Punkt auf Kreis

06.06.2007, 22:06

Punkt auf Kreis

Hi

Wir haben einen Kreis um den Ursprung mit dem Radius r=5.
Außerdem haben wir noch einen Punkt P außerhalb des Kreis gegeben mit P(7/-1).
Durch P können zwei Tangenten angelegt werden, die beide den Kreis berühren. Wie lauten die Berührpunkten?

Ich weiß zwar nicht, wie man das ganze ausrechnen soll, aber ich habe mir folgende Überlegungen gemacht:
Vektor MB ist parallel zu PB (B Berührpunkt)
also gilt
$\begin{eqnarray*} \vec{MB}*\vec{PB}=0 \end{eqnarray*}$

Die Kreisgleichung lautet:
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2=0 \end{eqnarray*}$

Wie geht es nun weiter?

06.06.2007, 22:22

riwe

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RE: Punkt auf Kreis

Zitat:

Original von PG
Hi

Wir haben einen Kreis um den Ursprung mit dem Radius r=5.
Außerdem haben wir noch einen Punkt P außerhalb des Kreis gegeben mit P(7/-1).
Durch P können zwei Tangenten angelegt werden, die beide den Kreis berühren. Wie lauten die Berührpunkten?

Ich weiß zwar nicht, wie man das ganze ausrechnen soll, aber ich habe mir folgende Überlegungen gemacht:
Vektor MB ist parallel zu PB (B Berührpunkt)
also gilt
$\begin{eqnarray*} \vec{MB}*\vec{PB}=0 \end{eqnarray*}$

Die Kreisgleichung lautet:
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2=0 \end{eqnarray*}$

Wie geht es nun weiter?

oder eher
Die Kreisgleichung lautet:
$\begin{eqnarray*} K: x^2+y^2=25 \end{eqnarray*}$

ein weg, die berührungspunkte zu bestimmen geht über die polare:

$\begin{eqnarray*} p: 7x - y = 25 \end{eqnarray*}$

edit: das ist die beziehung, die du auch über das skalarprodukt bekommst.

schneide p mit K und du bist am ziel.

06.06.2007, 22:28

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Polare hatten wir nicht, aber wäre interesant, wenn ich das irgendwo lesen könnte.

Gibt es anderen Lösungswege?

06.06.2007, 22:41

riwe

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z.b. hier

aber mit deiner methode kommst auch genau dorthin

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} x-7 \\ y+1 \end{pmatrix} =0\to x²-7x+y²+y=0\to 7x-y=25 \end{eqnarray*}$

06.06.2007, 22:46

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Zitat:

Original von riwe
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} x-7 \\ y+1 \end{pmatrix} =0\to x²-7x+y²+y=0\to 7x-y=25 \end{eqnarray*}$

Wie bist du auf das ganz linke gekommen?

Erst einmal alles ausmultiplizieren.

Dann folgendes:
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2=7x-y \end{eqnarray*}$

Nun den linken Term durch 25 ersetzen, weil das bei der Kreisgleichung gilt.
Und dann den Polar in der Kreisgleichung einsetzen?

Ich erhalte: $\begin{eqnarray*} x_1=3 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_2=4 \end{eqnarray*}$
richtig? und oben richtig beschrieben?

06.06.2007, 23:02

riwe

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alles exakt Freude

06.06.2007, 23:05

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Danke für die Hilfe smile

07.06.2007, 15:49

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Ich bins nochmal:
Also einmal haben wir die Polare durch "meine" Methode, also Skalarprodukt errechnet.

ABer kannst du mir noch andere Methoden zeigen? Es würde mich sehr interessieren!

Lehrer

07.06.2007, 16:19

riwe

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z.b wie im bild
1) schneide K mit dem thaleskreis um T
oder
edit: das ist mist und reiner zufall
2) zu OP senkrechte gerade durch den mittelpunkt T

07.06.2007, 16:55

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cool!

Danke

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