Abstand Punkt Gerade

11.06.2007, 21:15

Dorika

Abstand Punkt Gerade

Hey, hab mal wieder ein problem bei einer Teilaufgabe:

Ich suche vie Lotfußpunktverfahren den Abstand d von dem Punkt $\begin{eqnarray*} C(17/-2/5) \end{eqnarray*}$ zu der Geraden $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$
Bekannt ist außerdem, dass zu dieser geraden der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{v}= \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ orthogonal steht.

also kann ich doch sagen, dass

$\begin{eqnarray*} h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 17 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}+n\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann habe ich den unestimmten Punkt

$\begin{eqnarray*} K(17/-2+8n/5) \end{eqnarray*}$

wie gehts dann weiter?

11.06.2007, 21:57

riwe

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RE: Abstand Punkt Gerade
so wie es da steht, gar nicht unglücklich

was weißt du denn über A und/oder B verwirrt

11.06.2007, 22:09

Dorika

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$\begin{eqnarray*} A(1/-2/-7) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B(-8/-2/5) \end{eqnarray*}$

daraus kann ich dann ja eine geradengleichung basteln:

$\begin{eqnarray*} AB:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -7 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -9 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und zu der soll meine neue gerade ja orthogonla sein, also kann ich $\begin{eqnarray*} \vec{n}=\begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

doch bedenkenkos als richtungsvektor für die neue gerade wählen, denn, wenn ich ihn mit dem richtunsvektor von AB skalar multipliziere bekomme ich =0.

und dann könnte ich doch $\begin{eqnarray*} \vec{OC} \end{eqnarray*}$ als STützvektor der neuen geraden nehmen oder etwa nicht?

11.06.2007, 22:22

riwe

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ist aber nett, dass du mit den punkten herausrückst.
aber beim lotfußpunkt.... mußt du eine zu g senkrechte EBENE keine gerade verwenden,
und der einzig richtige normalenvektor dieser ebene ist der richtungsvektor der geraden,
nicht irgendein anderer vektor der unendlich vielen, die auf den richtungsvektor von g senkrecht stehen

11.06.2007, 22:32

tMh

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Genau wie mein Vorredner schon angedeutet hat, ein senkrechter Vektor muss nicht unbedingt zum Punkt K zeigen.
Die Lösung sollte sein, eine Hilfsebene aufzustellen, die senkrecht zur gerade ist und den Punkt K enthält. Die Ebene wird in Normalenform aufgestellt und enthält den Richtungsvektor der Gerade als Normalenvektor.
Dann schneiden Sie die Gerade mit der Ebene, indem Sie die Gerade in die Ebene einsetzen und raus kommt der Lotfußpunkt.

Schönen abend noch und viel Erfolg.

MfG
Florian

11.06.2007, 22:35

Dorika

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Hast du das jetzt editiert oder habe ich augenkrebs, du tigerentenerpel Big Laugh

?

also ok, dann fein säuberlich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} -9 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} -9a_1+12a_3 \end{eqnarray*}$

dann wähle ich $\begin{eqnarray*} n_1=4 \end{eqnarray*}$ und somit ist $\begin{eqnarray*} n_3=3 \end{eqnarray*}$ , womit

$\begin{eqnarray*} \vec{n}=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist und ich das dumme lotfußpunktverfahren über bord werfe!

-> $\begin{eqnarray*} d=\frac{1}{5} \mid \begin{pmatrix} 18 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \mid \end{eqnarray*}$

endergebnis kommst sofort!

=21,6 LE

11.06.2007, 22:41

riwe

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Zitat:

Original von Dorika
Hast du das jetzt editiert oder habe ich augenkrebs, du tigerentenerpel Big Laugh

undicht

11.06.2007, 22:43

Dorika

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ich verstehe nur bahnhof, jedenfalls danke für die idee mit der hilfsebene Augenzwinkern

aber ich hoffe das funktioniert so auch und so krumm ist das ergebnis nun auch wieder nicht...

bitte keine beleidigungen Big Laugh

11.06.2007, 22:53

tMh

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ich sag mal so, ohne hilfebene wirds ziemlich schwer
$\begin{eqnarray*} H:\vec{u}\cdot [\vec{x}-\vec{k}]=0 \end{eqnarray*}$
das ist die Hilfsebene, u ist der Richtungsvektor der Gerade, k ist der Ortsvektor des Punktes K.
Nun schneiden, indem Sie die Koordinatenform der Ebene herstellen und die Gerade einsetzen. Das Ergebnis ist der Lotfußpunkt.

11.06.2007, 22:56

Dorika

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ergebnis poste ich dann morgen, ok?

ist mein lösungsweg denn möglich/richtig?

11.06.2007, 22:59

tMh

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Also auf die Schnelle bekomm ich als Lotfußpunkt L(-3;-2;-5/3) raus, habe aber nicht mehr Zeit, weil ich morgen selbst Mathe (Fach-)Abi schreib.
Wenn also ein Fehler drin ist, bitte ich zu entschuldigen.

11.06.2007, 23:20

tMh

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oh, sorry, der Beitrag davor kann gelöscht werden :-)
hab auch gemerkt, dass der Punkt C und nicht K eingebunden werden soll. Also den Punkt K vergessen und in meinen bisherigen Beiträgen C verwenden.
Deshalb kam ich in der Eile selbst ins Strudeln und als Entschuldigung die ausführliche Lösung:

(Richtungsvektor wurde mit dem Faktor 3 gekürzt)
$\begin{eqnarray*} g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -7 \end{pmatrix}+\alpha \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H:\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot [\vec{x}-\begin{pmatrix} 17 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}]=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H:-3x1+4x3+31=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g-in-H: -3(1-3\alpha)+4(-7+4\alpha)+31=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 25\alpha=0 \Rightarrow \alpha=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha-in-g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist der Lotfußpunkt. Nochmal zur Probe:
(Differenzvektor aus C und L)*(Richtungsvektor der Gerade)=0 sieht gut aus...

gute Nacht

11.06.2007, 23:38

Dunkit

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darf ich hier mal kurz meinen kleinen aufsatz zum Thema "Lotfußpunktverfahren" anbringen? Big Laugh

vllt hilft der. Ist ohne Hilfsebene o.Ä. einfach Punkt-Gerade Abstandsbestimmung.

*grml* wieso kann man hier kein pdf hochladen? dann eben als png

freue mich über Kommentare dazu Augenzwinkern

11.06.2007, 23:51

riwe

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oder so
$\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ -7 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} -9 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 17 \\ -7 \\ 5 \end{pmatrix} )\begin{pmatrix} -9 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$
und kürzen ist erlaubt unglücklich

22.11.2007, 16:45

Mathefux

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Gleichung und Abstand bestimmen
Hallo hab eine hasuaufgabe mit der ich überhaupt nicht zurecht komme.
Diese Lautet:

Man bestimme die beschreibende Gleichung der Geraden g durch den Punkt (1;1) mit Richtungsvektor K = (-2;1) hoch T in der Form
n1 * x1 + n2 * x2 = c mit c größer gleich null (Hesse-Normalform einer Geraden)
Wie lautet der Abstand von g zum Nullpunkt?

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