Trigonemetrie-Winkel berechnen im Quader

14.06.2007, 18:49

nobby5

Trigonemetrie-Winkel berechnen im Quader

Hallo an alle Mathe-helfer,

meine Tochter (10kl. GYM) soll in einem Quader mit der Kantenlänge a=5cm; b=4cm; c=3cm die Winkel alpha; beta; und gamma berechnen, welche die Raumdiagonale mit den Kanten a, b, c des Quaders bildet.
Die Diagonale (7,2 cm) und alpha mit 45,2° hat sie schon ausgerechnet. Nun wissen wir aber beide nicht, wo die winkel beta und gamma liegen sollen.
Kann uns da irgendjemand helfen???

Besten Dank im Vorraus

14.06.2007, 19:09

brain man

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$\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ist gewöhnlich 90°. Daraus und aus dem Innenwinkelsummensatz eines Dreiecks : $\begin{eqnarray*} \alpha+\beta+\gamma=180° \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} \beta=180°-\alpha-\gamma \end{eqnarray*}$ ist.

Dafür ist keine Trigonometrie vonnöten.

14.06.2007, 19:21

riwe

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Zitat:

Original von brain man
$\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ist gewöhnlich 90°. Daraus und aus dem Innenwinkelsummensatz eines Dreiecks : $\begin{eqnarray*} \alpha+\beta+\gamma=180° \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} \beta=180°-\alpha-\gamma \end{eqnarray*}$ ist.

Dafür ist keine Trigonometrie vonnöten.

man braucht dazu nicht unbedingt trigonometrie,
das ist richtig
aber der rest ist nonsens.

mit d ... diagonale

$\begin{eqnarray*} \alpha=\angle{a;d}=45.0° \end{eqnarray*}$

dieser winkel ist exakt 45°!

$\begin{eqnarray*} \beta=\angle{b;d} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \gamma=\angle{c;d} \end{eqnarray*}$

wenn du alpha richtig berechnet hast, der rest geht dann genau so.

14.06.2007, 19:34

nobby5

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Hallo brain man, das ist uns schon klar, nur handelt es sich ja hier leider nicht um ein dreieck, denn alpha liegt im dreieck ABG, gamma müßte im dreieck AEG liegen. aber es bleibt eben die frage wo liegt beta??? (Bitte den Dateianhang ansehen)

14.06.2007, 19:36

brain man

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Ich habe mich ( fälschlicherweise ) auf die Winkel in $\begin{eqnarray*} \Delta ACG \end{eqnarray*}$ bezogen - also das Dreieck,deren Hypotenuse die Raumdiagonale ist.

14.06.2007, 19:38

riwe

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es gilt auch: $\begin{eqnarray*} b = AD \end{eqnarray*}$ , daher liegt $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} \Delta{ADG} \end{eqnarray*}$

14.06.2007, 19:40

nobby5

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Ah, jetzt ist der Groschen wohl gefallen. Beta wird also mit cos b geteilt durch d berechnet? Das hat meine Tochter zumindest vermutet.

14.06.2007, 19:47

riwe

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da hast du eine kluge tochter

wie schon oben hingemalt

$\begin{eqnarray*} cos\alpha = \frac{a}{d} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos\alpha = \frac{b}{d} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos\alpha = \frac{c}{d} \end{eqnarray*}$

und damit es genauer bleibt, verwende besser $\begin{eqnarray*} d = 5\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

14.06.2007, 19:56

nobby5

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Danke für das Kompliment smile

sie hat auch alles schon ausgerechnet und überprüft, alles richtig. Jetzt muß sie nur noch in der zweiten Teilaufgabe zeigen, dass allgemein gilt cos²alpha + cos²beta*cos²gamma =1 ist.

Vielen Dank auch an Brain Man

14.06.2007, 20:02

riwe

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da ja gilt
$\begin{eqnarray*} d²=a²+b²+c² \end{eqnarray*}$
braucht sie das zeug nur zusammen zu zählen, was sie sicher schon gemacht hat.

14.06.2007, 20:08

nobby5

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Du hast es richtig erkannt smile

sie hat es genauso überprüft. Schönen Abend noch und vielleicht bis bald mal wieder.

Gruß nobby5 Wink

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