Werte des Integrals

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vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
Werte des Integrals
Hi!

Folgendes Problem: Es ist die Frage, welche Werte das Integral



annehmen kann, wenn stetig rektifizierbare Kurven in angenommen werden können, die den Punkt 0 mit dem Punkt 1 verbinden???

Nun, mein erstes Verständnisproblem. Zielt die Frage hier wirklich darauf ab, konkrete Werte des Integrals auszurechnen, oder soll einfach eine beliebige Parametrisierung der Kurven gewählt werden. Ich könnte sonst doch einfach eine Strecke zwischen 0 und 1 wählen, dann einmal die Halbkreise durch 0 und 1 und so weiter. Prizipiell doch unendlich viele Möglichkeiten, oder???

Hat jemand einen Tipp für mich?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Werte des Integrals
Du sollst die Frage für alle stetig rektifizierbaren Kurven mit den geforderten Bedingungen beantworten. Das sind unendlich viele, ja. Die Werte des Integrals lassen sich dennoch jeweils angeben.

Grüße Abakus smile
 
 
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Werte des Integrals
Hi!

Nun gut, also gibt es unendlich viele Werte. Wahrscheinlich sollen wir wohl ein Intervall angeben, in dem alle Werte dieses Integrals für alle diese Kurven angenommen werden können, oder???

Idee: Der kürzeste Weg zwischen 0 und 1 ist doch die Strecke zwischen diesen beiden Punkten. Diesen Wert auszurechnen sollte ja kein Problem sein - ist dann also der unterste Wert?????

Den größten Wert erhält man über eine Parametrisierung einer Ellipse mit Mittelpunkt (0,5/0) und mit beliebiger Hauptachse, oder???

Dabei sei die Parametrisierung so gewählt, dass die Werte der Ellipse jeweils zwiscehn 0 und laufen?

Ist das ok??? Oder eine andere Idee?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Das Integral hat über jedem Weg von 0 nach 1, der in einer konvexen Menge liegt, die weder i noch -i enthält, den Wert Null!
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Woraus folgt das? Aus dem Cauchy-Integralsatz??? Ist da aber nicht die Voraussetzung, dass es sich um geschlossene Kurven handelt??? Meiner Ansicht nach, ist eine geschlossene Kurve doch eine Kurve, deren Anfangs und Endpunkt zusammenfällt verwirrt
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Hmpf, OK. Haste recht. Dann anders: Auf IR hat dein Integrand (nennen wir ihn f) die Stammfunktion g(x) = arctan(x). Sei jetzt C ein Weg in einem konvexen Gebiet G, das weder i noch -i enthält. Dann hat f eine Stammfunktion h auf G. Wir setzen noch ohne Einschränkung h(0) = 0. Auf [0,1] gilt: (h - arctan)'(x) = h'(x) - arctan'(x) = 0. Also ist h = arctan auf [0,1], und für das Integral ergibt sich der Wert h(1) - h(0) = arctan(1) - arctan(0) = 1/Wurzel(2).
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt unabhängig vom Weg soll das Integral immer diesen Wert haben??? Was ist denn mit ganz "wilden Kurven"??? Kann es nicht irgendwann passieren, dass das Integral einen anderen Wert annimmt. Ich dachte eigentlich der Wert eines Intgrals ist vom Weg unabhängig? Oder welche Voraussetzungen sind dafür zu erfüllen???
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Also ist h = arctan auf [0,1], und für das Integral ergibt sich der Wert h(1) - h(0) = arctan(1) - arctan(0) = 1/Wurzel(2).


Also bei mir ist arctan(1)= Pi/4 und arctan(0)=0.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Autsch, natürlich pi/4 und nicht 1/Wurzel(2). Das ist ja nur der Wert von sin und cos an dieser Stelle.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vektorraum
Das heißt unabhängig vom Weg soll das Integral immer diesen Wert haben???


