Startseite
 
Forum
 
Fragen
 
Suchen
 
Materialien
 
Tools
 
Über Uns
 
 

Integral
Neue Frage »

16.06.2007, 14:51 Auf diesen Beitrag antworten »
lammbock Integral

Zeigen Sie: Das Integral

[latex]\int_{1}^{\infty}~\frac{x^2+2x-3}{\sqrt{4x^8+3x+7}}~dx[/latex]

existiert.

Kann mir die Aufgabe jemand lösen?
Ich dachte an Majoranten Kriterium, die Wurzel dann weg lassen und Nenner 2 mal substituieren. kann das sein?

EDIT von Calvin
LaTeX-Tags eingefügt
 
 
 
16.06.2007, 15:01 Auf diesen Beitrag antworten »
Calvin RE: Integral

Majorantenkriterium ist gut. Allerdings verstehe ich nicht genau, was du substituieren möchtest verwirrt

Ich würde ich im Integrationsintervall [latex][1,\infty ][/latex] folgendermaßen abschätzen:

[latex]0\leq \frac{x^2+2x-3}{\sqrt{4x^8+3x+7}}< \frac{x^2+2x}{\sqrt{4x^8}}[/latex]

PS Damit die Formeln richtig dargestellt werden, musst du LaTeX-Tags einfügen:

code: 
1:

[latex] Formelcode [/latex]
16.06.2007, 15:11 Auf diesen Beitrag antworten »
Falken-Gesäß

ok, ich versuchs jetz noch mal.
du hast im zähler -3 und im nenner 3x+7 weg genommem um das integral zu vereinfachen und lösen zu können.
kann ich bei dem m.kriterium weg nehmen was ich will, hauptsache das neue integral ist größer als das alte?
16.06.2007, 15:22 Auf diesen Beitrag antworten »
Calvin RE: Integral

Zitat:
kann ich bei dem m.kriterium weg nehmen was ich will, hauptsache das neue integral ist größer als das alte?


Jein. Wenn du nach oben abschätzen willst, muss die neue Funktion natürlich in jedem Punkt über der alten liegen. Warum meine Abschätzung diese Bedingung erfüllt, darfst du dir selbst überlegen Augenzwinkern Wenn du aber zu weit nach oben abschätzt, kannst du keine Aussage mehr treffen. Zum Beispiel ist

[latex]0\leq\frac{x^2+2x-3}{\sqrt{4x^8+3x+7}}<x^2+2x-3[/latex]

Aber das Integral konvergiert nicht mehr.
 Anzeige
 
 
16.06.2007, 15:35 Auf diesen Beitrag antworten »
Falken-Gesäß

ich denk deine abschätzung läuft einfach schneller gegen unendlich. oder?
hätte ich im zähler -3 und im nenner nur die +7 weg gelassen, dann wäre das doch auch ok!?

ich bekomm da jetz (+unendlich) heraus. kann des sein?
16.06.2007, 15:47 Auf diesen Beitrag antworten »
Calvin

Zitat:
Original von Falken-Gesäß
hätte ich im zähler -3 und im nenner nur die +7 weg gelassen, dann wäre das doch auch ok!?


Grundsätzlich ist das eine Abschätzung nach oben. Aber wie hast du das Integral

[latex]\int_1^\infty~\frac{x^2+2x}{\sqrt{4x^8+3x}}\,\dx[/latex]

gelöst?

Mit meiner zuerst vorgeschlagenen Abschätzung kannst du das Integral sehr bequem lösen. Da wirst du feststellen, dass der Wert endlich ist
16.06.2007, 15:56 Auf diesen Beitrag antworten »
Falken-Gesäß

ich hab es mit deiner abschätzung gelöst.
den nenner hoch gebracht, daraus folgt:

[latex]\int_{1}^{\infty}~x^2+2x-2x^{-4}~dx [/latex]

wenn ich jetz integriere und dann unendlich in die grenzen einsetze, kommt doch auch unendlich heraus!?
16.06.2007, 16:29 Auf diesen Beitrag antworten »
Calvin

Äh, den Nenner darfst du so nicht hochbringen geschockt

Teile den Bruch in 2 Brüche auf. [latex]\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}[/latex]
16.06.2007, 17:36 Auf diesen Beitrag antworten »
Falken-Gesäß

also ich hab jetz -8/9 raus, stimmt das???
16.06.2007, 18:51 Auf diesen Beitrag antworten »
WebFritzi

Der Wert des Integrals ist auf deutsch gesagt scheißegal. Du sollst nur zeigen, dass es existiert. Dabei benutzt du das Majorantenkriterium. Schätze dazu den Integranten nach oben gegen [latex]\frac{c}{x^2}[/latex] mit einer positiven Konstanten c ab. Dazu hat Calvin dir bereits eine Hilfestellung gegeben. Ich gebe dir noch einen Tipp: auf deinem Integrationsintervall gilt 2x <= 2x^2.
16.06.2007, 19:09 Auf diesen Beitrag antworten »
Falken-Gesäß

aja, und wenn ich einen wert heraus bekomme, dann existiert das integral!?
16.06.2007, 19:21 Auf diesen Beitrag antworten »
Dual Space

Ja.
16.06.2007, 19:26 Auf diesen Beitrag antworten »
WebFritzi

Zitat:
Original von Falken-Gesäß
aja, und wenn ich einen wert heraus bekomme, dann existiert das integral!?


