Formeln für den Kegelstumpf - wie soll man darauf kommen?

28.05.2007, 15:05

Avicenna

Formeln für den Kegelstumpf - wie soll man darauf kommen?

Hallo,
für etwas Referatähnliches muss ich die Formeln für den Kegelstumpf erklären (nicht unbedingt beweisen, aber das spielt hier gar keine Rolle). In meinem Mathebuch, der Grundlage meines Referats (d.h. das Referat soll das beinhalten, was das Buch beinhaltet) stehen aber nur zwei Formeln für den Kegelstumpf:

Volumen eines Kegelstumpfes
Mantelfläche des Kegelstumpfes

Um die Mantelfläche zu bestimmen, brauche ich aber den Wert s, die Mantellinie. Wie soll ich diesen Wert s berechnen? Klar kann ich jetzt im Internet danach suchen, was ich ja auch getan habe, aber wenn die Formel für die Mantellinie nicht im Mathebuch steht (aber in den dazugehörigen Aufgaben verlangt wird!), dann frage ich mich, woher man die wissen soll. Ich benutze Lambacher Schweizer 10 Ausgabe Rheinland-Pfalz (das Mathebuch ist hervorragend, d.h. vergessen haben sie es sicherlich nicht).
Das ist die Hauptfrage, die mich zur Zeit beschäftigt.
Als weitere Frage frage ich mich, worauf sich die Werte $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ der im Buch definierten Formel beziehen: Ist $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ die Oberfläche?

Viele Grüße,
Avicenna

28.05.2007, 17:56

cst

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RE: Formeln für den Kegelstumpf - wie soll man darauf kommen?
Den Wert für s berechnest du mit dem rechtwinkligen Dreieck, von dem du die beiden Katheten gegeben hast. Die Skizze zeigt den Kegelstumpf von der Seite. r1 und r2 sind die Radien der beiden Kreise oben und unten. (Es kann sein, dass in deinem Buch die beiden Radien andersrum bezeichnet sind als bei mir)

cst

23.06.2007, 01:13

Avicenna

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Dank für die Antwort, aber mir ist nicht schlüssig, wieso die eine Kathete (ungleich h) $\begin{eqnarray*} r_{1}-r_{2} \end{eqnarray*}$ ist, wieso ist es nicht $\begin{eqnarray*} \frac{r_{1}-r_{2}}{2} \end{eqnarray*}$ ?

23.06.2007, 07:38

Leopold

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Ein Radius geht ja immer von der Mitte eines Kreises bis zum Rand. Und jetzt denke dir zwischen den gestrichelten Linien in der Figur von cst_aus_b einen Fahrstuhl und laß $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ diesen nach unten fahren.

23.06.2007, 13:37

Avicenna

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Stimmt ja, ich bin vom Durchmesser ausgegangen, nicht vom Radius. Danke smile

23.06.2007, 15:01

mYthos

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Interessant ist die Formel für den Matel des Kegelstupfes bzw. deren Herleitung:

$\begin{eqnarray*} M = (r_1 + r_2) \pi s \end{eqnarray*}$

Weisst du, wie man darauf kommt?

Hinweis:
Verwende die Proportionen

$\begin{eqnarray*} r_1 : s_1 = r_2 : s_2 = (r_1 - r_2) : s \end{eqnarray*}$

mY+

24.06.2007, 21:51

Avicenna

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Danke für die Antwort, aber was ist denn $\begin{eqnarray*} [s]_{2} \end{eqnarray*}$ ?

25.06.2007, 14:44

mYthos

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$\begin{eqnarray*} s_1 \end{eqnarray*}$ .. Mantellinie des großen (ganzen) Kegels
$\begin{eqnarray*} s_2 \end{eqnarray*}$ .. Mantellinie des kleinen (ganzen) Kegels oben, der wegfällt

$\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ .. Mantellinie des Kegelstumpfes

mY+

25.06.2007, 15:10

Avicenna

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Okay, damit lässt sich der Tipp begründen, aber ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung, wie ich dann fortfahren muss, kann ich noch einen Tipp erhalten?

26.06.2007, 17:16

mYthos

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Zitat:

Original von mYthos
...
Hinweis:
Verwende die Proportionen

$\begin{eqnarray*} r_1 : s_1 = r_2 : s_2 = (r_1 - r_2) : s \end{eqnarray*}$

mY+

Mit Hilfe dieser beiden Proportionen und $\begin{eqnarray*} s = s_1 - s_2 \end{eqnarray*}$ kommt

$\begin{eqnarray*} r_1 s_2 = s_1 r_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_2 = \frac{r_2 s_1}{r_1} \end{eqnarray*}$

Der Mantel des Kegelstumpfes ist die Differenz der Flächen der beiden Kreissektoren mit den Radien $\begin{eqnarray*} r_1,\ r_2 \end{eqnarray*}$ und den Bögen $\begin{eqnarray*} 2r_1\pi \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} 2r_2\pi \end{eqnarray*}$ (Kreisumfänge des Basis- und des Deckkreises), allgemein ist deswegen der Kegelmantel ja

$\begin{eqnarray*} M = r \pi s \end{eqnarray*}$

---------------------------------------

$\begin{eqnarray*} M_{Kst} = \pi (r_1 s_1 - r_2 s_2) = \pi (r_1 s_1 - \frac {r_2^2 s_1}{r_1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M = \pi (r_1^2 - r_2^2) \frac{s_1}{r_1} = (r_1 + r_2)(r_1 - r_2) \frac{s_1}{r_1} \end{eqnarray*}$

Setze jetzt (aus der zweiten Proportion $\begin{eqnarray*} r_1 : s_1 = (r_1 - r_2) : s \end{eqnarray*}$ ) für

$\begin{eqnarray*} \frac{s_1}{r_1} = \frac{s}{r_1 - r_2} \end{eqnarray*}$

und kürze noch! Dann folgt unmittelbar

$\begin{eqnarray*} M = \pi (r_1 + r_2) \cdot s \end{eqnarray*}$

mY+

26.06.2007, 19:21

Avicenna

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Vielen Dank für die ausführliche Erklärung!

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