Vom Kegel in der Kugel .. (Extremwertaufgabe)

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Gidi Auf diesen Beitrag antworten »
Vom Kegel in der Kugel .. (Extremwertaufgabe)
Vom Kegel in der Kugel .. (Extremwertaufgabe)

Einer Kugel mit Radius R wird ein Kegel einbeschrieben.
Für welchen Öffnungswinkel ist seine Oberfläche maximal?
Wie groß ist in dem Fall das Volumen des Kegels?


Brauche dringend schnelle Hilfe für diese Aufgabe!

Grüße Gidi
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vom Kegel in der Kugel .. (Extremwertaufgabe)
1. ist Drängelei hier unerwünscht.
2. bekommst du hier Hilfe, aber nicht schnell, sondern in einer humanen Geschwindigkeit.
3. solltest du mal deine eigenen Ansätze hier darlegen und sagen, wo es denn klemmt.
4. ist eine Skizze in jedem Fall hilfreich. Und weil ich ja nicht so bin, habe ich mal eine gemacht.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und noch ein Tip. Statt



zu maximieren ( sei die Mantellinie des Kegels), kannst du auch



maximieren. So vermeidest du Wurzeln.
Gidi Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, tut mir leid... ich war nur gerade am verzweiflen!
also die von ihnen beigefügte skizze ist eigentlich die gleiche wie mein:

http://www.julianthomas.de/bild.jpg

okay das mit der mantelfläche ist gut aber warum ist das so? ich denke das war die stelle an der ich nicht weiter gekommen bin!

da ich ja die ganze fläche des kegels berechnen will muss ich ja
A=pi*r(r+s) nehmen
dann kann ich s nach derskizze von mir umformen, das würde dann so aussehen:
s=((R+(R²-r²)^-0,5)²+r²)^-0,5

und das dann in A einfügen, dann hätte ich ja die Zielfunktion die ich ableiten müsste, was ich aber aufgrund der 2 wurzeln nicht kann und da müsste ich dann M=r²s² nehmen oder?

sorry für meine schreibweise ich weiß nicht wie man eine wurzel hier besser sichtbar macht

bedanke mich schonmal für jede hilfe!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann sich auch etwas anders behelfen: Wenn alpha der halbe Öffnungswinkel ist, dann gilt .
Da das Doppelte dieses Winkels nochmal am Mittelpunkt anzutreffen ist, gilt

Für die Mantelfläche gilt:

Alles einsetzen liefert eine Formel, die nur noch von alpha abhängt.

Im übrigen halte ich deine Herleitung von s für fragwürdig bzw. kann sie nicht nachvollziehen.
Gidi Auf diesen Beitrag antworten »

ich nehmen nun M=r²s²

A = G + M
A = Pi*r² + r²s²
A = r²(Pi+s²)
nun füge ich das durch die skizze bestimmte s ein:
A = r²(Pi+((R+(R²-r²)^-0,5)²+r²))

das wäre nun die zielfunktion die ich nun ableiten müsste, oder?

also das M auch M=r²s² ist wusste ich nicht, da es nicht in meiner formelsammlung drin steht möchte ich nun genauer wissen warum?
 
 
gidi Auf diesen Beitrag antworten »

okay m wäre geklärt!
haben es wohl gerade zeitgleich geschrieben^^
Gidi Auf diesen Beitrag antworten »

moment ich schreibe die herleitung von s auf
Gidi Auf diesen Beitrag antworten »

http://www.julianthomas.de/bild.jpg

Laut der Skizze gilt:

s²= h² +r²

h=R+x

Berechnung von x:

R²=x²+r²
x²=R²-r²
x=(R²-r²)^-0,5 in h=R+x eingefügt:

h=R+(R²-r²)^-0,5 in s² eingefügt:

s²=(R+(R²-r²)^-0,5)²+r²
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gidi
x=(R²-r²)^-0,5 in h=R+x eingefügt:

Also wenn, dann müßte es x=(R²-r²)^0,5 heißen, oder besser

Aber du machst es dir etwas zu kompliziert. Rechne so:


Jetzt zur Frage, warum man statt M auch betrachten kann. Einfache Überlegung: wenn M maximal wird, dann auch das Quadrat davon - also - und umgekehrt
Gidi Auf diesen Beitrag antworten »

bei M=r²s² wäre das:

A = G + M
A = Pi*r² + r²s²
A = r²(Pi+s²)
nun s einfügen
A = r²(Pi+((2R²+2Rx)+r²))

dann ableiten, richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gidi
A = Pi*r² + r²s²

