Definition der Projektion

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MrMilk Auf diesen Beitrag antworten »
Definition der Projektion
Hallo,

ich habe grade in der Boardsuche und bei Wikipedia nach "Projektion" geschaut, allerdings hätte ich noch eine Frage zum Verständnis.

Projektionen bei Wiki, hier wird von den Eigenwerten 0 und 1 gesprochen.

Sei nun meine Projektion und ein Vektorraum.
Sei nun auf V Definiert ist. Somit muss gelten .

Wenn ich das ganze nun richtig verstanden habe ist für mich doch nur interssant wie eine beliebige Basis von V durch die Projektion abgebildet wird, oder? Hieraus kann ich dann folgern, wie groß das Bild in V ist, korrekt?

Am besten ein Bespiel dazu:
Sei eine Basis für mein V. Jetzt kann ich anhand der Eigenwerte die 0 sind, folgern wie groß der Kern ist. Mittels Dimensionssatz kann ich nun auch das Bild heraus bekommen. Beispielsweise zwei Eigenwert mit Null und einer mit eins, so hat mein Bild nur noch die Dimension von 1 und der Kern die Dimension von 2.

Liege ich da soweit richtig?

Viele Grüße
-- MrMIlk
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
MrMilk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo sqrt(2),

vielen Dank für die Antwort. Hierzu gibt es eine Standardaufgabe .

Wenn ich das richtig verstehe, wird als die Untersumme des Raumes gewertet.

Meine Überlegung ist nun beide Inklusionen zu zeigen.

""

Hierzu habe ich mir überlegt, ob dieses mit dem Dimensionssatz gezeigt werden kann. Es ist klar, dass die Mengen und disjunkt sind.
Als nächstes könnte man doch eine Menge für eine Basis von Bild erstellen und eine Menge für die Basis vom Kern. Und die Anzahl der Elemente ist von müsste die Anzahl der Elemente von einer Basis aus V.
Könntest ihr mir einen Tipp geben, wie so etwas formal korrekt erledigt werden kann?

Viele Grüße
-- MrMilk
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MrMilk
vielen Dank für die Antwort. Hierzu gibt es eine Standardaufgabe .

Wenn ich das richtig verstehe, wird als die Untersumme des Raumes gewertet.


Was ist denn eine "Untersumme eines Raumes"? Der Begriff "Untersumme" findet sich bei mir nur unter der Rubrik "Riemannintegral". Diese Summe hier ist eine gewöhnliche direkte Summe von Unterräumen. Schau in der Literatur nach, wenn du diesen Begriff noch nicht kennst.


Zitat:
Original von MrMilk
Es ist klar, dass die Mengen und disjunkt sind.


Nein, denn das ist falsch.

Vielleicht sagst du uns noch, was du eigentlich machen willst.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

ein Beispiel zum besseren Verständnis
MrMilk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

vielen Dank für die Beiträge.

@ WebFritzi:
Anstatt Untersumme meinte ich natürlich direkte Summe.
Aber bitte sag mir doch, wo dir unkar ist, was ich vorhaben. Ich habe geschrieben, wie die Aufgabe aussieht, danach die Richtung angegeben, welche ich beweisen möchte und zum Schluss habe ich noch ein paar Überlegungen geäußert.


Hier einmal meine Überlegungen zu:


Sei B eine Basis von V. Sei K die Teilmenge von V, welche auf abbildet wird und I die Teilmenge von V, welche auf abbildet wird. Es gut nun zu zeigen, dass gilt:

Sei , und . Aus der Definition von kann gefolgert werden, dass und linear unabhängig sind, da sonst nicht gelten würde. Somit ist die Menge linear unabhängig, ebensowie wie die Menge . Hinzu müssen die Beiden Megen linear unabhängig sein, da sonst . Somit ergibt die direkte Summe einen Unterraum, welcher die Dimension von hat, was aber genau der Dimension von V entspricht. somit gilt: .

Liege ich hiermit richtig?


Viele Grüße
-- MrMilk
 
 
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MrMilk
Ich habe geschrieben, wie die Aufgabe aussieht


Sehe ich nicht.


Zitat:
Original von MrMilk
Sei K die Teilmenge von V, welche auf abbildet und I die Teilmenge von V, welche auf abbildet. Es gut nun zu zeigen, dass gilt:



Sorry, aber das, was du schreibst, ist wieder einmal haarsträubender Unfug. Denk nochmal über jeden Satz nach.
MrMilk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo WebFritzi,

möchtest du mich ärgern?

