Stetigkeit des Skalarprodukts, Dualraum

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Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit des Skalarprodukts, Dualraum
Guten Tag,

ich habe hier zwei Übungsaufgaben mit denen ich überhaupt nichts anfangen kann. Bei der einen geht es ums Skalarprodukt und deren Stetigkeit und bei der anderen um einen Dualraum und erzeugte Normen.

1) Es sei ein euklidischer Vektorraum. Zeige:

a) Für konvergente Folgen und gilt:

b) Für konvergente Reihen gilt

2) Betrachte den normierten Vektorraum mit den Normen und und seinen Dualraum . Wie lauten die von und erzeugten Normen in ?


Ich bin wirklich für jeden Ratschlag dankbar, weil ich überhaupt keine Ahnung von diesen Aufgaben habe, mir fehlt auch jeglicher Ansatz. Vielen DAnk
Orakel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit des Skalarprodukts, Dualraum
zu a) sei und . dann gilt



da konvergente folgen beschränkt sind, folgt die behauptung. aus eigenschaft a) folgt dann b), da die partialsummen der reihe eine konvergente folge bilden!
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit des Skalarprodukts, Dualraum
Zitat:
Original von Fletcher
weil ich überhaupt keine Ahnung von diesen Aufgaben habe, mir fehlt auch jeglicher Ansatz.


Inwiefern hast du keine Ahnung? Kannst du mit den Begriffen nichts anfangen? Dann lies sie im Skript oder auf Wikipedia nach. Sonst: frag bitte genauer. Wo kommst du nicht weiter?
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Hast recht WebFritzi,

also bei der 1. Aufgabe ist mir klar, was ein Skalarprodukt ist und wie es definiert ist, weiß ich auch. Was bisher Orakel geschrieben hat, kann ich auch nachvollziehen, aber ich weiß zum Beispiel nicht, wie ich den limes einfach aus dem Skalarprodukt ziehen kann, denn die Aussage ist doch soweit logisch, es sind beides stetige Funktionen und da kann man doch den Limes hindurchwandern lassen. Außerdem habe ich Probleme mit der Notation und wie man dann das mathematisch korrekt hinschreibt.
Bei der 1 b) eigentlich das gleiche.

Bei der 2. Aufgabe muss ich zugeben, dass ich die Definition des Dualraums schon nicht verstanden habe. Was macht der überhaupt? Außerdem weiß ich nicht welche Bedingungen an die erzeugten Normen im Dualraum gestellt werden, wenn ich das wüßte könnte ich vielleicht bei dieser Aufgabe weitermachen.

Hoffe du kannst mir jetzt ein bisschen besser helfen. Danke
Orakel Auf diesen Beitrag antworten »

dass man den limes mit dem innenprodukt vertauschen kann, beweist ja gerade die identität, die ich in meinem ersten post angegeben habe!
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

@Orakel: So wie du es hingeschrieben hast, reicht es noch nicht. Man braucht noch eine letzte Zutat. Augenzwinkern
 
 
Orakel Auf diesen Beitrag antworten »

und das wäre?

die cauchy-schwarz ungleichung gilt in einem euklidischen raum. dann ist man fertig, ohne weitere zusätze.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Das werde ich dir bestimmt nicht verraten. Ohne diese Zutat sieht man nicht, dass die beiden Summanden gegen Null konvergieren. Ich glaube, du weißt genau, was ich meine, und hast das aus Trivialitätsgründen weggelassen. Aber Fletcher weiß evtl. nicht, dass er diese Zutat dort anwenden muss.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Orakel
die cauchy-schwarz ungleichung gilt in einem euklidischen raum. dann ist man fertig, ohne weitere zusätze.


Ja, die meinte ich.
Orakel Auf diesen Beitrag antworten »

die konvergenz der rechten seite ergibt sich ganz offensichtlich, wenn man weiß, was man unter einer konvergenten folge in einem euklidischen raum versteht und wenn man zu dem noch die CS-ungleichung kennt. alles andere ist analysis 1.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Das brauchst du mir nicht zu erklären, Orakel. Ich weiß das. Ich hatte aber bereits darauf hingewiesen, dass Fletcher CS entweder nicht kennen oder in diesem Fall nicht wissen könnte, dass sie hier eine Rolle spielt.
Orakel Auf diesen Beitrag antworten »

meine philosophie liegt darin, nicht gleich den gesamten lösungsweg zu verraten. auf einige dinge muss man eben von selbst kommen.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Dann solltest du aber (der besseren Didaktik wegen) fragen, warum die konvergieren, und nicht sagen, dass es so ist, denn viele glauben das einfach und haken ab. Natürlich kannst du sagen, dass solche Leute selber schuld sind und keien weitere Hilfe verdient haben. Aber das sehe ich anders.
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Um euer Gewissen zu beruhigen, da wäre ich wahrscheinlich nicht ganz von allein darauf gekommen, wobei ich die Cauchy-Schwarz Ungleichung in diesem Zusammenhang schon einmal gehört hatte. Um das jetzt mal zu Ende zu bringen:


Da jetzt beschränkt sind und gegen v konvergieren folgt die zu zeigende Behauptung oder?

