschrieben hat...ist richtig?

hab nur die tafeln für kumilerte Verteilung mit n bis 100!!
dachte es klappt damit nicht, weil es keine anderen tafeln dafür gibt in meinem Buch!

Und nun ist das richtig so:

Erwartungswert:

¼ = E(X) = n*p
= 300*0,05=15

Varianz:

Ã= 3,77

Lösung:

bei 95% ist z= +- 1,96

Obere Grenze:
E + Ã * z
15+3,77*1,96=22,3892

Unter Grenze:
E + Ã * z
15-3,77*1,96=7,6108

Ist dies richtig oder was soll ich machen..hab das jetzt eigentlich verstanden, ausser das mit dem Z-wert!

Würde das leiber mit der kumulierten Verteilung machen..so haben wir das auch in der Schule gemacht!

dann würde sozusagen n=300 p=0,05

X = Anzahl der Packungen mit Untergewicht in einer Stichprobe mit 300 Packungen.
X ist bv mit n= 300 und p=0,05 (falls die Herstellerangaben stimmen);
Ã=3,77 >3 (Näherung erlaubt);
H0: p ≤ 0,05; (Hypothese: Wk für eine untergewichtige Packung beträgt höchstens
5%.)
rechtsseitiger Test (Nur Werte deutlich rechts vom Erwartungswert führen zur Ablehnung.)

± = 5% (vorgegebene Irrtumswk); 1−± = 99% (Sicherheitswk oder Signifikanzniveau)

z=2,33; (Bedingung: ¦(z) ≥ 1 – ± = 0,99);
kr = n·p+zÃ-0,5 = 23,8 (Kritischer Wert, bei dessen Überschreitung H0 abgelehnt
wird.)

Alternative: Annahmebereich der Hypothese: ]– ∞; 23,8]; Ablehnungsbereich
]23,8; ∞[

Entscheidung: Da in der Stichprobe mehr als 23,8 Packungen untergewichtig waren,
nimmt man an, dass ein Betrugsversuch vorliegt / dass der Hersteller lügt.

Richitg??
muss ich nicht 1−± = 95% rausbekommen, da ich ja ± = 5% hab??

sonst passt es doch??
bye Hammer

22.05.2007, 20:33

Toufan

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wie rechnet ihr denn z...hab das jetzt irgendwie gerchnet und plan das nicht so genau...???

sagt mal bitte!!

bye

23.05.2007, 12:50

bil

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Zitat:

Original von Toufan
das was also joehanes geschrieben hat...ist richtig?

er hat dir die lösung für einen zweiseitigen test gegeben. joehannes lösungen waren:

Zitat:

Obere Grenze:
E + Ã * z
15+3,77*1,96=22,3892

Unter Grenze:
E + Ã * z
15-3,77*1,96=7,6108

das bedeutet der annahme bereich ist [8,22]. das heisst wenn z.b. nur 5 untergewichtet hätten würde die nullhypothese abgelehnt werden (genauso wie bei werten über 22), sprich es liegt ein betrugsversuch vor.
das bedeutet also ein zweiseitiger test ist hier verkehrt, ein einseitiger ist richtig.

Zitat:

Und nun ist das richtig so:

Erwartungswert:

¼ = E(X) = n*p
= 300*0,05=15

Varianz:

Ã= 3,77

Lösung:

bei 95% ist z= +- 1,96

Obere Grenze:
E + Ã * z
15+3,77*1,96=22,3892

Unter Grenze:
E + Ã * z
15-3,77*1,96=7,6108

Ist dies richtig oder was soll ich machen..hab das jetzt eigentlich verstanden, ausser das mit dem Z-wert!

Würde das leiber mit der kumulierten Verteilung machen..so haben wir das auch in der Schule gemacht!

dann würde sozusagen n=300 p=0,05

X = Anzahl der Packungen mit Untergewicht in einer Stichprobe mit 300 Packungen.
X ist bv mit n= 300 und p=0,05 (falls die Herstellerangaben stimmen);
Ã=3,77 >3 (Näherung erlaubt);
H0: p ≤ 0,05; (Hypothese: Wk für eine untergewichtige Packung beträgt höchstens
5%.)
rechtsseitiger Test (Nur Werte deutlich rechts vom Erwartungswert führen zur Ablehnung.)

± = 5% (vorgegebene Irrtumswk); 1−± = 99% (Sicherheitswk oder Signifikanzniveau)

z=2,33; (Bedingung: ¦(z) ≥ 1 – ± = 0,99);
kr = n·p+zÃ-0,5 = 23,8 (Kritischer Wert, bei dessen Überschreitung H0 abgelehnt
wird.)

Alternative: Annahmebereich der Hypothese: ]– ∞; 23,8]; Ablehnungsbereich
]23,8; ∞[

Entscheidung: Da in der Stichprobe mehr als 23,8 Packungen untergewichtig waren,
nimmt man an, dass ein Betrugsversuch vorliegt / dass der Hersteller lügt.

Richitg??
muss ich nicht 1−± = 95% rausbekommen, da ich ja ± = 5% hab??

wie soll man da noch durchblicken?

normalerweise werden hier nicht lösungen gepostet aber ich glaub das ist jetzt mal das beste. hier die lösung:

aufgabe:

$\begin{eqnarray*} H_0:~p\leq 0.05 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H_1:~p>0.05 \end{eqnarray*}$

gesucht kleinste c für das gilt:

$\begin{eqnarray*} P(0\leq X \leq c)=P(X\leq c)\geq 0.95 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow c=21 \end{eqnarray*}$

da: $\begin{eqnarray*} P(X\leq 21)=P(X=0)+P(X=1)+\dots+P(X=21)=0.95142 \end{eqnarray*}$

(X=anzahl der produkte die untergewicht haben, binomialverteilt mit n=300 und p=0.05)

das bedeutet der annahmebereich ist [0,21] und der ablehnungsbereich ist [22,300]. d.h. wenn über 21 untergewicht haben liegt zu 95% ein betrugsversuch vor.

das c das ich oben berechnet habe kann man auch per approximation herausbekommen, also per normalverteilung. wie das geht steht hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/ Normalvert...rt<br /> eilung

gruss bil

edit: solltest du keine tabelle für die kumulierte binomialverteilung haben, hier wäre eine:
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scrip...ng1.htm#binvert

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