Zitat:
...Hierzu gibt es eine Standardaufgabe .


Ich meine natürlich I = B\K

Siehst du des dann immmer noch al "haarstreubenden Unfug" an, wenn ja, könntest du es mir vielleicht begründen?

Viele Grüße
-- MrMilk
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du mir sagst, was B und K sind, dann kann ich das vielleicht tun. Ach ja, und wenn du die Aufgabe erst in deinen zweiten Beitrag schreibst, musst du dich nicht wundern, dass die Leute nicht wissen, was du machen willst/sollst.Wie ich dir schon einmal schrieb: du kümmerst dich eh einen Dreck (auf deutsch!) um das Verständnis der Leser. Aber egal, ist ja dein Pech.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MrMilk
Siehst du des dann immmer noch al "haarstreubenden Unfug" an


Ne, aber als haarsträubenden Unfug. Big Laugh
MrMilk Auf diesen Beitrag antworten »

Sei B die Basis von V. Sei K die Teilmenge von V, welche auf abbildet und I die Teilmenge von V, welche auf abbildet. Es gut nun zu zeigen, dass gilt:


Steht so in dem Post Augenzwinkern Genau unter


Viele Grüße
-- MrMilk
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dann haben wir ja die Begriffe geklärt. Danke.

Also, erstens gibt es nicht die Basis. Und zweitens: kannst du mir bitte verraten, was eine Menge ist, die abbildet? Sowas gibt es in der Mathematik nämlich nicht. Wenn überhaupt, dann werden Mengen abgebildet. Korrigiere deinen Beitrag bitte hinsichtlich dieser Dinge. Dann versteht man dich vielleicht auch.
MrMilk Auf diesen Beitrag antworten »

Done.
Ich hoffe ich habe nichts übersehen.


Viele Grüße
-- MrMilk
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe immernoch nicht, was deine Mengen K und V sein sollen. Erstens hast du wieder nicht gesagt, von welcher Abbildung die abgebildet werden sollen, und wenn diese Abbildung phi sein sollte: warum betrachtest du diese Mengen? Du willst doch "ker(phi) + bild(phi) teilmenge V" beweisen, oder?

Wenn "A teilmenge B" zu beweisen ist, dann macht man das üblicherweise so: "Sei a ein Element aus A. Dann folgt..." Mach das auch hier.

BTW: Bist du Legastheniker?
MrMilk Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich werde es neu veruchen wie du es meinst.

Bevor ich eine Abbildung genau untersuche, muss ich doch wissen von wo nach wo sie Abbildet.

Dazu habe ich mir einen V IR Vektorraum genommen. Hierauf habe ich die Abbildung definiert. Somit habe ich einen Abbildung .

Nach Definition ist der Kern einer Abbildung die Menge der Elemente, welche auf das Nullelement abgebildet werden. Die Elemente habe ich als die Menge K definiert.

Hilft dir das vielleicht weiter?

Viele Grüße
-- MrMilk

PS. Ja ich habe ich eine Rechtschreibschwäche. Um ganz ehrlich zu sein, solltest du dich langsam zügeln, das ist echt nicht mehr schön!
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MrMilk
Dazu habe ich mir einen V IR Vektorraum genommen. Hierauf habe ich die Abbildung definiert. Somit habe ich einen Abbildung .


OK, genau.


Zitat:
Original von MrMilk
Nach Definition ist der Kern einer Abbildung die Menge der Elemente, welche auf das Nullelement abgebildet werden. Die Elemente habe ich als die Menge K definiert.


Das stimmt nicht. Du hast K als die Menge definiert, die auf den Kern abbildet. Jetzt schreibst du aber, dass K die Menge sein soll, die auf Null abbildet (also der Kern). Das ist ein Unterschied. Siehst du ihn?
Übrigens ist die Aussage "kern(phi) + bild(phi) teilmenge V" trivial, denn kern(phi) und bild(phi) sind Unterräume von V. Damit ist auch deren Summe ein Unterraum von V.


Zitat:
Original von MrMilk
PS. Ja ich habe ich eine Rechtschreibschwäche. Um ganz ehrlich zu sein, solltest du dich langsam zügeln, das ist echt nicht mehr schön!