Das habe ich nie geschrieben. Lies genauer.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, dann habe ich das falsch verstanden... Aber worauf bezog sich dann deine Antwort???
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Werte des Integrals
Hey, sorry muss nochmal nachfragen.
Mit dem kleinsten Wert, welchen das Integral annehmen kann, ist nun klar. Welcher Wert ist aber noch möglich, bzw. welche Werte??? Hab keine Ahnung wie man hier explizit Werte für jede etwaige Kurve herausbekommen kann?!?!?

Kann nochmal bitte jemand helfen? verwirrt
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Werte des Integrals
Die Stichworte sind Wegunabhängigkeit von Integralen und Residuensatz (mit Umlaufzahl usw.). Der Wert des Integrals hängt dann davon ab, wie oft die Nennernullstellen von der Kurve umlaufen werden.

Grüße Abakus smile
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn der Integrand in einer Umgebung der Kurve stetig ist, und eine Stammfunktion existiert, dann gilt doch immer der oben berechnete Wert? Egal wie oft man irgendwo rumkreiselt. Residuenkalkül darf jedenfalls nicht nötig sein, weil der wird erst später behandelt.

Edit: Spielen evt. die verschiedenen Zweige der Arcustangensfunktion eine Rolle? Theoretisch sind die ja alle Stammfunktionen. Dann könnte es von Pi/4 verschiedene Lösungen geben, wenn man für Anfangs- und Endpunkt verschiedene Zweige als Stammfunktion nimmt. Aber darf man das? Und wenn ja, warum?

Bin mittlerweile auch verwirrt -.-
Hab noch mal das Skript durchgesehen, aber so richtig wird da nirgends ein konvexes Gebiet wie oben bei fritzi gefordert, nur die Stetigkeit in einer Umgebung der Kurve. Und der Prof ist eigentlich schon sehr exakt, wenn er Konvexität bräuchte, hätte er sie glaub ich gefordert.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Werte des Integrals
Zitat:
Original von Abakus
Die Stichworte sind Wegunabhängigkeit von Integralen und Residuensatz (mit Umlaufzahl usw.). Der Wert des Integrals hängt dann davon ab, wie oft die Nennernullstellen von der Kurve umlaufen werden.

Grüße Abakus smile


@abakus: Wegunabhängigkeit von Integralen habe ich ja gemeint, als ich bei Webfritzi nachgefragt habe. Residuensatz und Umlaufzahl haben wir leider noch nicht gehabt - damit kann ich also nichts anfangen.

Aber kann es denn nun wirklich sein, dass der Wert des Integrals immer beträgt??? Warum wird dann nach Werten gefragt???
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Werte des Integrals
Zitat:
Original von vektorraum
Aber kann es denn nun wirklich sein, dass der Wert des Integrals immer beträgt??? Warum wird dann nach Werten gefragt???


Weil es eben auch von den beiden Umlaufzahlen abhängt. D.h. das Integral kann abhängig von der Kurve weitere Werte annehmen: teste es aus, indem du zB einmal um i herumläufst, was kommt raus dann ?

Grüße Abakus smile
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Werte des Integrals
Zitat:
Original von vektorraum
Aber kann es denn nun wirklich sein, dass der Wert des Integrals immer beträgt??? Warum wird dann nach Werten gefragt???


Wie kommst du denn auch dadrauf? verwirrt Das hat hier doch keiner behauptet.
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Doch ich. Und ich bin mir mittlerweile fast sicher, daß es stimmt.

Der Wert Pi/4 ist wirklich der einzige Wert, den das Integral annehmen kann.

Wer es nicht glaubt, kann gerne versuchen einen Weg anzugeben, bei dem es nicht stimmt.

Ich würde folgendermaßen argumentieren:

1. Weg: Wie schon oben beschrieben mit Stammfunktion, wobei ich mir da noch nicht sicher bin, ob das Argument ganz korrekt ist. Werd aber nochmal nachfragen. Imho wird aber in den Beweisen nirgends die Konvexität des Gebietes benötigt, wie webfritzi fordert.

