Definition von UVektorräumen

25.05.2007, 18:34

MrMilk

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Definition von UVektorräumen

Hallo,

ich habe eine Frage zu Untervektorräumen. Und zwar kann ein VR auch zum Beispiel die Menge aller Funktionen auf einem Intervall sein, soweit ich mich nicht ganz täusche.

Nun habe ich zwei definierte Mengen:

$\begin{eqnarray*} (i) \left\{ f\in C\left(\mathbb{R}\right):\, f(0)=0,\, f(\pi)=0\right\} \subseteq C\left(\mathbb{R}\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (ii) \left\{ f\in C\left(\mathbb{R}\right):\, f(0)=1,\, f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\right\} \subseteq C\left(\mathbb{R}\right) \end{eqnarray*}$

Anmerkung:

$\begin{eqnarray*} Sei\, C\left(\mathbb{R}\right)\, die\, Menge\, der\, stetigen\, Fkt.\, von\,\mathbb{R}\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Bin ich mit der Annahme richtig, wenn ich Sage, dass (i) ein VR ist, aber (ii) nicht, da in (ii) ein Nullelement existiert?

Könnte ich dieses dann wie folgt zeigen:

Sie f beliebige Funktion welche 0 nach 1 abbildet. Sei nun weiter g die Nullfunktion(Kann man dieses so ausdürcken?). Nach Definition von UR muss gelten, dass f+g=f ist, was aber nicht möglich ist, da f(0)+g(0)=2 ist. Somit kann (ii) kein UVR darstellen.
Wäre dieses so richtig?

Bei (i) würde ich die Konstante 0 Funtktion als Null-Element wählen und hätte somit das Nullelement. Liege ich damit richitg?

Viele Grüße
-- MrMilk

Viele Grüße
-- MrMilk

25.05.2007, 19:58

WebFritzi

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RE: Definition von UVektorräumen
Du liegst mit vielem richtig, außer mit dem hier:

Zitat:

Original von MrMilk
Sei f beliebige Funktion welche 0 nach 1 abbildet. Sei nun weiter g die Nullfunktion(Kann man dieses so ausdürcken?). Nach Definition von UR muss gelten, dass f+g=f ist, was aber nicht möglich ist, da f(0)+g(0)=2 ist. Somit kann (ii) kein UVR darstellen.

Wie kommst du auf 2??? "Zeig" doch einfach, dass die Nullfunktion nicht in der zweiten Menge enthalten ist. Ein Nullelement MUSS zwangsläufig die Nullfunktion sein. Also kann (ii) kein UVR sein.

25.05.2007, 20:03

MrMilk

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Hallo WebFritzi,

ganz einfach guck dir doch an wie bei (ii) die Funktionen in der mnege aussehen. Es gilt $\begin{eqnarray*} f(0)=1 \end{eqnarray*}$ . Also wenn ich zwei beliebige Funktion addiere, muss somit immer 2 heraus kommen, natürlich nur an dieser Stelle. Und hiermit müsste ich doch somit auch gezeigt haben, dass es keine Nullfunktion geben kann, wo an der Abbildungsstelle 0 gilt $\begin{eqnarray*} f(0) +g (0)= f(0) \end{eqnarray*}$ .

Oder leige ich damit grade falsch?

Viele Grüße
-- MrMilk

25.05.2007, 20:04

WebFritzi

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Äh, du hattest zuvor g als die Nullfunktion definiert...

25.05.2007, 20:11

MrMilk

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Richtig.
Wir wissen aber auch, dass dass die Nullfunktion Element der Menge sein muss, korrekt? Mir ist eigentlich egal wie diese Funktion aussieht, nur muss sie zwei Vorraussetzungen erfüllen.
Weiter habe ich mir ein beliebiges Element aus meiner Menge genommen (f) uns mit der Nullfunktion g addiert. Auch hier weiß ich wieder nur zwei Eigenschaften von den Funktionen $\begin{eqnarray*} g(0)=1,f(0)=1,... \end{eqnarray*}$ und das ganze noch mit Pi halbe.
Da f beliebig gewäht ist und die Nullfunktion für alle gelten muss, habe ich einfach einmal addiert.
Dabei habe ich festgestellt, dass die Nullfunktion nicht in dieser Menge sein kann, weil sie nicht die Eigenschaften einer Nullfunktion erfüllt an der Stelle 0.