Ich werde einen Teufel tun und mich zügeln. Weißt du, bisher war mir nicht klar, ob du mich hier verarschen willst, ob es dir einfach nur egal ist, ob die Leute deine Beiträge verstehen oder ob du halt Legastheniker bist. Jetzt weiß ich es. Und das ist gut so, denn sonst hätte ich dich bestimmt noch weitere male angekackt, du sollst mal deine Beiträge ordentlich schreiben. So werde ich das nicht mehr tun. Deine Beiträge sind teilweise wirklich sehr schwer bis gar nicht zu verstehen. Mit meinem jetzigen Wissen werde ich mich bei deinen nächsten Einträgen mehr anstrengen, sie zu verstehen.
MrMilk Auf diesen Beitrag antworten »

Jep, das mit dem Kern verstehe ich.

Wie zeige ich nun am besten, dass die Mengen gleich sind?
Wähle ich hierzu jeweils ein Element aus V bzw. aus ?

Oder kann ich mit Hilfe des Rangsatzes folgendes zeigen: ?

Es gilt doch nach dem Rangsatz:



Viele Grüße
-- MrMIlk
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MrMilk
Oder kann ich mit Hilfe des Rangsatzes folgendes zeigen: ?


Wie ich bereits schrieb, ist das trivial. Dazu braucht man keinen Rangsatz. Aber die umgekehrte Inklusion kann man durchaus mit dem Rangsatz beweisen. Dazu braucht man dann nur noch zu zeigen, dass die Summe direkt ist. Mach das mal.
MrMilk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo WebFritzi,

wie zeigt man, dass eine Summe direkt ist? Bei Wikipedia habe ich nur von einer inneren und äußeren Summe gelesen, was mich ein wenig verwirrt hat.

Meine Idee wäre nun einfach einmal das zu nuten, was ich von dirkten Summen weiß.

So zum Beispiel, dass und linear unabhängige Mengen sind. Weiter weiß ich noch, dass der Schnitt der beiden Mengen die Menger {0} ist.

Zum Schluss würde ich noch ein Element aus v nehmen und mir überlegen wieso es in enhalten sein muss.

Aber wo kann hier mir der Rangsatz helfen?

Viele Grüße
-- MrMIlk
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MrMilk
wie zeigt man, dass eine Summe direkt ist?


Du nimmst dir ein Element aus dem Schnitt und zeigst, dass es 0 ist.
MrMilk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo WebFritzi,

hier habe ich nun mal einen ganz anderen Ansatz.

Es gilt zu zeigen, dass jedes Element darstellbar ist , wobei und . Hinzu muss noch gezeigt werden, dass die Schreibweise eindeutig ist.

Zur Darstellungsweise von :

Sei . Somit kann kann wiefolgt dargestellt werden: .
Es gilt weiter:
Somit kann jedes Element dargestellt werden.

Einduetigkeit von :
Angenommen v kann auf zwei verschieden weisen dargestellt werden, somit muss gelten



Durch gleichsetzen folgt:

Nun umformen . Also muss gelten, dass , da sonst , somit wäre auch die Eindeutigkeit gezeigt.

Würde dieses so klappten?
Ich muss zugeben, bei der einduteitkeit bin ich mir noc nicht ganz sicher..


Viele Grüße
-- MrMilk
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MrMilk
Einduetigkeit von :
Angenommen v kann auf zwei verschieden weisen dargestellt werden, somit muss gelten




Alles bisher war OK (bis auf vielleicht die Ausdrucksweise - aber darüber wollen wir mal hinwegsehen), dies hier aber ist nicht OK. Die erste Gleichung schon. Die gilt ja eh. Die zweite aber nicht. Du musst annehmen, dass v = u + w mit u aus dem Bild von pi und w aus dem Kern von pi, und dann zeigen, dass u = pi(v) und w = v - pi(v).
MrMilk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo WebFritzi,

also nochmals neu die Eindeutigkeit.

Annahme, es gibt zwei Darstellungsweisen für .
Somit müsste gelten:



wobei , und.

Durch gleichsetzen folgt:


Es gilt , also muss gelten:

Analog für Elemente aus dem Kern: , also


Viele Grüße
-- MrMilk
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MrMilk
Es gilt , also muss gelten:


Das erste ist falsch. Und auch, wenn es richtig wäre, wäre deine Folgerung daraus falsch. Wie kommst du nur immer auf einen solchen Schmarrn...
MrMilk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Webfritzi,

meine Überlegung war auszunutzen, dass gilt .

Ab wo meinst du ist es falsch? Werde dann dort nochmals neu ansetzen.

Viele Grüße
-- MrMilk
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe den ersten Fehler zitiert.
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