2. Weg: Über Cauchyschen Integralsatz:

Wegen



gilt zunächst für jeden geschlossenen doppelpunktfreien rektifizierbaren Weg in der komplexen Ebene, der nicht durch i oder -i läuft, daß das Integral auf der linken Seite gleich 0 ist. Wende dazu auf die rechte Seite den Cauchyschen Integralsatz mit f(z)=const.=1 an. Dabei ist es völlig egal, ob der Weg einmal um i kreist oder um -i oder um beide oder gar nichts davon. Dasselbe gilt dann natürlich auch für Wege, die mehrmals um eine der Singularitäten kreisen oder sonstige wilde Sachen.

Nun kann ich jeden Weg von 0 zu 1 in einen rektifizierbaren doppelpunktfreien Weg C' von 0 zu 1 und eine Menge von geschlossenen doppelpunktfreien, rektifizierbaren Wegen zerlegen. Die Integrale über die letzteren sind alle 0. Den Weg C' kann ich geschickt schreiben, indem ich noch einmal die Strecke von 1 zu 0 und einmal die Strecke von 0 zu 1 hinzufüge, das ändert nichts am Integral. Dann ist C' zusammen mit der Strecke von 1 zu 0 wieder beschreibbar als Menge von geschlossenen doppelpunktfreien, rektifizierbaren Wegen, deren Integrale wieder 0 sind, und der Strecke von 0 zu 1. Das Integral über die Strecke läßt sich dann ausrechnen und ist Pi/4.



Warum trotzdem danach gefagt wird, welche Werte das Integral annehmen kann? Das ist einfach eine geschickte Formulierung, die verhindert, daß schon die Fragestellung die richtige Antwort impliziert Big Laugh
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tomtomtomtom
1. Weg: Wie schon oben beschrieben mit Stammfunktion, wobei ich mir da noch nicht sicher bin, ob das Argument ganz korrekt ist. Werd aber nochmal nachfragen. Imho wird aber in den Beweisen nirgends die Konvexität des Gebietes benötigt, wie webfritzi fordert.


Ich habe die Konvexität gefordert, weil ich mirselber nicht sicher war/bin. Mit der Konvexität stimmt's aber auf jeden Fall.


Zitat:
Original von Tomtomtomtom


gilt zunächst für jeden geschlossenen doppelpunktfreien rektifizierbaren Weg in der komplexen Ebene, der nicht durch i oder -i läuft, daß das Integral auf der linken Seite gleich 0 ist.


Das ist aber falsch. Wähle z.B. den Kreis mit Radius 1 um i. Das Integral müsste 2i * pi ergeben, also nicht Null! Der Grund ist meiner Meinung nach, dass es keine konvexe Menge gibt, in der der Kreis liegt, und in der 1/(z - i) eine Stammfunktion besitzt.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

OK, hier mein Lösungstipp:

Es sei n (bzw. m) die Anzahl der Umkreisungen des Weges von i (bzw. -i). Dann gilt

vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Werte des Integrals
Zitat:
Original von Abakus
Zitat:
Original von vektorraum
Aber kann es denn nun wirklich sein, dass der Wert des Integrals immer beträgt??? Warum wird dann nach Werten gefragt???


Weil es eben auch von den beiden Umlaufzahlen abhängt. D.h. das Integral kann abhängig von der Kurve weitere Werte annehmen: teste es aus, indem du zB einmal um i herumläufst, was kommt raus dann ?

Grüße Abakus smile


Sorry, das mit den Umlaufzahlen usw. haben wir noch nicht gehabt und das verstehe ich auch nicht. Ich denke wir haben einen beliebig stetig rektifizierbaren Weg von 0 nach 1. Warum sollte ich dann um i laufen???

Klar, i und -i sind die Nennernullstellen, aber welcher Zusammenhang besteht nun dann zum Wert des Integrals.

Noch eine Frage: Wenn der Wert des Integrals ist, kann ich dann einfach den Betrag draufschicken???
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Werte des Integrals
Zitat:
Original von vektorraum
Ich denke wir haben einen beliebig stetig rektifizierbaren Weg von 0 nach 1. Warum sollte ich dann um i laufen???


Warum nicht? Schonmal was on Umwegen gehört? Augenzwinkern Wenn du einen stetig rektifizierbaren Weg von 0 nach 1 hast, was spricht dann dagegen, dass der i einmal oder auch mehrmals umrundet?