Somit kann es keine Nullfunktion geben.
Also kein UVR.

Verstehst du nun was ich meine?

Viele Grüße
-- MrMilk

25.05.2007, 20:37

WebFritzi

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OK, ich verstehe jetzt, was du meinst, denke ich. Dann schreib bitte nicht "Nullfunktion", sondern "Nullvektor in diesem Raum", denn die Nullfunktion ist einfach die Funktion, die jedem x den Wert Null zuordnet. Das ist ein fester Begriff. Dein g hier ist aber die Null im vermeintlichen Vektorraum. Und: Sag vorher an, wenn du einen Widerspruchsbeweis führen willst. So in der Art: "Angenommen, (ii) sei ein Vektorraum..."

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25.05.2007, 20:40

MrMilk

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Hallo WebFritze,

ich wusste nicht ob es ein Beweis oder ehr Gegenbeispiel ist, deswegen habe ich es gelassen.

Aber sollte so stimmen, richtig?

Viele Grüße
-- MrMilk

25.05.2007, 21:01

WebFritzi

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Na, schreibs nochmal richtig auf.

25.05.2007, 22:02

MrMilk

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Zu (ii)
$\begin{eqnarray*} M := \left\{ f\in C\left(\mathbb{R}\right):\, f(0)=1,\, f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\right\} \subseteq C\left(\mathbb{R}\right) \end{eqnarray*}$

Wir nehmen an, dass es sich bei der Menge M um VR-Raum handelt. Somit muss es auch ein Nullelement in dieser Menge gehen, was wir als g(x) bezeichnen. Sei weiter f(x) ein beliebiges Element der Menge. Nach Vorderung muss $\begin{eqnarray*} f(x)+g(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ sein, allerdings ist $\begin{eqnarray*} f(0)+g(0)=2\neq 1 \end{eqnarray*}$ somit handelt kann es kein Untervektorraum sein, da kein Nullelement existiert.

So okay?

Viele Grüße
-- MrMIlk

25.05.2007, 22:09

WebFritzi

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Ja, aber es geht viel einfacher. Es muss ja nur gezeigt werden, dass es kein Untervektorraum des C(R) ist. Und in C(R) ist gerade die Nullfunktion das Nullelement. Diese ist offenbar nicht in Menge (ii) enthalten. Damit ist (ii) auch kein Untervektorraum von C(R).

25.05.2007, 22:23

MrMilk

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Hallo Webfritzi,

generell gebe ich dir recht. Allerdings musst du erst zeigen, dass die Nullfunktion das Nullelement ist. Dieses kann ich aber nicht vorraussetzen, da ich nur weiß, dass der $\begin{eqnarray*} C(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ ein VR ist. Wie die genauen Elemene aussiehen müsste ich erst noch zeigen.

Verstehst du was ich meine?

Viele Grüße
-- MrMilk

25.05.2007, 22:45

WebFritzi

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Zitat:

Original von MrMilk
Allerdings musst du erst zeigen, dass die Nullfunktion das Nullelement ist.

Im C(IR)? Das weiß man einfach, weil's trivial ist. C(IR) ist doch wiederum ein Unterraum des Vektorraumes aller Funktionen auf IR, und da ist halt mal die Nullfunktion der Nullvektor.

26.05.2007, 09:52

MrMilk

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Hallo WebFritzi,

noch eine Frage zum Beweis zu (i).
Hier handelt es sich um einen UVR.
Das Nullelement sei die Funktion welche immer auf $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ abbildet.

