Streudateninterpolation mit Hardy's Multiquadrics

24.05.2007, 15:36

AlSvartr

Streudateninterpolation mit Hardy's Multiquadrics

Juhu, ich habe ein Problem traurig

Es geht um Methoden der Streudateninterpolation. Genauer gesagt: Hardy's Multiquadrics. Mal kurz erklärt: Man hat eine Menge von Punkten (Stützstellen) $\begin{eqnarray*} p_1,\ldots,p_n \end{eqnarray*}$ und möchte aus diesen einen Punkt q interpolieren. Dabei hält man sich dann an Folgendes:
$\begin{eqnarray*} \tilde{f}(q)=\sum_{i=1}^n \alpha_i f_i(d(q,p_i)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_i(d)=(d^2+r^2)^\mu, r>0, \mu \neq 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt heißt es, die $\begin{eqnarray*} \alpha_i \end{eqnarray*}$ ergeben sich aus der Lösung der Gleichungen, die sich aus der Auflösung der Interpolationsgleichung für die Stützstellen ergeben (mit der Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} \tilde{f}(p_i)=f(p_i) \end{eqnarray*}$ ).

Moment mal..ich glaub das ist in der Originalsprache besser verständlich:

Zitat:

The $\begin{eqnarray*} \alpha_i \end{eqnarray*}$ are determined by solving the linear equations resultiong from solving equation (3) (das ist die Interpolationsgleichung da oben) for the sample points and using the auxiliary conditions $\begin{eqnarray*} \tilde{f}(p_i)=f(p_i) \end{eqnarray*}$ .

Problem: Ich blick irgendwie nicht ganz durch, wie ich das bewerkstelligen soll. Ok, "nicht ganz" ist untertrieben, ich steh total aufm Schlauch. Aber ich dachte mir, vielleicht hab ich ja Glück und hier hat entweder jemand schonmal damit hantiert oder aber jemand ist in dem Punkt schlauer als ich.

Danke schonmal :]

24.05.2007, 21:38

AlSvartr

Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich hab mal ein wenig nachgedacht und glaube ich auch verstanden, wie das alles gemeint ist..und damit hat sich eigentlich auch bestätigt, dass ich nur auf dem Schlauch stand Augenzwinkern

Interpolationsbedingung:
$\begin{eqnarray*} \tilde{f}(p_j)=f(p_j) \end{eqnarray*}$

Dann gilt mit $\begin{eqnarray*} f_i(d)=(d^2+r^2)^\mu, r>0, \mu=0,5 \end{eqnarray*}$ und einem eigenen $\begin{eqnarray*} r_i \end{eqnarray*}$ pro Stützstelle $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \tilde{f}(p_j)=f(p_j)=\sum_{i=1}^n \alpha_i \sqrt{d(p_j,p_i)^2+r_i^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow f(p_j) = \alpha_j r_j + \sum_{i \neq j} \alpha_i \sqrt{d(p_j,p_i)^2 + r_i^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \alpha_j = \frac{1}{r_j} \left( f(p_j) - \sum_{i \neq j} \alpha_i \sqrt{d(p_j,p_i)^2 + r_i^2} \right) \end{eqnarray*}$

Oder hab ich da irgendnen Fehler gemacht?

<edit>
Damit sollte ich doch dann das folgende lineare Gleichungssystem ergeben, nicht wahr?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}r_1 & \sqrt{d(p_1,p_2)^2+r_2^2} & \cdots & \sqrt{d(p_1,p_n)^2+r_n^2} \\ \sqrt{d(p_2,p_1)^2+r_1^2} & r_2 & \cdots & \sqrt{d(p_2,p_n)^2+r_n^2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sqrt{d(p_n,p_1)^2+r_1^2} & \sqrt{d(p_n,p_2)^2+r_2^2} & \cdots & r_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} f(p_1) \\ f(p_2) \\ \vdots \\ f(p_n) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Streudateninterpolation mit Hardy's Multiquadrics

Verwandte Themen