Zitat:
Original von vektorraum
Klar, i und -i sind die Nennernullstellen, aber welcher Zusammenhang besteht nun dann zum Wert des Integrals.


Das habe ich bereits erläutert. Lies bitte auch meine Beiträge.


Zitat:
Original von vektorraum
Noch eine Frage: Wenn der Wert des Integrals ist, kann ich dann einfach den Betrag draufschicken???


Wozu? verwirrt
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
OK, hier mein Lösungstipp:

Es sei n (bzw. m) die Anzahl der Umkreisungen des Weges von i (bzw. -i). Dann gilt



Das ist natürlich falsch. Der Weg kann aufgeteilt werden in 3 Komponenten. Die erste ist ein Weg, der _nur_ i umrundet (n-mal in math. positiver Richtung). Die zweite umrundet _nur_ -i (m-mal in math. positiver Richtung), und die dritte Komponente ist ein Weg von 0 nach 1, welcher weder i noch -i umrundet. Man beachte, dass m und n auch negativ sein können. Wenn z.B. i 2-mal in negativer Richtung umrundet wird, ist halt n = -2. Die Integrale über die beiden ersten Komponenten lassen sich einfach berechnen. Es bleibt die letzte Komponente. Zu der kann man den direkten Weg von 1 bis 0 dazuzählen und wieder abziehen. Dies resultiert wieder in 2 Komponenten: ein geschlossener Weg D von Null bis Null und die Strecke [0,1]. Darüber haben wir das Integral ja bereits: pi/4. Nun ist die Frage, ob sich der Weg D im Holomorphigebiet von 1/(1 + z²) auf den Punkt Null stetig zusammenziehen lässt - sprich: ob D nullhomolog ist. Das dürfte er nicht sein, wenn vorher i und -i umrundet wurden.

Also, ich finde die Aufgabe nicht sehr leicht! Es wird am Ende wohl sowas wie rauskommen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ein beliebiger stückweise stetig differenzierbarer Weg ist, der mit verbindet, so kann man diesen zu einem geschlossenen Weg ergänzen, indem man noch die gerichtete Strecke von nach anhängt:



Dann gilt:



Das Integral links kann mit der schon angegebenen Partialbruchzerlegung ermittelt werden:



Hier bezeichnet die Windungszahl. Ob dieser Begriff nun bekannt ist oder nicht, spielt keine Rolle. Irgendwie muß aber in der Vorlesung das zugehörige Integral schon dran gewesen sein.

Ich stimme daher WebFritzi zu, was die möglichen Integralwerte betrifft.
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Und wo soll dann der Fehler in meiner Überlegung sein? Die Voraussetzungen für den Cauchyschen Integralsatz sind alle erfüllt, und f(z)=1 ist auch holomorph auf ganz C inklusive der kritischen Punkte i und -i.

Ihr habt schon recht, daß man normalerweise die Umlaufzahl beachten müßte, aber das Glück bei dieser Aufgabe ist imho halt, daß die Koeffizienten in der komplexen Partialbruchzerlegung gerade +1 und -1 sind, und sich damit nach Anwendung des Cauchyschen Integralsatzes das Integral über geschlossene Kurven raushebt.

Ich hab übrigens auch wie von Webfritzi vorgeschlagen das Kurvenintegral über einen Kreis vom Radius 1 um i ausgerechnet. Ganz ehrlich per Hand mit Parametrisierung und zurückführen auf reelle Integrale, und nicht mit dme Integralsatz. Wollt ihr wissen was rauskommt? Modulo Rechenfehler genau Null, genau dasselbe Ergebnis was auch der Integralsatz liefert. Nix mit 2Pi*I imho.