Aber wie würde ich die anderen beiden Eigenschaften nachweisen?

a) $\begin{eqnarray*} x,y\in U, x+y\in U \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R; x\cdot y\in U \in U \end{eqnarray*}$

Würde ich mich hier darauf berrufen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ bezüglich der Addition und Multiplikation abgeschlossen sind:

a) Seien $\begin{eqnarray*} m(x),n(x)\in U \end{eqnarray*}$ . Somit gilt: $\begin{eqnarray*} m(x)+n(x)=(m+n)(x)\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

bzw.
b) Sei $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb R,m(x)\in U \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray*} k\cdot m(x)=(k\cdot m)(x)\in mathbb R \end{eqnarray*}$

Würde das reichen?

Viele Grüße
-- MrMilk

26.05.2007, 12:05

WebFritzi

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Nimm dir halt m und n aus U und zeige, dass m + n wieder in U liegt. Das hast du noch nicht gemacht! Dabei ist m + n wie bei dir definert als (m + n)(x) := m(x) + n(x).

26.05.2007, 12:23

MrMilk

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MMmh, das verstehe ich leider nicht,

Ich dachte das hätte ich schon gezeigt. $\begin{eqnarray*} m(x)+n(x)=(m+n)(x)\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Wieso reicht das nicht?

Viele Grüße
-- MrMilk

26.05.2007, 14:10

system-agent

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solltest vielleicht dazu erwähnen, dass dir der satz über die komposition stetiger funktionen sichert, dass deine summe und deine skalarmultiplikation wieder ein element deines untervektorraums liefert

26.05.2007, 14:31

WebFritzi

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@system-agent:
Das ist Quatsch, denn man weiß ja, dass C(IR) ein Vektorraum ist.

@Milky:
Schau dir halt nochmal die Definition von deinem U in (ii) an. Wenn jetzt f und g aus U sind, was muss die Funktion f+g dann erfüllen?

26.05.2007, 15:08

MrMilk

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Hallo WebFritzi,

ich würde auch das sagen, was system-agent schon gesagt hat.

Es ist bekannt, dass die addition zweier stetiger Funktionen wieder stetig ist. Somit ist f+g auch wieder stetig.

Oder worauf möchtest du nun hinaus?

Viele Grüße
-- MrMilk

26.05.2007, 19:41

WebFritzi

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Zitat:

Original von MrMilk
Es ist bekannt, dass die addition zweier stetiger Funktionen wieder stetig ist. Somit ist f+g auch wieder stetig.

Wenn du weißt, dass C(IR) ein Vektorraum ist, dann ist das klar! Also brauchst du das für deinen Unterraum nicht mehr zu zeigen/erwähnen.

26.05.2007, 19:44

MrMilk

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Jetzt bin ich ganz verwirrt.
Ich habe die Aufgabenstellung zu zeigen, ob es ein UVR ist oder nicht.

Und dazu muss ich auch auch Addition und Skalarmulitplikation zeigen. Wieso geht das so nicht? Bzw. ich kann doch nicht sagen das eine ist ein VR und daraus folgen alle drei UVR Eigenschaften, sonst habe ich doch gar nichts auf dem Blatt stehen traurig

traurig

Viele Grüße
-- MrMilk

26.05.2007, 20:52

tigerbine

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Zitat:

Original von WebFritzi
Wenn du weißt, dass C(IR) ein Vektorraum ist, dann ist das klar! Also brauchst du das für deinen Unterraum nicht mehr zu zeigen/erwähnen.

@ MrMilk

Ich glaube Dir verschließ sich noch total, worum es bei dem Nachweis (allgemein U ist ein Untervektorraum von V geht). Hier ist wohl $\begin{eqnarray*} V = C(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ .

Frage 1 die zu klären ist: Ist V ein Vektorraum?

Da Du hier ständig Untervekttorräume untersuchen willst, würde ich mal annehmen das dies bereits aus der Vorlesung bekannt ist. Ansonsten muss es gezeigt werden.

Frage 2 die zu klären ist: Ist U ein Untervektorraum von V?

Dann gilt es wie im anderen Thread die 3 Punkte zu Überprüfen.

