Eigenwert und Eigenvektor?

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verstehichnicht Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwert und Eigenvektor?
Hallo, sitze schon den ganzen Tag bei einem Beispiel und komme einfach nicht weiter. Ich soll Eigenwert und Eigenvektor einer Matrix berechnen. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.



Jetzt habe ich mal versucht den Eigenwert zu berechnen:

Das sieht dann so bei mir aus:



Jetzt wende ich den Satz von Sarvus an und rechne mir das aus:



Das ergibt: ... und ich hebe ein Lambda heraus:



Somit wird das herausgehobene Lambda1 = 0!!

Jetzt wende ich die quadratische Formel für an.

Dann bekomme ich für Lambda2 = -4 und für Lambda3 = -1 heraus.

Könnte mir bitte jemand sagen, ob ich die Eigenwerte richtig berechnet habe!

Danke für eure Hilfe, LG Georg
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwert und Eigenvektor?
Char. Polynom



Null ist richtig. Die anderen nicht.

 
 
Gast8705 Auf diesen Beitrag antworten »

Löse nochmal die Gleichung



Für mich ergibt sich da




Zusammen mit der von dir schon richtig gelösten 0 sollten das dann die lösungen sein.
verstehichnicht Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwert und Eigenvektor?
Zitat:
Original von tigerbine
Char. Polynom




Wie kommst du auf das? Beim Satz von Sarvus hab ich doch +,+,+/-,-,- oder liege ich da falsch?? Hast du auch den Satz von Sarvus angewendet?

Hab's jetzt immer wieder durchgerechnet, aber ich komm nicht auf deinen Ansatz!

Bitte um Hilfe, lg Georg
Gast8705 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwert und Eigenvektor?
Zitat:
Das ergibt: ... und ich hebe ein Lambda heraus:



Somit wird das herausgehobene Lambda1 = 0!!

Jetzt wende ich die quadratische Formel für an.


Wenn du die quadratische Formel wie gesagt anwendest, dann ergibt sich:



beide seiten der gleichung mit -1 multiplizieren ergibt:




Die Lösung dieser Gleichung ergibt dann die Lösungen.
verstehichnicht Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwert und Eigenvektor?
Zitat:
Original von Gast8705



beide seiten der gleichung mit -1 multiplizieren ergibt:




Ja genau, das erste von den beiden krieg ich heraus. Aber wieso multiplizierst du das mit -1? Kann ich es nicht gleich so weiterrechnen?

LG
Gast8705 Auf diesen Beitrag antworten »

Das multiplizieren mit -1 bringt die Gleichung in die Normalform, was ein Lösen mittels p-q-Formel erlaubt.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwert und Eigenvektor?
@ Georg:

Sorge dich zunächst nicht um den Faktor (-1). Bei abc-Formel egal. Überarbeite lieber deine Lösung der Nullstellen der quadr. Funktion.
verstehichnicht Auf diesen Beitrag antworten »

Krieg jetzt für Lambda1 = 0,7.. und für Lambda2 = -5,7 heraus. Das müsst jetzt stimmen!

Könnt mir vl auch noch einer von euch beiden mit den Eigenvektoren helfen.

Das wäre ganz lieb. Hab das leider noch nie gemacht und bei unseren Übungen steht leider auch nicht viel, das mir weiterhilft.

Danke, Georg
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest was mit Wurzeln raus bekommen... Warum rundest Du? Und die Vorzeichen stimmen auch nicht.
verstehichnicht Auf diesen Beitrag antworten »



Hab das dann nur ausgerechnet und o.a. herausbekommen! Hab die beiden und das mit Lambda = 0.

Hab ich da irgendwie was falsch verstanden? verwirrt
Gast8705 Auf diesen Beitrag antworten »



auf normalform gebracht:



Anwendung der p-q-Formel ergibt:



auflösen ergibt:





Zusammen mit der von dir schon richtig gelösten 0 sollten das dann die lösungen sein.


edit: lesbarkeit verbessert
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »





Die Lösungsformel hat:



Also -b = 5
verstehichnicht Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, hat ein bisschen länger gedauert, aber jetzt is drinnen! Danke

Kennt ihr euch auch noch mit den Eigenvektoren aus. Ich soll jetzt anhand dieser Eigenwerte die Eigenvektoren ausrechnen.

Hab null Plan wie das gehen soll. Wär lieb, wenn ihr mir helfen könntet!

Georg
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist denn ein Eigenvektor definiert? Augenzwinkern
verstehichnicht Auf diesen Beitrag antworten »

Als erstes muss ich doch für Lambda meinen Wert in der Matrix einsetzen, daneben den Spaltenvektor und dies = Spaltenvektor mit drei x 0.

Geb's gleich mal mit dem Formeleditor ein!
verstehichnicht Auf diesen Beitrag antworten »

Lambda = 5,7



Stimmt das soweit bis jetzt?

Danke Georg
Gast8705 Auf diesen Beitrag antworten »

das ist so korrekt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »



Dann musst Du das LGS lösen.
verstehichnicht Auf diesen Beitrag antworten »

Mach ich das auch für Lambda = 0 und für Lambda = -0,7?

Und wie geh ich da jetzt vor? Werd das jetzt mal probieren weiterrechnen!

Georg
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Aber bedenke, dass die vekotren so falsch rauskommen (Rundung)
verstehichnicht Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Aber bedenke, dass die vekotren so falsch rauskommen (Rundung)


für Lambda setz ich jetzt meine Gleichung aus oben ein, aber was setz ich für v1,v2,v3 ein. Bin jetzt irgendwie durcheinander!

