--Dringend-- Integralrechnung - Wie bestimmt man eine Stammfunktion??

16.01.2005, 12:26

Jinx

--Dringend-- Integralrechnung - Wie bestimmt man eine Stammfunktion??

Hallo Leute!

Hilfe

Ich habe ein großes Problem:
schreibe morgen eine Matheklausur u.a. über die Integralrechnung... jedoch verstehe ich nicht, wie ich die Stammfunktion eines Integrals bestimmen soll... unglücklich

Es würde mich riesig freuen, wenn mir das jemand erklären könnte... Bitte!
Liebe Grüße und Danke im voraus,
Jinx

16.01.2005, 12:57

nullLF

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kannst du ableiten?

integrieren ist ableiten andersrum..

also wenn du die stammfunktion F(x) hast, dann ist die ableitung von F(x) gleich f(x)

du versuchst also nur eine funktion zu finden, die, wenn du sie ableitest das gleiche ergibt wie das, was du vorher schon da stehen hattest

16.01.2005, 13:01

Jinx

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ok, und wie gehe ich da vor?

16.01.2005, 13:01

iammrvip

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Um Stammfunktion welcher Art geht es denn??

Beispiele:

$\begin{eqnarray*} I_1 = \int 2x~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I_2 = \int \frac{3x^2}{x^3 - 5}~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I_3 = \int -\cos x\cdot \sin(\sin x)~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I_4 = \int \mathrm e^x\cos x~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

16.01.2005, 13:05

Jinx

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naja eigentlich alle...

aber als beispiel vielleicht mal die erste erklären? die scheint mir am einfachsten... am besten in kleinen schritten erklären vielleicht versteh ich's dann

16.01.2005, 13:15

Jinx

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z.B.

\int_{0}^{3}~(x^2-2x+4)~dx

wie gehe ich da jetzt vor?

16.01.2005, 13:20

Jinx

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sorry

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{3}~(x^2-2x+4)~dx \end{eqnarray*}$

16.01.2005, 13:22

iammrvip

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Du hast diese Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_0^3\left(x^2 - 2x + 4\right)~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

Um den Flächeninhalte zu bestimmen, musst du erstmal jeden Summanden einzeln integrieren:

$\begin{eqnarray*} x^2 \Rightarrow \frac{x^3}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2x \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4 \Rightarrow \end{eqnarray*}$

Was muss man hinter die anderen Pfeile schreiben??

16.01.2005, 13:26

Jinx

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-2x => -2*1/2x^2

4 => x

16.01.2005, 13:45

Jinx

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$\begin{eqnarray*} - 2x \Rightarrow - 2\cdot \frac{1}{2} x^{2}<br /> <br /> 4\Rightarrow x \end{eqnarray*}$

16.01.2005, 13:46

iammrvip

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richtig.

wie können noch vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} -2\cdot \frac{1}{2}x^2 = -x^2 \end{eqnarray*}$

das heißt also:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^3\left(x^2 - 2x + 4\right)~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

Nun musst du beacheten, dass du für das Integral Grenzen gegeben hast. Um dies zu zeigen macht man die eckigen Klammern und die "Stammfunktion" und schreibt an die rechte Klammer unten die untere Grenzen und rechts oben die obere Grenze.

$\begin{eqnarray*} = \left[\frac{x^3}{3} - x^2 + 4x\right]_0^3 \end{eqnarray*}$

Um die Fläche zu berechnen, musst du den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung benutzen, der besagt:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b f(x)~\mathrm dx = F(b) - F(a) \end{eqnarray*}$

Also berechnet man die Fläche, indem man die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ bildet und danach den Funktionwert $\begin{eqnarray*} F(a) \end{eqnarray*}$ (der unteren Grenzen) von dem der oberen Grenze $\begin{eqnarray*} F(b) \end{eqnarray*}$ subtrahiert.

16.01.2005, 13:53

Calvin

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Zitat:

Original von Jinx
4 => x

Das muß heißen 4 => 4x. Der Faktor 4 muß natürlich noch mit rein. Aber iammrvip hat das im nächsten Posting schon stillschweigend korrigiert Big Laugh

16.01.2005, 14:01

Jinx

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ah jetzt verstehe ich es so langsam
Vielen Dank für die Hilfe !!! smile

16.01.2005, 14:17

Jinx

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also wenn

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~f(x)~dx = F(b)-F(a) \end{eqnarray*}$

dann ist das hier

$\begin{eqnarray*} (3\cdot \frac{x^3}{3} - 3\cdot x^{2} +12x) - 0 \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} 1-9+12 = 4 \end{eqnarray*}$

richtig ?

