Faktorräume (2)

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12.06.2007, 22:13	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
Faktorräume (2) Hallo, ich habe nochmals eine Frage zu Faktorräumen, aber dieses mal sind die Umstände anders. Deswegen hier einmal die Aufgabe: Seinen A, B $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ Vektorräume. Weiter sei $\begin{eqnarray} \varphi: A\to B \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung. Hinzu sei A' ein Unterraum von A. Es gelte: $\begin{eqnarray} A' \subseteq Kern(\varphi) \end{eqnarray}$ Hinzu sein noch die Abbildung gegeben durch $\begin{eqnarray} \bar{\varphi}: A/A' \to B,\, \bar{\varphi}(m+A'):=\varphi (m) \end{eqnarray}$ Nun soll ich zeigen: $\begin{eqnarray} Kern(\bar{\varphi})=Kern(\varphi)/A' \end{eqnarray}$ Hier meine Idee: " $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ ": Sei $\begin{eqnarray} k\in Kern\left(\bar{\varphi}\right) \end{eqnarray}$ . Sei die Form von $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ wie folgt: $\begin{eqnarray} k:=m+A' \end{eqnarray}$ . Somit gilt: $\begin{eqnarray} \bar{\varphi}(k)&=&0\\\Leftrightarrow\bar{\varphi}\left(m+A'\right)&=&0\\\Leftrightarrow\varphi(m)&=&0=0+A'\in Kern(\varphi)/M' \end{eqnarray}$ " $\begin{eqnarray} \supseteq \end{eqnarray}$ ": Sei nun $\begin{eqnarray} l\in Kern(\varphi)/A' \end{eqnarray}$ . Somit muss gelten $\begin{eqnarray} \varphi(l)=0 \end{eqnarray}$ . Weiter gilt $\begin{eqnarray} \varphi(l)=0=0+A'\in Kern\left(\bar{\varphi}\right) \end{eqnarray}$ Könnte ihr mir sagen, ob diese so reicht? Viele Grüße -- MrMilk
12.06.2007, 22:32	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist alles falsch.
12.06.2007, 22:38	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo WebFritzi, ist dieses den noch okay, oder auch schon der Ansatz falsch? " $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ ": Sei $\begin{eqnarray} k\in Kern\left(\bar{\varphi}\right) \end{eqnarray}$ . Sei die Form von $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ wie folgt: $\begin{eqnarray} k:=m+A' \end{eqnarray}$ . Somit gilt: $\begin{eqnarray} \bar{\varphi}(k)&=&0\\\Leftrightarrow\bar{\varphi}\left(m+A'\right)&=&0\\\Leftrightarrow\varphi(m)&=&0 \end{eqnarray}$ Viele Grüße -- MrMilk
12.06.2007, 23:31	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist OK. Also liegt m jetzt in welcher Menge?
12.06.2007, 23:51	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
A. Richtig? Somit liegt es doch auch in der Menge $\begin{eqnarray} Kern(\varphi) \end{eqnarray}$ , wenn ich mich nicht täusche Aber wie komme ich dann in die Menge $\begin{eqnarray} Kern(\varphi)/M' \end{eqnarray}$ ? Viele Grüße -- MrMilk
13.06.2007, 00:05	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist nicht M', sondern A'. Überleg dir, dass nicht m in ker(phi)/A' liegen soll, sondern k.