Also ich bleib bei meiner Aussage, daß nur Pi/4 und nix anderes rauskommt, egal bei welchem Weg. Die Auflösung gibts spätestens Donnerstag. Hammer
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm den Weg , der sich aus der gerichteten Strecke von bis , dem negativ orientierten oberen Halbkreis vom Radius um und der gerichteten Strecke von bis zusammensetzt. Dann gilt

Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tomtomtomtom
Ich hab übrigens auch wie von Webfritzi vorgeschlagen das Kurvenintegral über einen Kreis vom Radius 1 um i ausgerechnet. Ganz ehrlich per Hand mit Parametrisierung und zurückführen auf reelle Integrale, und nicht mit dme Integralsatz. Wollt ihr wissen was rauskommt? Modulo Rechenfehler genau Null, genau dasselbe Ergebnis was auch der Integralsatz liefert. Nix mit 2Pi*I imho.


Bitte zeige einmal deine Rechnung. Dann lässt sich dazu mehr sagen.

Grüße Abakus smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Abakus
Bitte zeige einmal deine Rechnung. Dann lässt sich dazu mehr sagen.


Daß sie falsch ist, wissen wir ja schon jetzt ... Big Laugh
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Jaja, Fehler gefunden. Warum das mit dem Integralsatz nicht geht, ist mir aber nach wie vorein Rätsel.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Schlußweise kann ich nicht nachvollziehen. Irgendwie scheinst du mir anzunehmen, daß



ist. Dem ist jedoch gerade nicht so. Aus deiner Formulierung geht auch nicht hervor, wie du darauf kommst, da die Abhängigkeiten der Argumente nicht klar werden. Die Integralsätze geben das jedenfalls nicht her.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich will das mal aufkären hier.

Zitat:
Original von Tomtomtomtom
2. Weg: Über Cauchyschen Integralsatz:

Wegen



gilt zunächst für jeden geschlossenen doppelpunktfreien rektifizierbaren Weg in der komplexen Ebene, der nicht durch i oder -i läuft, daß das Integral auf der linken Seite gleich 0 ist. Wende dazu auf die rechte Seite den Cauchyschen Integralsatz mit f(z)=const.=1 an.


OK, machen wir das mal so, wie du es wahrscheinlich gemeint hast. Damit wir einen geschlossenen Weg haben, nehmen wir mal Leopolds Weg C*:



Wir setzen mal f(z) := pi = const. Nehmen wir mal an, C* ist ein Weg, der nur i einkreist (einmalige Umrundung). Dann ist der erste Summand nach der Cauchyschen Integralformel gleich f(i) = pi. Der zeite Summand ist nach dem Cauchyschen Integralsatz gleich Null, da man ein Gebiet wählen kann, durch das der Weg verläuft und in dem der Integrand holomorph ist. Also kommt insgesamt (für den Weg C) pi + pi/4 raus.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

@Webfritzi, Tomtom... und Leopold: Danke für eure Bemühungen! Ist sehr lieb von euch. Vlt äußert sich Tomtom morgen nochmal dazu, was nun der Professor zur Aufgabe gesagt hat und wie er diese gelöst hätte. Da gibt es von seiner Seite aus bestimmt wieder einen Trick wie das ganz einfach ist Augenzwinkern

Also, herzlichen Dank Gott
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ok, ich nehme alles zurück. Hab den Satz falsch angewendet, der feste Punkt z_0 in der Cauchyschen Integralformel muß natürlich im Inneren der Kurve liegen. Das habe ich nicht bedacht.

Das Argument war aber trotzdem nicht so schlecht, jetzt kann man jede beliebige Kurve immer noch so in Teilkurven zerlegen, daß entweder i oder -i oder beides oder gar nichts umkreist wird, und auf die einzelnen Teile dann den Integralsatz anwenden. Das erspart einem das mühsame ausrechnen einzelner Kreise. Und um ohne Kenntnis des Residuenkalküls zu zeigen, daß es für den Wert des Integrals egal ist, auf welchem Weg ein Punkt einmal umkreist wird, muß man eh mit dem Integralsatz argumentieren.

Also richtige Idee, aber bei der Ausführung total versagt Big Laugh

Danke für eure Bemühungen, jetzt hab ich wenigstens ne wasserdichte Lösung. Wobei ich die Aufgaben eh nicht abgebe. Tanzen
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