Abiturpräsentation Stochastik |
| 22.05.2007, 22:38 | nc_prophecy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Abiturpräsentation Stochastik Ich habe am 29. Mai Abiturprüfung in Mathe als Präsentation. Die Aufgabenstellung ist soweit klar, allerdings bin ich beim Durchgehen der Aufgabe auf zwei Probleme gestoßen. Es geht in der Aufgabe um das sogenannte "Crap Spiel". Hier kurz die Regeln:
Dazu gab es dann noch einen Übergangsgraphen, der erläutert werden soll, das war noch relativ klar. Doch dann geht es daran, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, das gesamte Spiel zu gewinnen. http://home.snafu.de/mirza/MNU-Kiel-2005-Vortrag-kurz.pdf Hier findet man den Übergangsgraphen. So, es ist nun leicht, die Chancen zu berechnen, dass man von einem in den anderen Zustand übergeht. Da aber fast jeder Übergang eine andere Wahrscheinlichkeit hat, ist es kompliziert, die gesamte Gewinnwahrscheinlichkeit zu berechnen. In eben diesem PDF wird das mithilfe von "unendlichen geometrischen Reihen" gemacht, die wir aber nie im Unterricht behandelt hatten. Das ganze ist auf Seite 20 zu finden. Die Zahlen in der Reihe finde ich alle im Übergangsgraphen wieder, allerdings ist es mir ein Rätsel, wie diese Reihe nun zustande gekommen ist, und wie sie gelöst wurde. In meinen Schulbüchern finde ich nichts über diesen Lösungsweg und ich stehe da mehr oder weniger wie ein Ochse vor dem Wald. Die Lösung ist ja angegeben, nur hilft diese mir bei der Präsentation und vor allem in der Nachbesprechung wenig, wenn ich den Lösungsweg nicht erläutern kann. Das zweite Problem ist, den Erwartungswert für die Anzahl der Würfe pro Spiel zu berechnen. Da wollte ich zunächst damit beginnen, die Wahrscheinlichkeiten für 1,2 und 3 Würfe zu berechnen, das ist ja noch soweit klar. Aber dann muss man das ja irgendwie auf die Unendlichkeit übertragen. Natürlich könnte ich die Wurfzahlen immer erhöhen und aufhören, wenn die Zahl viel zu klein wird. Aber damit komme ich glaube ich nicht weit. Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand mit diesen beiden Problemen helfen könnte. Ich blicke schon dem 29. entgegen, da dies der letzte Tag in meinem Leben sein wird, an dem ich mich mit meinem Dämon, der Mathematik beschäftigen muss. mfg |
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| 23.05.2007, 16:23 | Zellerli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also einige Einzelwahrscheinlichkeiten kannst du direkt ausrechnen. Hinzu kommen dann noch die unendlich geometrischen Reihen (das ist in dem PDF, Seite 15 so dargestellt, dass man eine gewisse Rundenanzahl im Kreis geht). Für die unendliche geometrische Reihe könntest du zuerstmal die allgemeine Summe aufstellen, schön mit -Zeichen. Sagen wir die Gewinnsumme nach der ersten Runde ist 6. Dann kann man auf verschiedene Arten Gewinnen: 1 Wurf: Direkt Wurfsumme 6 2 Würfe: erster Wurf nicht6 und nicht7, zweiter Wurf 6 3 Würfe: erster Wurf nicht6 und nicht7, zweiter Wurf nicht6 und nicht7, dritter Wurf 6 usw. Versuch das, was die Würfe gemeinsam haben, mal als Summe in Abhängigkeit von der Wurfzahl zu formulieren. Den Grenzwert der entstehenden unendlichen geometrischen Reihe in der Formelsammlung nachzuschlagen, ist weniger schwierig 
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| 23.05.2007, 23:31 | nc_prophecy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank für deine Antwort! Das mit der unendlichen Reihe habe ich jetzt soweit verstanden. Nur eine Sache ist mir noch schleierhaft. Und zwar wird auf Seite 20 die Wahrscheinlichkeit berechnet, von Z5 nach Z2 überzugehen, das ist 1/3. Mit der Formel, die da angegeben ist, kann ich das ja problemlos auf die anderen Übergänge übertragen, aber wie setzt sich die Formel zusammen? Wenn ich die einfach benutze, werde ich nämlich in der Nachbesprechung gefragt, wie die funktioniert und das weiss ich beim besten Willen nicht. 