LG Georg
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst doch v berechnen, nichts einsetzen.





Nun eben das LGS mit Gaußalgorithmus lösen. Im Fall \lambda = 0 eher einfach, oder?
verstehichnicht Auf diesen Beitrag antworten »

Hab jezt überall gesucht, aber nirgends gefunden, wie ich die Gauss-Mehtode anwende.

Muss ich hier versuchen, alles Einsen in einer Schrägen zu haben (durch Multiplikation zweier Gleichungen) und mit denen dann weiterrechnen? unglücklich
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

naja, unter Gaußelimination oder so hättest Du hier in der Boardsuche z.B. massig was gefunden.

Ziel ist es eine obere Dreiecksmatrix zu erhalten. Die Diagonale muss nicht zwingend 1 sein. Im Falle 0 geht es auch anders




Aus II und II folgt:

Mit I folgt dann

Daher:



Der Eigenvektor ist ja nicht eindeutig.
verstehichnicht Auf diesen Beitrag antworten »

Werd hier mal nach der Gaußelemination suchen.

Dein Rechenweg ist, glaube ich, der "schnelle Weg". Für mich stehen grad nur Zahlen da.

Such jetzt nochmal hier danach und werde dann meine Lösung posten. Wird wahrscheinlich aber spät werden.

Vielleicht hättest du irgendwann mal Zeit, das ganze zu überprüfen! Werd's aber heute Nacht noch posten.

Trotzdem vielen vielen Dank!

LG Georg
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe den Fall ausgerechnet. Augenzwinkern
verstehichnicht Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Ich habe den Fall ausgerechnet. Augenzwinkern


Danke, werd jetzt gleich mal anfangen zu rechnen.

Das Schema ist vermutlich immer dasselbe. Egal ob Lambda = 0 oder 5!

Lg Georg
Gast8705 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine






Ich gehe mal davon aus, dass dir einfach nur eine Erklärung fehlt, wie du von obiger Gleichung (die den Fall Lambda = 0 beschreibt) zum Ergebnis kommst.

Multiplizierst du die Gleichung aus, ergibt sich



und somit folgendes Gleichungssystem:



Es ergibt sich dann (wie tigerbine schon erläutert hat) aus II und III
und durch einsetzen in I
verstehichnicht Auf diesen Beitrag antworten »

Hab das auch raus, dh v1 und v2 sind beliebig wählbar und v3 ist negativ von v2 abhängig.

Und wie schreib ich das ganze jetzt als Eigenvektor an?
LG Georg
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Überleg mal allgemein. Wenn v ein Eigenvektor ist, ist dann auch ein Lineares Vielfaches von ihm Eigenvektor?
Gast8705 Auf diesen Beitrag antworten »

ist nicht beliebig wählbar, denn wie berechnet ist .
Als Einheitsvektor sieht das ganze dann so wie von tigerbine beschrieben aus, nämlich:

verstehichnicht Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:




und somit folgendes Gleichungssystem:



Kann ich das eigentlich immer so - mit diesem Gleichungssystem ausrechnen. Weil hab gesehen, oft wird auch eine obere Dreickecksmatrix verwendet.

Brauch ich die, oder kann ich mein GS immer so wie Gast8705 anschreiben, auch wenn die Matrix komplett mit Zahlen ausgefüllt ist und keine Nullen vorkommen?

LG Georg
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das geht hier doch nur , weil Du einen Wert schon direkt ablesen kannst. Da brauchst Du dann keinen Gauß mehr machen. I.A. ist das aber nicht der Fall, deswegen Gauß.
verstehichnicht Auf diesen Beitrag antworten »



Ich bilde jetzt eine obere Dreiecksmatrix, sodass ein einzelner Zeilenwert übrig bleibt.

Zuerst III - 3II



Komm jetzt nicht weiter, hab die verschiedensten Varianten durchgerechnet, aber steh voll an!!

Bitte um Hilfe, Georg
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »



Da wir die Lambdas kennen, wissen wir: . Normieren.



Zeilen verrechnen:

verstehichnicht Auf diesen Beitrag antworten »

Danke fürs Posting, aber für heute ist genug! Hab schon gesehen, dass mit den Eigenvektoren wird mein größtes Problem. Alles andere (inverse,...) krieg ich hin, aber bei dem schalt ich komplett ab. Werd mir jetzt mal eine Pause gönnen und morgen weitermachen.

@Tigerbine: Danke für deine Hilfe!

LG Georg
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wegen der krummen anderen Eigenwerte, solltest du die Ausgangsmatrix nochmal kontrollieren, ob die so stimmt. Falls ja, solltest du den Aufgabensteller fragen, ob er die richtige Matrix angegeben hat.

Ich denke, das Thema paßt eher in die Hochschule. Deswegen

*** verschoben ***
verstehichnicht Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Okay, soweit hab ich's jetzt auch! Aber konnte jetzt nirgends mehr ein Null bilden! Bin jetzt so weiter gegangen:







Jetzt hab ich einfach versucht, aus der dritten Gleichung x3 auszurechnen:



Vielleicht wäre jemand so nett und würde sich das anschauen. Glaub schon langsam, i lass das einfach und lerns nicht!!

Danke, Georg
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Fasse die Brüche zusammen, dann bekommt du auch die letze Null. Das geht.
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