Hilfe bei diesem komplizierten Endomorphismus!

23.05.2007, 21:23

noch..nichtkönner

Hilfe bei diesem komplizierten Endomorphismus!

Sei (U,o) ein endlich dimensionaler euklidischer Raum.(o=skalarprodukt) Sei s Element der Endomorphismen über dem Vektorraum U über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Angenommen $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ k $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 1, so dass $\begin{eqnarray*} s^k \end{eqnarray*}$ orthogonal für k ist.

Zu zeigen ist, dass ein t $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Aut(U) über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . mit $\begin{eqnarray*} t^{-1}st \end{eqnarray*}$ orthogonal existiert. Dafür definiere man das Skalarprodukt:
$\begin{eqnarray*} o' := \sum_{i=0}^{k-1}~o(s^i(x), s^i(y)) \end{eqnarray*}$ und x,y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U
So eine Aufgabe könnte bei mir demnächst in der Prüfung kommen,
ich würde deswegen gerne noch mal sehen wie man soetwas zeigt.
Würde gerne von einem euch Matheexperten smile

dafür eine Lösung vor der Prüfung mir angucken! Aber leider finde ich zu dieser Aufgabe nirgends eine Hilfe.... wär euch furchtbar dankbar !!!
mfg

24.05.2007, 18:29

ThomasMa

Auf diesen Beitrag antworten »

könnte bei diesem problem auch ein ganz bisschen hilfe brauchen, wie ich da anfangen muss. Danke

24.05.2007, 20:27

WebFritzi logged out

Auf diesen Beitrag antworten »

Zeigt zuerst, dass s orthogonal bzgl. des neuen Skalarproduktes ist (diese Summe in noch..nichtkoenners Beitrag). Waehlt dann eine symmetrische lineare Abbildung t, so dass gilt

o'(x,y) = o(t(x),t(y)).

Ihr muesstet in der Vorlesung gehabt haben, dass das moeglich ist. Tja, und das ist dann das gesuchte t. Einfach einsetzen. Augenzwinkern

24.05.2007, 20:35

WebFritzi logged out

Auf diesen Beitrag antworten »

t ist uebrigens

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\sum_{j=0}^{k-1} (s*)^j s^j}. \end{eqnarray*}$

25.05.2007, 11:48

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Äh, es sollte eigentlich heißen $\begin{eqnarray*} s^* \end{eqnarray*}$ anstatt von $\begin{eqnarray*} s* \end{eqnarray*}$ . Soll die Adjungierte von s bezeichnen.

Und außerdem:

Zitat:

Original von WebFritzi logged out
Tja, und das ist dann das gesuchte t.

Das war falsch. Die Inverse von meinem t ist dann das gesuchte t.

25.05.2007, 13:04

ThomasMa

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das hilft mir weiter. Vielen Dank

Neue Frage »

Antworten »

Hilfe bei diesem komplizierten Endomorphismus!

Verwandte Themen