16.01.2005, 14:24

iammrvip

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Zitat:

Original von Jinx
$\begin{eqnarray*} (3\cdot \frac{x^3}{3} - 3\cdot x^{2} +12x) - 0 \end{eqnarray*}$

-0 ist schon mal goldrichtig.

Aber du setzt 3 statt x ein.

$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + 4x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \left[\frac{x^3}{3} - x^2 + 4x\right]_0^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = F(3) - F(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \left(\frac{3^3}{3} - 3^2 + 4\cdot 3\right) - 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 9 - 9 + 12 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 12 \end{eqnarray*}$

16.01.2005, 14:35

Jinx

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und das selbe prinzip gilt dann auch für die anderen aufgaben - muss ich mir dann "nur" die Ableitungen merken?

also
$\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{2} x^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=1 \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} F(x)=x \end{eqnarray*}$
usw.?

nur was mach ich dann z.B. bei

$\begin{eqnarray*} \int_{-2}^{2}~(x^2-12)~dx \end{eqnarray*}$

ich mein wegen der unteren Grenze -2 ?

16.01.2005, 14:38

iammrvip

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wenn du z.b. mal sowas bekommst:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{10} \Rightarrow F(x) = \frac{x^{11}}{11} + C \end{eqnarray*}$

siehst du ein bisschen ein "System" dahinter??

Daraus resultiert nämlich folgende Integrationsregel:

$\begin{eqnarray*} \int x^n~\mathrm dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C \end{eqnarray*}$

16.01.2005, 14:41

Jinx

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ok... also das haben wir noch nicht gehabt

kann nur hoffen, dass das nich in der klausur vorkommt... ^^

das (die Formel) kann man doch eigentlich nur auswenidg lernen oder?

was ist denn dann eigentlich c ?

16.01.2005, 14:41

iammrvip

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Habt ihr kein Tafelwerk geschockt

oder eine Formelsammlung verwirrt

16.01.2005, 14:42

Jinx

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doch, hab ich

16.01.2005, 14:43

iammrvip

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Dort steht sowas drin. Du musst nur die Seite suchen.

PS: Du hast Mathematik und nicht Bio o. Ä. Augenzwinkern

16.01.2005, 14:46

Jinx

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dürfen doch das tafelwerk nich für die klausur benutzen...

was mach ich denn jetzt bei

$\begin{eqnarray*} \int_{-2}^{2}~(x^2-12)~dx \end{eqnarray*}$ (s.a. oben)

...wegen der unteren grenze... einfach -2 für x einsetzen...?

16.01.2005, 14:49

iammrvip

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japp. du rechnest einfach

$\begin{eqnarray*} F(-2) - F(2) \end{eqnarray*}$

immer obere Grenze in F - untere Grenze in F; wie vorhin geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_a^bf(x)~\mathrm dx = F(b) - F(a) \end{eqnarray*}$

ps: welchen bekoppten lehrer habt ihr denn?? der soll mal mit mir reden böse

16.01.2005, 14:55

Jinx

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ok, gut

und nochwas:
was ist bei

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~x^n~dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c \end{eqnarray*}$

das c?

tja, leider einen, der uns das nich erklärt, wir sollen alles selbst erarbeiten

16.01.2005, 16:10

iammrvip

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C ist die Integrationskonstante. Sie muss hinzugefügt werden, da konstante Summanden beim Ableiten wegfallen.

Beispiel:

Differentitation:
$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 - 10 \Rightarrow f'(x) = 2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 + 5 \Rightarrow f'(x) = 2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \Rightarrow f'(x) = 2x \end{eqnarray*}$

Integration
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2x \Rightarrow f(x) = \int 2x~\mathrm dx = x^2 + C \end{eqnarray*}$

Wie du sehen kannst, fallen die -10 und 5 beim Ableiten weg. Die Ableitungsfunktion ist bei allen drei Beispielen gleich.

Beim Integrieren muss man jedoch davon ausgehen, dass ein Summand hinter gestanden haben könnte, deshalb fügt man das C hinzu.

16.01.2005, 22:11

Jinx

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achso.
danke für die Erklärung

17.01.2005, 14:32

iammrvip

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bitte schön Augenzwinkern

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