Komplexifizierung eines Vektorraums

23.05.2007, 22:51

Dunkit

Komplexifizierung eines Vektorraums

Hallo Leute!
Also ich soll zeigen, dass wenn $\begin{eqnarray*} \mathbb{B} \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist, $\begin{eqnarray*} \mathbb{B}^{\mathbb{C}} \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} V^{\mathbb{C}} \end{eqnarray*}$ ist
Wobei $\begin{eqnarray*} V^{\mathbb{C}} = V \oplus iV \end{eqnarray*}$ die Komplexifizierung von V ist.

Zunächst mal, wie muss ich das verstehen: wenn ich einen Vektor v komplexifiziere bedeutet das $\begin{eqnarray*} v^{\mathbb{C}} = v + i v' \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall v'\in V \end{eqnarray*}$
oder nur $\begin{eqnarray*} v^{\mathbb{C}} = v + i v \end{eqnarray*}$

So jetzt mal zur eigentlichen aufgabe:
Ich müsste ja zeigen, dass die Dimensionen von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V^\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ gleich sind, und dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{B} = \{ b_1 ^\mathbb{C}, \dots, b_n ^\mathbb{C} \} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig ist.

Nur kann ich das noch nicht, weil mir obige frage noch nicht ganz klar ist.

24.05.2007, 00:11

Lazarus

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Mach dir doch mal ein ganze einfaches Beispiel.

Betrachte einen $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraum, am besten einen ganz einfachen Augenzwinkern

24.05.2007, 07:27

Dunkit

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ok, also zum beispiel der $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ . Wird dann aus $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nur $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} + i \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder zum Beispiel auch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} + i \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

24.05.2007, 11:11

Lazarus

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Ich habe ein noch leichteres Beispiel gemeint, das du sicherlich kennst:
Einfach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Und $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{\mathbb C} \end{eqnarray*}$ ist was ?
Genau. Ganz einfach $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$
Und die Elemente davon kennen wir ja alle mit $\begin{eqnarray*} a+\mathrm{i} b \end{eqnarray*}$ .
Selbstverständlich muss keineswegs $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ gelten!

24.05.2007, 11:20

Dunkit

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Ok und wie zeige ich jetzt, was ich eigtl zeigen muss?
Sind die Dimensionen des Vektorraums und die der komplexifizierung gleich?
Kann ich meinen Ansatz nutzen? Und wie setze ich ihn um?

24.05.2007, 12:47

WebFritzi

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Ich gehe mal davon aus, dass die Skalarmultiplikation im neuen Raum wie folgt erklärt ist:

$\begin{eqnarray*} z\begin{pmatrix}v\\v'\end{pmatrix} := \begin{pmatrix}xv-yv'\\xv'+yv\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Ist das so, Dunkit?

24.05.2007, 13:35

Dunkit

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erklärt ist es nicht. aber ich gehe davon aus, dass es so ist.

erklärt ist nur

Zitat:

Sei V ein reeller Vektorraum. Sei $\begin{eqnarray*} V^\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ die Komplexifizierung von V

24.05.2007, 19:03

artin

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Es ist eine Sache, hier zu posten, wenn man nicht weiterkommt. Aber wenn man sich noch nichtmal die Mühe macht einen Blick ins Vorlesungsskript zu werfen, so dass man zumindestens die in der Aufgabe verwendeten Begriffe versteht, ist schon unverschämt.

24.05.2007, 20:00

WebFritzi logged out

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Alles klar mit dir, artin? Augenzwinkern

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