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13.06.2007, 08:47	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo WebFritzi, ich habe einmal probiert dieses nachzuvollziehen. m liegt in A', deswegen: $\begin{eqnarray} A' \subseteq Kern(\varphi) \end{eqnarray}$ , korrekt? Jetzt hast du schon geschreiben, ich soll zeigen, dass auch gilt: $\begin{eqnarray} k\in Kern(\varphi)/M' \end{eqnarray}$ . Ich würde nun sagen, dass $\begin{eqnarray} k\in Kern(\varphi )/A' \end{eqnarray}$ , da gilt: $\begin{eqnarray} \bar{\varphi}(k)=0 \end{eqnarray}$ . Allerdings muss ich zugeben, das ich noch nicht wirklich von mir selbst überzeugt bin.... Viele Grüße -- MrMilk
13.06.2007, 13:09	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
So habe, es nochmals neu angedacht. Somit habe ich nun folgedes: $\begin{eqnarray} k\in Kern(\bar{\varphi}) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k:=m+A' \end{eqnarray}$ . So gilt: $\begin{eqnarray} \bar{\varphi}(k)=0\\&\Leftrightarrow&\bar{\varphi}(m+A')=0\\&\Leftrightarrow&\varphi(m)=0\\&\Leftrightarrow&m\in Kern(\varphi)\subseteq A\\&\Leftrightarrow&m+A'\in Kern(\varphi)/A' \end{eqnarray}$ Auf Grund der Äquivalenz sollten somit auch beide Richtungen gezeigt sein. Liege ich damit richtig? Viele Grüße -- MrMilk
13.06.2007, 18:05	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, sehr schön. Endlich mal! Auch das M' (was es ja gar nicht gibt) kommt nicht mehr vor. Ist alles vollkommen richtig.
13.06.2007, 19:22	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe noch zwei kleine Erweiterungen, darf ich die hier Posten oder besser einen neuen Post eröffenen? Viele Grüße -- MrMilk @WebFritzi: Vielen Dank für die freundliche Antwort
13.06.2007, 22:12	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, es kam kein Widerspruch, deswegen schreibe ich es einfach einmal. Ansonsten bitte kurz melden, denn eröffne ich ein neues Thema Es gelte noch wie vorher: $\begin{eqnarray} \varphi : A\to B \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A' \end{eqnarray}$ ist ein Unterraum von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ , hinzu kommt noch die Funktion $\begin{eqnarray} \pi:A\to A/A',\,\pi(m)=m+A' \end{eqnarray}$ und die lineare Abbildung: $\begin{eqnarray} \psi: A/A' \to B \end{eqnarray}$ . Nun sollen zwei Sachen gezeigt werden: a) Es existiert eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \psi : A/A' \to B \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \varphi = \psi \circ \pi \end{eqnarray}$ gdw. $\begin{eqnarray} A'\subseteq Kern( \varphi ) \end{eqnarray}$ b) Die lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \psi:A/Kern(\varphi)\to B \end{eqnarray}$ ist stets injektiv und surjektiv gdw. $\begin{eqnarray} \varphi: A\to B \end{eqnarray}$ es ist. Leider habe ich nur zu die a) einen kleinen Gedanken. Es geht um die Richtung: " $\begin{eqnarray} \Leftarrow \end{eqnarray}$ " Sei $\begin{eqnarray} A'\subseteq Kern(\varphi) \end{eqnarray}$ , so bildet die Funktion $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ auf das Nullelement ab. Hier habe ich nun dass Problem, dass ich ich nicht weiß, wie die Funktion $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ abbildet. Ich würde diese so wählen, dass diese ebenfalls auf das Nullelement abbildet. Zum Schluss würde ich $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ noch so wählen, dass diese Funktion nur auf das Nullelement abbildet. Somit wäre es eine lineare Funktion was gefordert wäre. Somit würde auch gelten: $\begin{eqnarray} \varphi = \psi \circ \pi \end{eqnarray}$ . Könntet ihr mir kurz Feedback dazu geben? Achso, bei der Rückrichtung " $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ " würde ich einfach nur den Beweis anders lesen..., sprich ich wähle die Funktionen analog und folgere dann daraus, dass die Menge $\begin{eqnarray} A'\subseteq Kern(\varphi) \end{eqnarray}$ gelten muss. Falls das erste okay, würde dann dieses so klappen? Viele Grüße -- MrMilk
13.06.2007, 23:59	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
pi bildet NICHT auf das Nullelement ab! Und was ist das für eine lineare Abbildung psi in Teil (b)? Wie lautet die Abbildungsvorschrift?

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