1. Liegt der Nullvektor in U?
2. Ist U bzgl. der Vektoraddition abgeschlossen?
3. Ist U bzgl. der Skalarmultiplikation abgeschlossen?

Das der 0 Vektor in V liegt, es dort eine Vektoraddition und Skalarmultiplikation gibt hast Du in Frage 1 zu klären.

27.05.2007, 17:46

MrMilk

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Hallo tigerbine,

ich habe einmal über das nachgedacht, was du geschrieben hast.

Hier einmal zu meinen Gedanken.
Jep, ich weiß aus der Vorlesung dass alle Funktionen von IR nach IR auf einem abgeschlossenen Intervall einen Vektorraum bilden. Hier habe habe ich eine Einschränkung der Funktionen, da f(0) und f(1) fest vorgegeben sind. Aus diesem Grund habe ich mir überlegt, dass ich doch nur die Eigenschaften für einen Untervektorraum nachweisen muss.

Aber nun zu deinen drei Punkten bei Frage zwei:

Beim ersten bin ich immer davon ausgegangen, dass ich wirklich nur schaun muss, ob das Nullelement hier existiert.
Erst in Punkt zwei und drei hätte ich angefangen zu schaun, ob die definierte Menge bezüglich der vorgegebenen Operationen auch abgeschlossen ist.

Nun Frage ich mich aber die ganze Zeit, was an diesem Zweizeiler nicht ausreicht für den Beweis der Abgeschlossenheit:
$\begin{eqnarray*} m(x),n(x)\in U \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} m(x)+n(x)=(m+n)(x)\in \mathbb R (*) \end{eqnarray*}$ .
Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} m+n\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt, da die Addition auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist.

Kannst du mir sagen wo ich grundsätzlich falsch denke?

Viele Grrüße
-- MrMIlk

27.05.2007, 21:06

tigerbine

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Es gibt 2 Wege einen Untervektorraum nachzuweisen.

1. Man zeigt das U ein Vektorraum ist.

Dies wird man meist jedoch nicht tun, da der Begriff Untervektorraum ja auch noch den Zusatz "wovon" fordert. Daher kann man davon ausgehen, dass die Skalarmultiplikation und Vektoraddition der Vektorraumdefinition genügt. Die entscheidenden Fragen, die es eben zu klären gilt, sind hatte ich dir bereits aufgelistet.

Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} U:= \left\{ f\in C\left(\mathbb{R}\right)|\, f(0)=0,\, f(\pi)=0\right\} \subseteq C\left(\mathbb{R}\right) =V \end{eqnarray*}$

So deine Aufgabe ist hier also zu prüfen, ob die Teilmenge $\begin{eqnarray*} U \subseteq V \end{eqnarray*}$ einen Untervektorraum des Vektorraums V bildet. Ich würde sagen, die Vekorraumeigenschaften von V dürfen vorausgesetzt werden. Bleiben also wieder 3 Punkte:

1. Liegt der Nullvektor in U?
2. Ist U bzgl. der Vektoraddition abgeschlossen?
3. Ist U bzgl. der Skalarmultiplikation abgeschlossen?

Was Du mit deinem Zweilzeiler aussagen willst, entzieht sich mir. Die Vektoren sind hier stetige Funktionen, der Skalarkörper ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Dein ZZ besagt, dass die Bilder auch nach der Addition wieder reell sind. Schön, aber was soll das hier helfen? Nichts. Viel interessanter wäre die Frage, warum überhaupt:

$\begin{eqnarray*} m(x)+n(x)=(m+n)(x) \end{eqnarray*}$

gilt? Als nächstes, wie lautet der Nullvektor von V? Was ist die charakteristische Eigenschaft einer Funktion, die in U liegt? Stetig ist sie schon, weil sie in V liegt.

27.05.2007, 22:09

MrMilk

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Hallo tigerbine,

Wie bekannt, liegen in U alle Funktion mit der Eigenschaft, dass sie stetig sind und die 0 sowie $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ auf die 0 abgebildet werden. Hinzu ist uns bekannt, dass alle Elemente stetige Funktionen sind.