Hmm. Ich denke, das müßte heißen. Da funktioniert der Trick mit dem Quadrat nicht.
Gidi Auf diesen Beitrag antworten »

zudem wollte ich auch die meisten variablen wie z.b. x raushaben weil sie durch die nur erschwert werden.
gut s mag vielleicht kompliziert aussehen aber dies wurde ja lediglich durch die zeichnung hergeleitet
Gidi Auf diesen Beitrag antworten »

nun wenn ich M=pi*r*s² verwende hab ich halt die übelste ableitung
Gidi Auf diesen Beitrag antworten »

okay ich nehme nun
M=Pi*rs
also A=Pi*r(r+s)

s²=(2R²+2Rx)+r² dann wurzel ziehen
s=((2R²+2Rx)^0,5)+r
stimmt in diesem fall das r?

dann in A einfügen:

A(r)=Pi*r(r+((2R²+2Rx)^0,5)+r)

und ableiten
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gidi
also A=Pi*r(r+s)

Die Version (also ohne Klammer) gefällt mir besser.

Zitat:
Original von Gidi
s²=(2R²+2Rx)+r² dann wurzel ziehen

Ich dachte, wir hatten ?

Zitat:
Original von Gidi
s=((2R²+2Rx)^0,5)+r

Wie hast du da Wurzel gezogen? verwirrt
Etwa nach der "Regel" ?

Nach allem hin und her haben wir jetzt:


Wie man leicht sieht, ist die Fläche nur noch von x abhängig. Davon mußt du mittels Ableitung das Maximum bestimmen.
Gidi Auf diesen Beitrag antworten »

Mögliche Lösung dieser Ableitung:

A'(x)=-2*Pi*x - 2*Pi*R * 1/2(2R)^0,5 *x

ist das richtig?
Gidi Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab solche ableitungen noch nie gemacht unglücklich
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Ableitungsfunktion stimmt nicht. Sofern ich das richtig lese, ist sie linear. Das kann aber niemals sein. Um ableiten zu können, brauchst du Produkt- und Kettenregel. Sofern ihr diese Regeln noch nicht hattet, kommst du hier nicht weiter. Vielleicht ist in der Aufgabe angegeben, bezüglich welcher Variablen als unabhängiger Größe du die Oberfläche ausdrücken sollst. Es hängt nämlich durchaus davon ab, wie kompliziert die Ausdrücke werden. Einfacher wird es zum Beispiel, wenn du als Variable einführst (das ist der Abstand des Kegelgrundkreismittelpunktes vom "Südpol" der Kugel).

Befreien wir uns zunächst von einigem Ballast!

1. Der konstante Faktor hat nur Einfluß auf den Wert des Maximums, nicht aber auf die Stelle, an der das Maximum angenommen wird: Weg damit!

2. Da am Schluß nach einem Winkel gefragt wird, dieser aber nicht von der Größe der Umkugel abhängen kann, kann man ohne Schaden normieren (Invarianz des Problems bezüglich Ähnlichkeit).

Dann sieht die Ersatzfunktion so aus:



Und da kann man folgendermaßen umformen:





Und wie oben schon gesagt, führt man nun



als Variable ein. Dann sieht das so aus:



Das kannst du vollständig ausmultiplizieren: wird ein Polynom vierten Grades in , d.h. es kommen die Potenzen vor. Für mußt du jetzt die Kurvendiskussion durchführen. Die Suche nach dem Maximum via führt dich auf eine Gleichung dritten Grades in . Glücklicherweise spaltet diese den Linearfaktor ab, so daß sich die Lösung explizit angeben läßt. Mit dem gefundenen kannst du dann berechnen und via Trigonometrie den gesuchten Öffnungswinkel. Beachte, daß der Öffnungswinkel des Kegels auch im rechtwinkligen Dreieck aus (siehe deine Zeichnung) vorkommt und daß wir hatten.

So kommst du zumindest einmal zu einer Lösung. Daß es der einfachste Weg ist, will ich nicht behaupten. Es hängt, wie gesagt, davon ab, welche unabhängige Variable man für die Zielfunktion verwendet.


P.S. Ich habe übrigens den Verdacht, daß mein anfänglicher Irrtum, es sollte die Mantelfläche statt der Oberfläche maximiert werden, einen Irrtum des Aufgabenstellers, der versehentlich "Oberfläche" statt "Mantelfläche" geschrieben haben könnte, richtig stellt. Man wird sehen ...
Gidi Auf diesen Beitrag antworten »

okay ich kann alles nachvollziehen ausser ab dem teil mit dem ausmultiplizieren... ich bekommen z.b. nicht t^0,5 oder t^1,5 raus...
wie lautet dein rechenweg?

wie würden man in dem fall dan das volumen ausrechenen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold

Das ausmultiplizieren ergibt:
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