Quotient von gleichverteilten ZV

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piloan Auf diesen Beitrag antworten »
Quotient von gleichverteilten ZV
Es sei gleichverteilt zu G mit
Zeigen Sie, dass der
Quotient standardnormalverteilt ist, und geben Sie ein Rechteck an, das G überdeckt.

Erstmal hab ich Versucht die Menge G so hinzuschreiben,dass ich die Intervallgrenzpunkte fuer G finde.



hab dan noch ein bisschen rumgespielt bin aber nicht weiter gekommen.

Sind ausserdem (U,V) 2 Zufallsvariablen die unabhaengig gleichverteilt sind oder ist das als Tupel anzusehen?..

Bitte um hilfe ...grüße
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schlage vor, du fängst erstmal mit dem überdeckenden Rechteck an - damit du erstmal eine Vorstellung von dem Gebiet hast! D.h., du suchst erstmal Schranken , so dass garantiert



gilt. ist einfach: Da ein Logarithmus auftaucht, kannst du als untere Schranke wählen.

ist auch nicht viel schwieriger: In der Bedingung steht rechts was nichtpositives, damit gilt stets , also und du kannst als rechte Grenze wählen.

Was nun die -Grenzen betrifft: Dazu bedarf es einer Extremwertsuche der Hilfsfunktion im Intervall .

Zitat:
Original von piloan
Sind ausserdem (U,V) 2 Zufallsvariablen die unabhaengig gleichverteilt sind oder ist das als Tupel anzusehen?..

Nein, sie sind nicht unabhängig - das wären sie nur, wenn ein achsenparalleles Rechteck wäre - was es nicht ist. Im Gegenteil: ist teilweise sogar krummlinig begrenzt.
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Arthur

Die Extremalstellen habe ich bestimmt.



es folgt

damit ist



und hier liegt eine Minimalstelle vor. Die zweite Grenze ist wieder 0 ?!...
Jetzt habe ich das Gebiet gefunden.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von piloan


und hier liegt eine Minimalstelle vor.

Soweit Ok. Aber was dann kommt, stimmt nicht. Du musst den hier berechneten Extremwert mit dem geeignet in Verbindung bringen, denk da nochmal nach...

piloan Auf diesen Beitrag antworten »

ahh...
meine bedinung war ja :

daraus folgt :


die Extremstelle lag nun bei

somit ist bzw


hoffe das ist nun korrekt smile
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Also eingesetzt ergibt sich

,

also .
 
 
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

sehr schoen ...kann die einfachste diff-rechnung schon nicht mehr Augenzwinkern

also liegt v zwischen ..
seh ich das nu richtig ?

also habe ich das gebiet gefunden ,dass G ueberdeckt.
Wie gehe ich nun weiter vor ? .. Grüße
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Frisch drauflos rechnen, die Verteilungsfunktion:



Tja, und jetzt kommt's drauf an festzustellen, für welche dieser Integrand von Null verschieden ist... Ist ein bisschen Rechnerei, und auch eine Aufteilung des -Integrals wird dazu kaum vermeidbar sein.


EDIT: Uuups, da war noch ein Schreibfehler am rechten Rand der zweiten Indikatorfunktion: Da steht natürlich statt , verdammtes Copy+Paste. Augenzwinkern
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

Hi
hab nochmal ein paar verstaendnisfragen.
Also die Kurven die du oben geplottet hast sind nun mein Gebiet G.
Jetzt kann ich dieses Gebiet mit einem Rechteck ueberdecken.
Dazu nehme ich die Extremstellen und bilde 2 konstante Funktionen durch die Extremstellen, die die anderen 2 Seiten des Rechtecks bilden.
(konnte es nicht plotten ...irgendwie hat das mit konstanten funktionen nicht geklappt)

dann hab ich weiter eine Frage hierzu


Klar ist mir das bis zur Integralbildung.Warum sind deine Grenzen von v denn +/-unendlich...
ich dachte v ist nun auch begrenzt durch unsere rechnung?!....wie komm ich auf die herleitung des integrals? Soll das heißen
und man integriert dann ueber

Irgendwie komm ich damit noch nicht ganz klar...
Grüße smile
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du kannst den v-Bereich auch gleich auf die Rechteckwerte einschränken, ich war nur zu faul dazu.