Als Nullelement sehe ich die Funktion an, die wie folgt definiert ist $\begin{eqnarray*} f: [0,\pi]\to 0 \end{eqnarray*}$ .
Nehmen wir ein beliebiges Element aus U, sagen wir g(x), so bleibt bei der Addition mit f(x) die Eigenschaft werhalten, dass f(0)+g(0)=0 und f( $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ) +g $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ = 0 ist.
Weiter wissen wir, dass bei jedem anderen $\begin{eqnarray*} x\in (0,\pi ) \end{eqnarray*}$ auch wieder auf den gleichen Wert wie bie g(x) abgebildet wird. Somit entspricht f(x) unserem Nullelement aus U.

Aber nun zur Addition zweier Element.
Seien diese m(x) und n(x) wir wissen, dass beide stetig sind und wissen auch, dass die Additon zweier stetiger Funktionen wieder eine stetige ist. Hinzu wissen wir auch, dass m(0)=0, m( $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ )=0, n(0)=0 und n( $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ )=0. Hieraus können wir folgern, dass die Addition der beiden Funktionen an den Stellen 0 und $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ den Anforderungen entspricht. Wie schon erwähnt wissen wir auch, dass die Addition zweier stetiger Funktionen wieder stetig ist. Somit wissen wir auch, dass das Resultat von m(x)+n(x) wieder in U liegt. Damit ist aus meiner Sichtweise gezeigt, dass die Addition abgeschlossen ist.

Dieses würde ich analog auch für die Skalamultiplikation zeigen.

Hier aus kann ich folgern, dass es sich um einen Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} C(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ handelt.

Hinzu ist auch bekannt, dass ein Untervektorraum auch wieder ein Vektorraum ist und somit ist U auch ein Vektorraum.

Stimmt das so oder habe ich wieder etwas entscheidenes übersehen?

Viele Grüße
-- MrMilk

27.05.2007, 22:20

tigerbine

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Und warum überprüfst Du dann nicht auf Abgeschlossenheit unter diesen Kriterien? Und immer noch, wie lautet der Nullvektor?

27.05.2007, 22:22

MrMilk

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Entschuldiung, anstatt auf Vorschau zu drücken, habe ich auf senden geklickt.
Aber jetzt der ganze Beitrag.

Viele Grüße
-- MrMilk

27.05.2007, 22:42

tigerbine

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Also, irgendwie schreibst Du sehr ungenau. Woher kommt denn jetzt wieder das Intervall $\begin{eqnarray*} [0,~\pi] \end{eqnarray*}$ her? Davon kann ich in deinem ersten Post nichts entdecken. Und $\begin{eqnarray*} C(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ sind die auf den reellen Zahlen stetigen Funktionen. unglücklich

unglücklich

Warum soll nun plötzlich auf ein Intervall eingeschränkt werden?

Es ist bekannt, dass die Nullfunktion $\begin{eqnarray*} f(x) := 0~ \forall x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ der Nullvektor von hiesigem V ist. Also musst du nicht zeigen, dass sie der Nullvektor ist, sondern, dass sie in U liegt. Ist aber wohl trivial, denn aus ihrer Definition folgt:

$\begin{eqnarray*} f(0)=f(\pi)=0 \Rightarrow f \in U \end{eqnarray*}$

Addition

Du musst nicht zeigen, dass die Summe stetig ist. Das folgt doch daraus, dass sie in V liegen. Du musst nachweisen, dass die Summe in U liegt. Seien also $\begin{eqnarray*} m,n \in U \subseteq V \end{eqnarray*}$ , dann folgt:

$\begin{eqnarray*} (m+n)(0)\stackrel{\mathrm{\in V}}=m(0)+n(0) \stackrel{\mathrm{\in U}} = 0 + 0 =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (m+n)(\pi)\stackrel{\mathrm{\in V}}=m(\pi)+n(\pi) \stackrel{\mathrm{\in U}} = 0 + 0 =0 \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} (m+n) \in U \end{eqnarray*}$ .

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