Gerade und Punkte in einer Ebene

01.06.2007, 16:24

Perez111

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Gerade und Punkte in einer Ebene

Also Hallo erstmal Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich bin ne Mathe pfeife^^ Wir schreiben jetzt bald unsere letzte Klausur, und ich brauch eine etwas bessere note als sonst^^
Leider hab ich den zug verpasst vor längerer zeit, wir haben mehere Aufgaben bekommen, einige haben geklappt (weil wir in der schule das gleiche eigntlich nur mit anderen zahlen egmacht haben, brauchte also nur einsetzen)...die drei machen mir aber probleme!
Wäre super nett wenn ihr vielleicht helfen könntet, vorallem dem ansatz und was ich amchen muss, das rechnen werd ich jawohl ncoh hinkriegen^^
Gott

Gott

----------------------

Eine ebene kann vorgegeben werden durch zwei einander in einem Punkt schneidende Geraden. Zeige , dass die geraden g1 und g2 einander in einem Punkt schneiden. Gib eine Parameterdarstellung der durch g1 und g2 bestimmten Ebenen an.

$\begin{eqnarray*} g1: \times = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g2: \times = \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

----------------------

Eine Ebene kann durch 3 Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, festgelegt werden. Gib eine Parameterdarstellung an!

P(1|1|1)
Q(2|2|3)
R(10|4|6)

----------------------

Prüfe, ob der Punkt P in der Ebene $\begin{eqnarray*} \mathbb E \end{eqnarray*}$ mit der Parameterdarstellung:

$\begin{eqnarray*} \times = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

P(2|3|4)

--> Also hier muss man was mit Punktprobe machen, nur weiß ich nciht wie ich da anfangen soll...

[ModEdit: Titel geändert! Probleme gibt es viele! Bitte ein wenig mehr Phantasie beim Erstellen des Titels! mY+]

01.06.2007, 16:30

Dorika

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hey. beim letzten müsst du "nur" deinen ortsvektor zu den punkt p für vektor x in die ebengelchung einsetzen und dann das gleichungssystem lösen

die anderen aufgaben schaue ich mir noch an Augenzwinkern

Augenzwinkern

bei der 2. aufgabe ist bastelkunst gefragt.
<- ist doch nciht dumm,.... du brauchst einens stützvektor und 2 spannvektoren

ach und ja, hier gibt es so ein prinzip, das sie "hilfe zur selbsthilfe" nennt, d.h. du bekommst hier keinesfalls komplette lösungen, also wäre ein eigener ansatz schon ratsam Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.06.2007, 16:31

Rare676

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Zu 1:

Setze die beiden geraden gleich und berechne den schnittpunkt...
Für die parameterdarstellung nimmst du den Schnittpunkt als Stützvektor. Was kannst du dann als Richtungsvektoren nehmen??

Zu 2:

Bestimme die Parameterform mit hilfe der 3-Punkt-Form der Ebenengleichung.

Zu 3:

Setze den Punkt für $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ ein und schaue ob sich für das LGS eine wahre aussage ergibt.

01.06.2007, 17:00

Perez111

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Zitat:

Original von Dorika
hey. beim letzten müsst du "nur" deinen ortsvektor zu den punkt p für vektor x in die ebengelchung einsetzen und dann das gleichungssystem lösen

die anderen aufgaben schaue ich mir noch an Augenzwinkern

Augenzwinkern

bei der 2. aufgabe ist bastelkunst gefragt.
<- ist doch nciht dumm,.... du brauchst einens stützvektor und 2 spannvektoren

ach und ja, hier gibt es so ein prinzip, das sie "hilfe zur selbsthilfe" nennt, d.h. du bekommst hier keinesfalls komplette lösungen, also wäre ein eigener ansatz schon ratsam Augenzwinkern

Augenzwinkern

ja, aber wie bei Aufgabe eins verstehe ich den arbeitsauftrag garnicht richtig^^

01.06.2007, 17:07

Rare676

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Zitat:

Zeige , dass die geraden g1 und g2 einander in einem Punkt schneiden. Gib eine Parameterdarstellung der durch g1 und g2 bestimmten Ebenen an.

da steht er doch... der rest davor ist ne erläuterung

02.06.2007, 13:48

Perez111

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ich setze mich heute abend nochmal rann, und frag dann nochmal genauer nach!

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03.06.2007, 15:33

Perez111

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Also beim ersten muss ich gelichsetzen um den schnittpunkt zu berechenen...das ist mein lieblingsverfahren^^

dann muss ich den wert für lamda einsetzen oder?

03.06.2007, 15:45

Perez111

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ok, das hat sich erledigt....der schnittpunkt müsste wenn ich es richtig egmacht habe hier sein:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jetzt muss ich die Parameterdarstellung durch g1 und g2 bestimmten Ebenen angeben...