Dieser Grenzwert ist dann der Erwartungswert für die Anzahl der benötigten Würfe, oder? mfg |
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| 24.05.2007, 02:20 | Zellerli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also als Erwartungswert würde ich es nicht bezeichnen, aber ich glaube ich weiß wie du das meinst. Es ist einfach die Summenwahrscheinlichkeit aller Möglichkeiten von Z2 nach Z5 zu kommen. Der Teil der mit dem nächsten n hinzugefügt wird, wird mit wachsenden n immer kleiner und erreicht einen endlichen Wert. Den Limes der Summe musst du nicht herleiten (nehme ich zumindest stark an). Die geometrische Reihe steht in jeder Formelsammlung oder z.B. auch auf Wikipedia(schau bei "Konvergenz der unendlichen Reihe") So (oder so ähnlich) steht es in der Formelsammlung: Warum das so ist, musst du nicht erklären, aber was du erklären musst, ist welche Variablen welchen Werten aus dem CRAP-Spiel entsprechen. Im Gespräch könntest du so argumentieren, dass du erkannt hast, dass es sich um eine Reihe handelt. Eben, weil du die Wahrscheinlichkeit als Summe geschrieben hast. Diese Reihe ist wegen und eine ganz spezielle, nämlich die unendliche geometrische Reihe. Wichtig ist, wie schon erwähnt, dass du ganz klar abstrahieren kannst und sagen kannst was a ist, was q ist, etc. |
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| 25.05.2007, 16:59 | nc_prophecy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, vielen Dank für deine Hilfe, das hat mir echt weitergeholfen! Nur eine kleine Frage noch: Ist das mit der unendlichen Geometrischen Reihe eine Markow Kette und inwiefern? Das ist zwar nicht gefragt, aber Markow wäre evtl. gutes Füllmaterial. 
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| 25.05.2007, 17:44 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein: Eine geometrische Reihe ist eine Reihe, und was eine Reihe ist, solltest du aus der Analysis kennen. Eine Markow-Kette ist dagegen eine Folge von Zufallsgrößen mit besonderen Eigenschaften. Das sind also zwei völlig unterschiedliche Kategorien, die du da vergleichen willst: Also nicht Äpfel mit Birnen, sondern eher Äpfel mit Flugzeugen... |
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| 26.05.2007, 12:02 | nc_prophecy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi nochmal, eine Sache ist doch noch unklar. Mit dem Erwartungswert meinte ich nicht den Erwartungswert für die Gewinnchancen, sondern den Erwartungswert für die Anzahl der Würfe, die benötigt werden, damit das Spiel beendet ist (egal ob gewonnen oder verloren). Davon steht auch nichts in dem PFD, leider. 
Ich hoffe, du schaust nochmal in den Thread rein, Zellerli! mfg Nils |
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| 26.05.2007, 12:37 | Zellerli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ganz elementar angehen... Mach dir ne Tabelle mit zwei Spalten. Spalte 1 ist für die Zufallsgröße X und Spalte 2 für ihre Wahrscheinlichkeit P(X). X soll die Anzahl der Züge bis man gewonnen hat sein und P(X) die zugehörige Wahrscheinlichkeit. Bsp: X=1 (also man gewinnt nach einem Zug) P(X) = P("Würfelsumme ist 7 oder 11") = ... Der X=1 ist natürlich etwas speziell (weil der erste Zug ja Sonderregeln hat), aber so ab X=4 oder X=5 solltest du wieder ein System erkennen. Was du dann noch zur Berechnung brauchst ist die Definition des Erwartungswerts, aber das solltest du drauf haben. |
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| 26.05.2007, 18:07 | nc_prophecy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, das habe ich jetzt gemacht. Ab dem dritten Wurf wird bei den einzelnen Übergangswarscheinlichkeiten die Wahrscheinlichkeit dazumultipliziert, noch einmal in diesen Zustand zu kommen. Also die Warscheinlichkeit "eine Runde im Kreis zu drehen" hoch n. Kann man überhaupt einen genauen Erwartungswert dafür berechnen? Mein Bruder sagt, bei der Aufgabe läge es an mir, zu sagen, ab wann die Wahrscheinlichkeit für einen weiteren Wurf zu gering ist und somit den Erwartungswert festzulegen. |
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| 28.05.2007, 11:18 | Zellerli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Erstmal vorneweg: Ich hab übrigens einen kleinen Fehler gemacht, ich habe nur die Anzahl der Würfe, die zum Gewinn führen, genommen. Es muss bei X=1 also heißen: P(X=1) = P("Würfelsumme ist 7 oder 11 oder 2 oder 3 oder 12") = Also am anschaulichsten ist, man geht wie folgt vor: Es gibt (wenn nicht im ersten Zug beendet wird) sechs verschiedene "Gewinnzahlen": 4,5,6,8,9,10 Mach dir eine Tabelle für jede Gewinnzahl. Starte erst bei X=2, denn X=1 ist für alle Gewinnzahlen gleich. Formuliere wieder mit Summenzeichen. Bei Gewinnzahl 4 (mit der Wahrscheinlichkeit 3/36) habe ich ab X=2 für den Erwartungswert E(X): Zur Erklärung: 2/3, dass man nicht im ersten Zug beendet. 26/36, dass man nicht im zweiten Zug beendet. 10/36, dass man im aktuellen Zug beendet. Ich kann dir leider nicht sagen, ob diese Reihe einen endlichen Wert hat. Aber sicher haben wir hier ein paar Cracks, die das drauf haben
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