Könnte jemand bitte noch etwas zu dieser Dualraum Aufgabe sagen?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fletcher
Da jetzt beschränkt sind und gegen v konvergieren


Dass v_n beschränk ist, ist hier völlig egal. Und seit wann konvergiert w_n gegen v?
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte natürlich

Würde das dann so passen?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber vielleicht schreibst du nochmal, gegen was deine zuletzt genannte Normensumme konvergiert, damit wir auch wissen, dass du es verstanden hast.
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Sie konvergiert gegen v+w oder nicht?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Kann eine Normsumme (also Zahlen) gegen v + w (einen Vektor) konvergieren?
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, kein Vektor, sondern
Sie konvergiert gegen
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Öhm, nein! Weißt du eigentlich, welche Normsumme ich meine? Und wenn nein, warum fragst du dann nicht???
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fletcher





So das war doch der Beitrag den du meinst, oder? Zunächst glaub ich das muss richtig so heißen:


Da jetzt und
muss also die ganze rechte Seite gegen Null gehen, da nun auf der rechten Seite der Ungleichung Null steht, muss das Sklarprodukt auf der linken gleich Null sein und damit ist die Stetigkeit gezeigt. Ich hoffe jetzt habe ich mal richtig argumentiert, ansonsten ist mir nicht mehr zu helfen, und dann habe ich auch nicht verstanden was du meinst!
Orakel Auf diesen Beitrag antworten »

es muss nicht sondern heißen.

konvergente folgen sind beschränkt, das brauchst du hier!
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Und zur Reihe sag ich folgendes:

aus der a) folgt die Stetigkeit des SKP, dh.



Hier habe ich jetzt einfach die Definition des SKPs angwendet und dann steht es ja eigentlich schon da. Richtig?
Orakel Auf diesen Beitrag antworten »

diese doppelsumme einzuführen (wozu auch immer) ist unnötig. argumentiere doch einfach über die konvergenz der partialsummen der reihe!
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fletcher
Zitat:
Original von Fletcher





So das war doch der Beitrag den du meinst, oder?


Ja.


Zitat:
Original von Fletcher
Zunächst glaub ich das muss richtig so heißen:



Nein! Keinesfalls. Schon das erste Gleichheitszeichen ist falsch. Denk doch bitte ein wenig länger über die Dinge nach, die du schreibst.


Zitat:
Original von Fletcher
da nun auf der rechten Seite der Ungleichung Null steht, muss das Sklarprodukt auf der linken gleich Null sein und damit ist die Stetigkeit gezeigt.


Du wirfst zu unachtsam mit den Begriffen um dich. Auf der rechten Seite "steht" nicht Null, sondern sie "geht gegen Null"! Das gilt dann natürlich auch für die linke Seite.
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, du hast ja Recht. Ich stehe gerade ziemlich neben mir, dies sind nicht gewiss die einzigen Aufgaben die ich nicht vestehe. Weiß manchmal selbst nicht woran ich scheitere... wenn ich es sehe ist es für mich klar und logisch aber selbst daraufzukommen ist nicht so meine Stärke.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fletcher
wenn ich es sehe ist es für mich klar und logisch aber selbst daraufzukommen ist nicht so meine Stärke.


Dann ist es für dich auch nicht klar und logisch. Sorry, wenn ich das so schreibe, aber das macht so keinen Sinn. Klar und logisch kann es für dich nur sein, wenn du eine Idee hast, warum. Aber die hast du hier scheinbar nicht gehabt.

Hast du es denn jetzt (und zwar wirklich!) verstanden? Warum konvergiert z.B.

||v_n - v|| * ||w_n||

gegen Null?
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Es konvergiert gegen Null, da v_n gegen v konvergiert, also geht das ganze in Norm gegen Null, da der Abstand zwischen den Folgengliedern v_n und dem Grenzwert v immer kleiner wird. damit konvergiert auch das Produkt ||v_n-v|| * ||w_n|| gegen Null! Richtig?
Orakel Auf diesen Beitrag antworten »

das stimmt, wenn du weißt, dass der term beschränkt ist!

ist das so?
paette Auf diesen Beitrag antworten »

ist beschränkt, da w_n eine konvergente Folge ist.
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Yep, hätte ich auch gesagt Augenzwinkern
Orakel Auf diesen Beitrag antworten »

das ist die richtige antwort, der kandidat erhält 100 punkte Augenzwinkern

damit sollte die 1. aufgabe erledigt sein smile
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von paette
ist beschränkt, da w_n eine konvergente Folge ist.


Kannst du diesen Zusammenhang auch beweisen?
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