Wenn stetig verteilt sind, dann gilt



mit Dichte . Und die Dichte der stetigen Gleichverteilung auf ist nun mal



mit Fläche und Indikatorfunktion . Was anderes habe ich nicht gemacht, ich habe bloß schon die äußere Integration über in die Indikatorfunktion einbezogen.
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent




Tja, und jetzt kommt's drauf an festzustellen, für welche dieser Integrand von Null verschieden ist... Ist ein bisschen Rechnerei, und auch eine Aufteilung des -Integrals wird dazu kaum vermeidbar sein.


Ist der Integrand denn nicht genau fuerungleich 0 ?

mit dieser Ungleichung wird doch garantiert,dass v in dem Gebiet G liegt.Also genau zwischen beiden Funktionen unglücklich
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Statt noch mehr Formeln lieber noch ein Bild:



Zwischen roter und grüner Kurve liegt das Gebiet , wo die Wkt-Dichte konstant gleich ist. Um nun zu bestimmen, betrachten wir im Integral nur dasjenige Teilgebiet von , welches unterhalb der blauen Geraden (im Bild der Fall ) liegt.

Jetzt klar?
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

hoffe ich...
dann teile ich das gesuchte gebiet.

1.Schnittpunkt und bestimmen.

Dieser ist bei

Dann ist der Schnittpunkt bei



Der Flaecheninhalt des gedachten Dreiecks ist somit


Somit bleibt der Teil von

und der Flacheninhalt unter der x-Achse. verwirrt verwirrt verwirrt
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Der Schnittpunkt ist richtig. Das weitere Vorgehen hängt nun von ab. Ich betrachte lieber mal zuerst , da schneidet die blaue Gerade, den unteren (grünen Bogen) im Punkt , und es folgt mit Substitution dann

,

letzteres mit partieller Integration. Für muss aus Symmetriegründen der Fläche gerade der Wert herauskommen - das nutzen wir gleich mal zur Bestimmung von :

,

es folgt

.

Für kann man es sich mit geschicktem Einsatz der vorhandenen geometrischen Symmetrie einfacher machen
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent


,



danke erstmal fuer die tolle antwort ,bin noch am verstehen smile ...da ich es auch gerne verstehen moechte habe ich nochmal ein zwei dumme fragen. sry



du betrachtest ja erst t kleiner gleich 0. der schnittpunkt ist auch klar.
nun soll das doppelintegral ja den flaecheninhalt ueber der blauen gerade angeben.wenn ich mir nun aber die grenzen der beide integrale anschaue komm ich nicht auf die gleichheit.
ich dachte,dass erste innere integral berechnet doch mit der unteren grenze (gruene linie) und obere grenze (die gerade) den flaecheninhalt zwischen gruen und blau aus, oder?! moechte mir das gerne auch veranschaulichen koennen...
grüße
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von piloan
nun soll das doppelintegral ja den flaecheninhalt ueber der blauen gerade angeben.

Nein, unter der blauen Geraden, denn . Also zwischen grüner und blauer Kurve.

Damit sind die Irritationen wohl beseitigt. Augenzwinkern
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt...dumme Fragen Augenzwinkern ..habs verstanden..

Fuer hab ich mir folgendes gedacht.

Ich berechne die ganze Fläche also:



da kommt bei mir raus.

dann dachte ich mir zieh ich einfach die eben berechnete Flaeche davon ab...

ist das dann trotzdem standardnormalverteilt?.oder hab ich wieder mist gebaut ?smile
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte eher an sowas gedacht: Das Integral der Dichte über ganz ist gleich 1. Und wenn ich die obige Gerade an der x-Achse spiegele, kann man über Flächensymmetrien für sofort folgern

.

Und das war's dann eigentlich schon.
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

jo
also

folgt fuer



.




.

damit waer ich fertig... smile
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von piloan



.

So nun auch nicht - wenn schon dann



mit Substitution . Es soll ja schließlich die Normalverteilung rauskommen. Augenzwinkern
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

Ohhh...
danke fuer die geduldige Hilfe durch die Aufgabe ...endlich hab ichs ....smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht geht es eine "Idee" schneller, wenn man differenziert statt integriert, wenn man also zur Dichte übergeht. Die gesuchte Fläche setzt sich zusammen aus der halben Gesamtfläche, einer Dreiecksfläche (zwischen der blauen Geraden und der -Achse) und der Restfläche rechts der Dreiecksfläche. Vorzeichengerecht heißt das für die Verteilungsfunktion von :



Das kann man nun sofort differenzieren. Für das Integral verwendet man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (Kettenregel beachten):



Und das ist die Dichte der Normalverteilung.
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