Vollständige Induktion

19.01.2005, 22:54

FatFreddy

Vollständige Induktion

Ich hab da eine Aufgabe mit der ich überhaupt nicht zurecht komme, vielleicht kann mit ja da wer helfen.
Aufgabe:
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion die folgenden Ausagen für natürliche Zahlen n:

$\begin{eqnarray*} 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + ... + n^{2} = \frac{1}{6} n(n+1)(2n+1) \end{eqnarray*}$

19.01.2005, 22:58

geckolux

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hy,
weiss du denn was beweis per vollständige Induktion ist?
Schreib mal deinen Induktionsschritt den du benutzen würdest hierhin!
Hast du den Induktionsanfang denn schon?

19.01.2005, 22:58

Deakandy

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RE: Vollständige Induktion
Schaue dir meinen Workshop an und alle Fragen sind beseitigt Augenzwinkern

Also das ist ja eine der einfachen,.., kennst du das Prinzip

19.01.2005, 23:00

Deakandy

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RE: Vollständige Induktion

Zitat:

1. Beispiel
Für alle n€ |N gilt: $\begin{align*} \bigsum_{k=1}^n~k = 1+2+...+n = \frac {n\cdot(n+1)} {2} \end{align*}$

Beweis: Wir zeigen die Aussage durch Induktion nach n
Induktionsanfang (IA): Man zeige, dass n=1 gilt
$\begin{align*} \bigsum_{k=1}^1~k = 1 = \frac {1\cdot(1+1)} {2} \end{align*}$
Induktionsvorraussetzung (IV): Es gelte für ein $\begin{align*} n \geq 1 \end{align*}$
Induktionsschluss (IS): Man schließe von n auf n+1 ( n|-->n+1)
Das heißt man hat zu zeigen, das folgendes gilt:
$\begin{align*} \bigsum_{k=1}^{n+1}~k = \frac {(n+1)\cdot(n+1+1)} {2} =\frac {(n+1)\cdot(n+2)} {2} = \frac {n^2+3n+2} {2} \end{align*}$
Nun geht man wie folgt vor:
$\begin{align*} \bigsum_{k=1}^{n+1}~k = (\bigsum_{k=1}^n~k) +(n+1) \end{align*}$
In diesem Schritt holt man lediglich den letzten Summanden raus.
Nun kann man die Induktionsvorraussetzung anwenden
Man setzt für die Summe
$\begin{align*} \bigsum_{k=1}^n~k \end{align*}$ genau das ein, was aus der Voraussetzung gilt und zwar $\begin{align*} \frac {n\cdot(n+1)} {2} \end{align*}$
Eingesetzt ergibt sich dann folgender Therm:
$\begin{align*} \frac {n\cdot(n+1)} {2} +n+1 \end{align*}$
Diese Summe bringt man geschickt auf einen Bruch durch Erweitern
$\begin{align*} \frac {n\cdot(n+1)} {2} + \frac {2\cdot(n+1)} {2} \end{align*}$
$\begin{align*} \frac {(n^2+n)+(2n+2)} {2} \end{align*}$
$\begin{align*} \frac {n^2+3n+2} {2} \end{align*}$
Und genau das war zu zeigen.
Man hat nun genau die Form, wie sie unter dem Induktionsschluss stehen hat.
Die Behauptung ist dem Prinzip der vollständigen Induktion bewiesen. q.e.d.

19.01.2005, 23:05

FatFreddy

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Naja, wo finde ich denn deinen Workshop?
In der Vorlesung wo das gemacht wurde war ich leider nicht anwesend und nu steige ich auch durch das Script von dem Prof nicht wirklich durch.

19.01.2005, 23:24

Deakandy

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Die Aufgabe die ich beigefügt habe, ist "genau" das gleiche Prinzip...
Verstehe es an der Aufgabe oder lasse es dir vom prof inner Sprechstunde erklären...

20.01.2005, 21:26

FatFreddy

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Danke für die "Antwort"

20.01.2005, 22:15

laarisha

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mich würd auch interessieren WO der workshop zu finden ist....

20.01.2005, 23:20

FatFreddy

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Habe den tollen thread auch ohne Infos gefunden,

hier haste nen Link:

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=1533

20.01.2005, 23:28

Deakandy

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Lieber Freddy
Du bist 25 jahre und solltest doch verstehen, dass ich dir hier keine fertige Lösung zu deiner Aufgabe liefere.
Wenn du diesen minimalen Transfer nicht hinbekommst, solltest du nicht studieren, wenn die Aufgabe aus dem Studium ist, da sie eher wir eine Grundkursaufgabe Baden Würtemberg aussieht
Andy

20.01.2005, 23:43

FatFreddy

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Hmm, wie weich!
Also erstma möchte ich keine Lösung für die ach soo schwere Aufgabe.
Ich weiss selber, das das eine sehr einfache Aufgabe aus diesem Themengebiet ist! Aber diese habe ich extra gewählt, um den Ablauf bei diesen Aufgaben zu verstehen! Mir hätte ein Ansatz erstmal gereicht, wie ich an so eine Aufgabe rangehen muss und wie ich zum Schluss den Beweis aus dem Kram erhalte, bzw. wie ich aus dem letzten Teil erkenne das dieser Beweis funktioniert.Irgentwelche Beispielaufgaben kann ja wohle jeder finden und helfen keineswegs beim wirklichen Verständniss denke ich.

21.01.2005, 00:00

Deakandy

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DAs bestätigt ja zumindest meine Vermutung
Das ist genauuuu der gleiche Typ.
Und ich denke, da wird mir hier im Forum sicher jeder recht geben.
Mehr als die Lösung zu dieser mehr als artverwandten Aufgabe kann bzw. woll man nicht geben
Andy

21.01.2005, 00:07

FatFreddy

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So, habe durch einen guten Text meine Fragen beantworten können.

21.01.2005, 00:34

riwe

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$\begin{eqnarray*} ...+n^{2}+{(n+1)}^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1).....+(n+1)^{2} \end{eqnarray*}$
ausmultiplizieren und zusammenfassen
fertig
werner

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