Holomorphie zeigen...

15.06.2007, 09:40

Resetter

Holomorphie zeigen...

Ich arbeite an einem Projekt über Dispersionsrelationen und komm nicht weiter...

Nach dem Lösen einer DGL soll ich nun zeigen, dass 2 Koeffizienten $\begin{eqnarray*} A(\omega) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D(\omega) \end{eqnarray*}$ (Absorptions - und Dispersionsanteil der betrachteten Schwingung) real und Imaginärteil einer holomorphen Funktion $\begin{eqnarray*} f(\omega) \end{eqnarray*}$ sind

Natürlich hab ich auch schon selber drüber nachgedacht. Da kein Gebiet, auf welchem sie holomorph sein soll, angegeben war, nahm ich an, dass ganz R gemeint war - und dachte natürlich an die Cauchy-Riemann DGL's - da stellt sich mir allerdings ein Problem in den Weg - die soll man ja nach x und nach y ableiten - ich hab in den Koeffizienten aber nur eine Variable, $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$

könnt ihr mir helfen?

hier die Koeffizienten:

$\begin{eqnarray*} D(\omega) = \frac{\omega_{0}^{2} - \omega^2}{(\omega^2 - \omega_{0}^2)^2 + 4 \cdot a^2 \cdot \omega^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A(\omega) = \frac{2 \cdot a \cdot \omega}{(\omega^2 - \omega_{0}^2)^2 + 4 \cdot a^2 \cdot \omega^2} \end{eqnarray*}$

wobei a eine art Dämpfungsglied darstellt (konstant)

muss ich Omega hier irgendwie als aus 2 Variablen aufgebaut annehmen oder wie würdet ihr das machen?

bin für jede Hilfe dankbar ^^

ciaoi,
Resetter

17.06.2007, 20:40

Resetter

Auf diesen Beitrag antworten »

kann mir da echt niemand helfen?

ein paar Gedankenanstöße würden vielleicht schon helfen?!
wenn ihr irgendwas dazu sagen könnt, sagts bitte ^^

ciaoi, danke,
Rese

17.06.2007, 20:55

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Idee hab ich nicht. Aber du könntest mal etwas rumrechnen, was kommt zB raus, wenn du $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ableitest ?

Du bist auch sicher, dass du $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ richtig hast ?

Grüße Abakus smile

17.06.2007, 21:09

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Falls $\begin{eqnarray*} \omega^2 - \omega_0^2 \pm 2ia\omega \neq 0 \end{eqnarray*}$ , gilt

$\begin{eqnarray*} D(\omega) + iA(\omega) = -\frac{1}{\omega^2 - \omega_0^2 + 2ia\omega}. \end{eqnarray*}$

Die Funktion f = D + IA hat 4 Singularitäten, von denen 2 hebbar und 2 Pole von der Ordnung 1 sind.

18.06.2007, 19:44

Resetter

Auf diesen Beitrag antworten »

@Abakus: jap, A und D sind 100% korrekt - ich hab dem prof auch schon geschrieben dass er nen tippfehler hat bei den Kontrollangaben und er hat mich bestätigt, also müssen die beiden stimmen....
wenn ich ableite kommen gewaltige Brüche raus...

@WebFritzl: sihst, darauf bin ich z.B. noch nicht gekommen das mal so zu versuchen - das mit den Polstellen hab ich schon vermutet, die gegebene Bedingung is Physikalisch logisch...

also müsst ich um weiterzukommen "nur" noch zeigen, dass DIESE gl holomorph ist - was das Problem nicht einfacher macht... die cauchy-Riemann DGL's lösen führt mich auf gewaltige gleichungen - ich denk mal nicht dass er das so geplant hätte.... da muss irgendein raffinierter trick dahinter sein....

wie kann man sonst noch holomorphie nachweisen? (das auf wikipedia hat nicht besonders viel weitergeholfen)

jedenfalls danke erstmal für die antworten ;-)

ciaoi,
Rese

18.06.2007, 20:51

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab's dir doch schon gezeigt! Die Funktion ist NICHT holomorph - jedenfalls nicht in der ganzen komplexen Ebene. Sie ist holomorph auf C\{a,b}, wobei a und b Pole der Ordnung 1 sind. Das kann man direkt aus der Darstellung der Funktion auslesen, die ich dir gegeben hatte.

18.06.2007, 21:42

Resetter

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, okay nicht auf der ganzen Ebene - aber das war ja auch ursprünglich nur ne Vermutung von mir, dass das gelten soll - die polstellen muss ich eigentlich nur physikalisch interpretieren, warum eben diese Fälle nicht möglich sind - stellt also kein Problem dar ;-)

hab ein bisschen weitergerechnet und bin über die Pompeiu-Wirtinger-Ableitung gestolpert...
für alle $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ , die diese Gleichung erfüllen is ne Gleichung Holomorph (ich habs zumindest so rausgelesen - man kontrolliere bitte HIER)

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \left( \frac{\partial h}{\partial x}(\omega) + i \cdot \frac{\partial h}{\partial y} (\omega) \right)=0 \end{eqnarray*}$

die Gleichung die du mir da oben gegeben hast erfüllt diese Ableitung, wenn man für $\begin{eqnarray*} \omega = x + i \cdot y \end{eqnarray*}$ einsetzt, oder?

damit wäre die Funktion bis auf die von dir beschriebenen Polstellen doch holomorph, oder?

greez,
Rese

18.06.2007, 21:47

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Resetter
damit wäre die Funktion bis auf die von dir beschriebenen Polstellen doch holomorph, oder?

Also, so langsam... grrr. Weg mit diesen Wirtinger-Dingern! Ich sag's dir nochmal. Deine Funktion ist eine Funktion der Form

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\text{Polynom}}. \end{eqnarray*}$

Sowas ist bis auf in den Nullstellen des Polynoms überall holomorph.

18.06.2007, 22:21

Resetter

Auf diesen Beitrag antworten »

aso - na das konnt ich ja nicht wissen *g* --> sorry, hab das oben überlesen (dass es sonst überall eh holomorph is *g*)
danke danke danke *g*

19.06.2007, 12:13

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir können natürlich $\begin{eqnarray*} D(\omega) + iA(\omega) \end{eqnarray*}$ betrachten. Wenn $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ hier eine komplexe Variable sein soll, ist $\begin{eqnarray*} f := D + i \cdot A \end{eqnarray*}$ natürlich als Summe holomorpher Funktionen wieder holomorph (bis auf die Pole usw.).

Jedoch sind $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ dann nicht Real- und Imaginärteil von f, beides sind so ja komplexe Funktionen mit eigenem Real- und Imaginärteil.

Grüße Abakus smile

Neue Frage »

Antworten »

Holomorphie zeigen...

Verwandte Themen