Problem mit Basen

26.05.2007, 16:53	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
Problem mit Basen Hallo, leider habe ich noch ein paar Probleme mit Basen. Deswegen hier ein kleines Beispiel in dem ich euch um Hilfe ersuche. $\begin{eqnarray} U&=&\left\{ \left(\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}\right):2x_{1}+4x_{2}-4x_{3}=0\right\} \end{eqnarray}$ Ich muss zugeben, im Augenblick ist mir noch nicht klar, wie ich eine solche Aufgabe angehen könnte. Ich denke Als erstes muss ich einen Menge definieren und zeigen, dass diese linear unabhängig und gleichzeitig ein Erzeugendensystem ist. Spontan würde ich diese Menge wie folgt wählen: $\begin{eqnarray} M:=\{2x_1,4x_2,4x_3\} \end{eqnarray}$ . Auf die Frage wieso ich diese so gewählt habe, würde ich nur sagen, dass ich damit alles darstellen kann mit passend gewähltem x_i. Kann mir jemand einen Tipp geben, wie man so etwas "vernünftig" angeht? Viele Grüße -- MrMIlk
26.05.2007, 18:39	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
wäre schön wenn du auch sagen würdest, was die aufgabe ist und in welchem vektorraum wir uns befinden. um jetzt mal meine hellseherischen fähigkeiten zu strapazieren: der vektorraum ist der $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ soll ein untervektorraum sein, von dem du eine basis bestimmen sollt... eine basis muss zwei bedingungen erfüllen: (1): sie muss den ganzen interessierenden vektorraum aufspannen (2): die spannvektoren müssen linear unabhängig sein nun: wie viele vektoren braucht man für eine ebene? wie bekommt man linear unabhängige?
26.05.2007, 19:24	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo System-agent, ich denke es erfreut dich, wenn ich deine hellseherischen Fähigkeiten hier bestätige Ich muss zugeben, dass ich es vergessen habe. Es ist ein $\begin{eqnarray} \mathbb R ^3 \end{eqnarray}$ . Vermutlich brauche ich drei Vektoren. Leider ist mir nicht klar wie ich das in verbindung mit den Gleichung bringen kann. Kannst du mir einen Hinweis eben? Viele Grüße -- MrMIlk
26.05.2007, 21:06	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Da das wohl alles Aufgaben von Übungszetteln aus der Linearen Algebra sind, schreib sie doch in die Hs Mathe.
26.05.2007, 23:11	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
wir sind uns schonmal einig, dass die gegebene gleichung eine ebene im $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ beschreibt. nun gibts zwei möglichkeiten: entweder du weisst, dass genau zwei linear unabhängige vektoren eine ebene aufspannen oder nicht. falls nicht, schau nochmal im skript nach andernfalls kannst du einfach mal was für die gegebenen variablen einsetzen. wähle beispielsweise einmal $\begin{eqnarray} x_1=0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x_2=1 \end{eqnarray}$ und berechne damit die dritte komponente und ein andres mal zb. $\begin{eqnarray} x_1=1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x_2=2 \end{eqnarray}$ und berechne damit die dritte komponente (jeweils aus der gegebenen gleichung). dann prüfe ob die vektoren linear unabhängig sind. falls ja, bringe ein gutes argument, dass diese beiden vektoren deine ebene aufspannen und weise nach dass sie linear unabhängig sind. nach meinem vorigen post hast du dann also auch eine basis deiner ebene gefunden...
27.05.2007, 17:31	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo system-agent, ich habe einmal darüber nachgedacht. Und nun habe ich die allerdings einmal $\begin{eqnarray} x_1=2\\x_2=1\\\Rightarrow x_3=2 \end{eqnarray}$ gewählt und $\begin{eqnarray} x_1=1\\x_2=2\\\Rightarrow x_3=2,5 \end{eqnarray}$ gewähllt. Somit folgt analog die Vektoren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Das diese linear unabhängig sind, habe ich mit Gauß überprüft. Diese beiden Vektoren müssen auch eine Ebenen aufspannen, da keiner von ihnen eine Nullkomponente enthält und sie linear unabhängig sind. Da finde ich bis jetzt auch recht gut. Allerdings ist mir immer noch unklar, wieso es sich auch um ein Erzeugendensystem handeln muss. Kann man so etwas formal beweisen, wie das es linear unabhängig ist (in diesem Fall kann es mit Hilfe von Gauß) gezeigt werden. Viele Grüße -- MrMilk
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28.05.2007, 11:03	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
erzeugendensystem bedeutet einfach, die gegebenen vektoren sollen den ganzen raum aufspannen, ein beispiel: ich will eine basis von $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ bestimmen. ich wähle den vektor $\begin{eqnarray} v=(1,0,0) \end{eqnarray}$ . dieser vektor ist garantiert linear unabhängig. wenn ich also nicht fordern würde, dass meine linear unabhängigen vektoren den ganzen raum aufspannen müssen, könnte ich schon $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ als basis wählen, aber mein $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ spannt ja lediglich eine gerade auf, aber niemals den $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ . gleiche argumentation zb. mit $\begin{eqnarray} v=(1,0,0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w=(0,1,0) \end{eqnarray}$ . diese spannen eine ebene, aber nicht den ganzen $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ auf, können also auch noch keine basis bilden. jetzt klar geworden?

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