charakt. Polynom bestimmen; Vorzeichenfehler, wo?

22.05.2007, 18:58

volkan

charakt. Polynom bestimmen; Vorzeichenfehler, wo?

Aufgabe: Gegeben ist die Matrix A mit
$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 4 &-1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Man bestimme das charakteristische Polynom...

Meine Vorgehensweise: $\begin{eqnarray*} A - \lambda * E = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 4 &-1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1& 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [(1-\lambda)* (-1-\lambda )*(1-\lambda )]-[4*(1-\lambda) ]-[(1-\lambda) *-1]=0 \end{eqnarray*}$ |Zusammenfassen

$\begin{eqnarray*} [(1-\lambda)²* (-1-\lambda)]-[5*(1-\lambda)]=0 \end{eqnarray*}$ |(1-\lambda) ausklammern

$\begin{eqnarray*} (1-\lambda)*[(1-\lambda)*(-1-\lambda)-5]=0 \end{eqnarray*}$ | ausmultiplizieren

$\begin{eqnarray*} (1-\lambda)*[-1-\lambda+\lambda+\lambda²-5]=0 \end{eqnarray*}$ | zusammenfassen

$\begin{eqnarray*} (1-\lambda)*[\lambda²-6]=0 \end{eqnarray*}$

Mein Problem, in der letzten Zeile sollte laus Lösung eigentlich eine -4 statt der -6 stehen. Das wäre ja der Fall wenn die -1 eine 1 wäre, aber ich finde den Vorzeichenfehler nicht Hammer

22.05.2007, 19:26

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest senkrechte Striche nur für die Determinante einer Matrix verwenden, nicht für die Matrix selbst. Die bekommt runde Klammern. Solange du dich nicht an solche allgemein üblichen Schreibweisen hältst, sind deine Ausführungen leider unverständlich. Man weiß nie, ob du gerade von einer Matrix oder von ihrer Determinante redest. Und jetzt mal ehrlich: Weißt du das immer?

22.05.2007, 20:22

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst nicht $\begin{eqnarray*} A - \lambda E \end{eqnarray*}$ berechnen, sondern die Determinante dieser Matrix!

22.05.2007, 21:14

volkan

Auf diesen Beitrag antworten »

@leopold, habs geändert, sind natürlich alles Matrizen, im folgenden Schritt habe ich nur nach Sarrusche Regel angewandt. Ist die Schreibweise jetzt in Ordung, oder gibts immernoch was zu bemängeln?

@webfritzi, also ich hab das so in der Form gelernt wie ich aufgeschrieben habe, das mag ja in dem Beispiel sogar klappen wenn man für die Determinante -4 rauskommt.... aber ich soll ja noch die Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen...Und allein mit der Determinante komme ich nicht auf genug Eigenwerte...

Also wenn ich das rausbekommen würde
$\begin{eqnarray*} (1-\lambda)*[\lambda²-4]=0 \end{eqnarray*}$
dann wäre folgendes das charakteristische Polynom (so wie ich das gelernt habe)
$\begin{eqnarray*} (1-\lambda)*(\lambda-2)*(\lambda+2)=0 \end{eqnarray*}$
Und damit kann ich dann weitermachen und mit den Eigenwerten:
$\begin{eqnarray*} \lambda_1= 1, \lambda_2= 2, \lambda_3= -2 \end{eqnarray*}$
die Eigenvektoren ausrechnen, indem ich dann wieder hier $\begin{eqnarray*} A - \lambda * E = 0 \end{eqnarray*}$ das jeweilige \lambda einsetze und ausrechne...

22.05.2007, 21:37

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: charakt. Polynom bestimmen; Vorzeichenfehler, wo?

Zitat:

Original von volkan
Meine Vorgehensweise: $\begin{eqnarray*} A - \lambda * E = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 4 &-1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1& 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Diese Gleichungen ergeben so keinen Sinn. Links steht eine Matrix, rechts die Null aus dem Körper.

Zum Vergleich meine Rechnung:

$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}\begin{align*} \chi_A(x)&=-(1-x)^2(1+x)+(1-x)-(1-x)\cdot4 \\ &= -(1-2x+x^2)(1+x)+1-x-4+4x\\ &= -1+2x-x^2-x+2x^2-x^3+3x-3 \\ &= -x^3+x^2+4x-4 \\ &= (1-x)(x-2)(x+2) \end{align*} \qed \begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

22.05.2007, 22:25

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: charakt. Polynom bestimmen; Vorzeichenfehler, wo?
Kannst du mir mal bitte erklären, wie du von

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 4 &-1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1& 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} [(1-\lambda)* (-1-\lambda )*(1-\lambda )]-[4*(1-\lambda) ]-[(1-\lambda) *-1]=0 \end{eqnarray*}$

kommst?

23.05.2007, 00:46

volkan

Auf diesen Beitrag antworten »

@therisen
verstehe deine Rechnung nicht.

@webfritzi

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 4 &-1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1& 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 4 &-1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda& 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 0 \\ 4 & (-1-\lambda ) & 1 \\ 0 & -1 & 1-\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und anschließend mit der Sarruschen Regel...

23.05.2007, 01:06

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

@Volkan: Die erste Zeile ist Quatsch. Man setzt nicht die Matrix gleich Null. Wie du siehst, kann das auch für kein lambda gelten, da oben in der Mitte immer eine Eins steht. Lass das "= 0" weg, und alles ist korrekt.

P.S.: Therisen hat (wie scheinbar du auch - nur richtig Augenzwinkern

) die Regel von Sarrus verwendet.

23.05.2007, 08:25

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von volkan
und anschließend mit der Sarruschen Regel...

Und was berechnet man eben mit dieser Regel? Genau, die Determinante einer Matrix. Also doch so, wie es Webfritzi von Anfang an vorgeschlagen hat.

Neue Frage »

Antworten »

charakt. Polynom bestimmen; Vorzeichenfehler, wo?

Verwandte Themen