Zyklen

22.05.2007, 18:29

donvito

Zyklen

Hallo liebe Community,

leider habe ich schon wieder ein Problem:
Die Aufgabe:

Wieviele Elemente von $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ bestehen aus zwei Zyklen der Länge 2? Finden Sie die Menge $\begin{eqnarray*} {a_1, ..., a_k} \end{eqnarray*}$ solcher Elemente und berechnen Sie die Multiplikationstafel von $\begin{eqnarray*} A:={id, a_1, ..., a_k} \end{eqnarray*}$ .

Leider habe ich nicht die geringste Ahnung was hier zu tun ist!! Ich hoffe ihr könnt mir helfen!

22.05.2007, 18:42

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Zitat:

Original von donvito
Leider habe ich nicht die geringste Ahnung was hier zu tun ist!!

Das kann ich mir nicht vorstellen - außer, du weißt überhaupt nicht, was ein Zyklus ist.

Geh doch systematisch vor: Wir sprechen mal von den Permutationen der Menge $\begin{eqnarray*} \{1,2,3,4\} \end{eqnarray*}$ . Zwei Zyklen zu je zwei Elementen - da sind doch bereits alle vier Elemente, die permutiert werden, in diesen beiden Zyklen verbraten.

Nächster Punkt: Wie eben gesagt, sind alle verbraten, also auch die $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ in einem der beiden Zyklen. Die können wir nun paaren mit einem der drei anderen Elemente. Bleiben zwei Restelemente, die dann notwendig den anderen Zweierzyklus bilden - fertig!!!

Also in Zyklendarstelliung:

$\begin{eqnarray*} a_1 = (1,2) (3,4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2 = (1,3) (2,4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_3 = (1,4) (2,3) \end{eqnarray*}$

Und jetzt noch die Multiplikationstafel...

P.S.: Deine Spinne in der Signatur ist wirklich gut - ich hab beim ersten Anblick tatsächlich versucht, die wegzuschnipsen... Big Laugh

22.05.2007, 18:58

donvito

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Danke für deine Hilfe, das hat die Aufgabenstellung schonmal um einiges entwirrt!

Zitat:

Original von Arthur Dent

P.S.: Deine Spinne in der Signatur ist wirklich gut - ich hab beim ersten Anblick tatsächlich versucht, die wegzuschnipsen... Big Laugh

Das kenne ich, ich habe auch schonmal auf meinen Monitor geklatscht Big Laugh

Ich muss mir immer vorstellen wieviele Leute jeden Tag versuchen dieses Ding wegzuschnippen und wie sie dann aus der Wäsche gucken...

22.05.2007, 19:29

donvito

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Und du bist sicher, dass S4 nicht irgend eine besondere Menge ist? Also S4 ist die Menge aller Permutationen und enthält damit außer den von dir genannten Zyklen auch noch
(1)(2,3,4)
(2)(1,3,4)
(3)(1,2,4)
(4)(1,2,3)
Also insgesamt 7 Permutationen! Habe ich das soweit richtig verstanden? Jetzt nur noch die Multiplikationstafel. Mal sehen was Wikipedia dazu weiß...

22.05.2007, 19:31

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Ich hatte gedacht, es geht um diese Aufgabe:

Zitat:

Original von donvito
Wieviele Elemente von $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ bestehen aus zwei Zyklen der Länge 2?

Dass du was anderes rechnen willst, kann ich ja nicht ahnen. Augenzwinkern

EDIT: Ach ja, $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ enthält ingesamt, also ohne diese Bedingung sogar $\begin{eqnarray*} 4!=24 \end{eqnarray*}$ Elemente, nicht nur 7. unglücklich

22.05.2007, 19:52

donvito

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Naja... Ich will das machen was in der Aufgabe steht :-)

Was kommt denn dabe raus, wenn ich zwei Zyklen miteinander multipliziere? Und was zum Teufel ist id? Dass es dabei um die Identität geht ist mir ja klar...aber mehr auch ned! Zumal hier niucht steht die Identität von WAS...

24.05.2007, 09:57

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Id steht hier für die identische Permutation, d.h. die, die keine der vier Positionen ändert, in vollständiger Zyklendarstellung also

$\begin{eqnarray*} \operatorname{id} = (1) (2) (3) (4) \end{eqnarray*}$ .

Und wenn du nicht weißt, wie man Permutationen in Zyklenschreibweise multipliziert (d.h. hintereinander ausführt), dann schau dir mal diese ausführliche Erklärung dafür an:

Zykeldarstellung von Permutationen

Verschoben, denn der algebraische Charakter der Aufgabe ist doch deutlich stärker als der kombinatorische.

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