$\begin{eqnarray*} g1,2: \times = \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also den schnittpunkt, hab cih jez als ortsvektor, wie gesagt...und die richtungsvektoren hab ich bei behlaten...richtig? oder komplett falscher weg?^^

wär nett wenn mal einer kurz drüber schauen kann^^ Hammer

Hammer

03.06.2007, 17:17

Perez111

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na, vielleicht kann ja jemand bei der zweiten helfen traurig

traurig

Zitat:

Eine Ebene kann durch 3 Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, festgelegt werden. Gib eine Parameterdarstellung an!

P(1|1|1)
Q(2|2|3)
R(10|4|6)

Wie "rare676" sagte habe ich jez der mit der 3-Punkt-Form der Ebenengleichung versucht die paramterform darzustellen...

$\begin{eqnarray*} \times = \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -8 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Erklärung:
der erste richtungsvektor hab ich P-R gerechnet, den zweiten Q-R und als ortvektor hab ich einfach mal R genommen....hab ich das richtig gemacht? oder ist der weg zumindest der richtige?

03.06.2007, 20:24

Perez111

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Gott

jungens... Forum Kloppe

Forum Kloppe

03.06.2007, 20:28

Rare676

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ja, das hast du richtig gemacht.

03.06.2007, 20:29

Perez111

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Zitat:

Original von Perez111
ok, das hat sich erledigt....der schnittpunkt müsste wenn ich es richtig egmacht habe hier sein:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jetzt muss ich die Parameterdarstellung durch g1 und g2 bestimmten Ebenen angeben...

$\begin{eqnarray*} g1,2: \times = \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also den schnittpunkt, hab cih jez als ortsvektor, wie gesagt...und die richtungsvektoren hab ich bei behlaten...richtig?

und das? Aufgabe 1 ist das

03.06.2007, 20:52

Perez111

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Kann mir vielleicht der herr Mhytos helfen?^^ darf ich sie dutzen?^^

03.06.2007, 21:52

mYthos

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Ja, freilich.

Zunächst nütze bitte die EDIT-Funktion, statt 5 Beiträge hintereinander zu schreiben, du weisst sicher, dass dies nicht gerne gesehen wird.

Zu 1)

Um zu zeigen, dass sich die beiden Geraden g1 und g2 schneiden, schreibe deren Parametergleichungen zeilenweise an, setze die x, y- und z- Komponenten jeweils gleich und du erhältst somit ein lGS in den beiden Parametern als Variable! Du hast bei der Angabe übrigens einen Fehler gemacht, denn die Paramter bei den beiden Geraden müssen verschieden sein!

$\begin{eqnarray*} g1: \vec{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g2: \vec{X} = \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
_____________________________________________________

Bei der Lösung des lGS erkennt man, dass bereits zwei Gleichungen für eine eindeutige Lösung ausreichen müssten. In die dritte Gleichung kann man die beiden gefundenen Werte nun einsetzen. Je nachdem, ob sich nun eine Identität ergibt oder nicht, schneiden die Geraden einander oder sie kreuzen einander nur (d.h. sie sind windschief).

Bei zeilenweisem Anschreiben bzw. Gleichsetzen ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \lambda = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1 - 2 \lambda = -5 + \mu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3 - \lambda = 1 + 3 \mu \end{eqnarray*}$
_______________________________________________________

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Geht's jetzt?

mY+

03.06.2007, 22:46

Perez111

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Zitat:

Original von mYthos
Bei zeilenweisem Anschreiben bzw. Gleichsetzen ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \lambda = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1 - 2 \lambda = -5 + \mu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3 - \lambda = 1 + 3 \mu \end{eqnarray*}$
_______________________________________________________

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Geht's jetzt?

mY+

hab den schnittpunkt raus...: Lambda war 2 und Mü 0

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jetzt muss ich die Parameterdarstellung durch g1 und g2 bestimmten Ebenen angeben...

$\begin{eqnarray*} g1,2: \times = \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also den schnittpunkt, hab cih jez als ortsvektor, wie gesagt...und die richtungsvektoren hab ich bei behlaten...richtig??^^

04.06.2007, 01:35

mYthos

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Ja, so stimmt es. Wobei zu sagen ist, dass als Anfangspunkt nicht unbedingt der Schnittpunkt, sondern jeder beliebige Punkt auf einer der beiden Geraden möglich ist.

mY+

04.06.2007, 19:51

Perez111

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Zitat:

Original von mYthos
Ja, so stimmt es. Wobei zu sagen ist, dass als Anfangspunkt nicht unbedingt der Schnittpunkt, sondern jeder beliebige Punkt auf einer der beiden Geraden möglich ist.

mY+

Also hab heute die sachen abgegeben, mal sehen was raus kommt^^

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