Ja, aber danach ist hier nicht gefragt, und ich bezweifle auch, dass du einen herausbekommst. Augenzwinkern
16.06.2007, 19:28 Auf diesen Beitrag antworten »
Falken-Gesäß

ich hätte doch eigentlich auch das minorantenkriterium anwenden können!? wo genau liegt denn da der unterschied bzw. woran erkenne ich welches kriterium sinvoller ist?
16.06.2007, 19:29 Auf diesen Beitrag antworten »
WebFritzi

Zitat:
Original von Falken-Gesäß
ich hätte doch eigentlich auch das minorantenkriterium anwenden können!?


Nein, denn das verwendet man, um die DIVERGENZ (bzw. NICHTEXISTENZ) eines Integrals zu beweisen. Dein Integral hier KONVERGIERT (bzw. EXISTIERT) aber.

EDIT: Du hast die Aufgabe noch immer nicht gelöst...
16.06.2007, 21:30 Auf diesen Beitrag antworten »
Falken-Gesäß

ja doch, ich hab das integral in 2 brüche aufgeteilt, mit der summenregel integriert und -8/9 heraus bekommen.

[latex]\int_{1}^{\infty}~ \frac{x^{2}}{\sqrt{4x^8}}~dx+\int_{1}^{\infty}~ \frac{2x}{\sqrt{4x^8}}~dx = \int_{1}^{\infty} x^2*(-2x^{-4}) + \int_{1}^{\infty} 2x*(-2x^{-4}) .... = - \frac{8}{9}[/latex]

wieso, was sollte denn heraus kommen?
16.06.2007, 22:43 Auf diesen Beitrag antworten »
WebFritzi

Es kommt 5/2 raus, aber es geht wie gesagt nicht um den Wert. Du sollst abschätzen und dann das Majoranten-Kriterium verwenden!
17.06.2007, 20:29 Auf diesen Beitrag antworten »
Falken-Gesäß

ok, das mit dem kriterium hab ich verstanden.
ich komm abba net auf das scheiß ergebnis.
wie bist du vorgegangen nach dem aufteilen in 2 brüche?
17.06.2007, 20:53 Auf diesen Beitrag antworten »
WebFritzi

Das sag ich dir, nachdem du hier bewiesen hast, dass du das mit dem Kriterium verstanden hast, indem du einfach mal dessen Anwendung vormachst.
17.06.2007, 21:13 Auf diesen Beitrag antworten »
Falken-Gesäß

Beispiel:


[latex]\int_{1}^{\infty}~\frac{1}{x*e^x}~dx \leq \int_{1}^{\infty}~\frac{1}{e^x}~dx ... = \frac{1}{e}\Rightarrow[/latex] Das Integral existiert.


Ich hab hier jetz ein Integral abgeschätzt, das minimal größer ist als das alte und bewiesen das es existiert, das sehe ich daran, das ein Wert heraus kommt, ansonsten wäre es divergent.
17.06.2007, 21:25 Auf diesen Beitrag antworten »
WebFritzi

Ich meinte aber das hiesige Integral. Du sollst dabei nur verwenden, dass

[latex]\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx[/latex]

existiert.
17.06.2007, 21:52 Auf diesen Beitrag antworten »
Falken-Gesäß

Sorry, das peil ich jetz net. was soll ich mit dem I= 1/x^2 dx machen?
18.06.2007, 08:38 Auf diesen Beitrag antworten »
klarsoweit RE: Integral

Um da mal wieder eine klare Linie reinzubringen. Mit der von Calvin vorgeschlagenen Abschätzung hast du folgende Ungleichung:

[latex]0 \leq \int_{1}^{\infty}~\frac{x^2+2x-3}{\sqrt{4x^8+3x+7}}~dx \leq \int_{1}^{\infty}~\frac{x^2+2x}{\sqrt{4x^8}}~dx = \int_{1}^{\infty}~\frac{x^2}{2x^4}~dx + \int_{1}^{\infty}~\frac{2x}{2x^4}~dx[/latex]

Und wenn du auf die beiden letzten Integrale die Potenzgesetze und Integralregeln richtig anwendest, dann solltest du auch ein vernünftiges Ergebnis erhalten.
18.06.2007, 11:59 Auf diesen Beitrag antworten »
Falken-Gesäß

[latex][\frac{-1}{3} x^{3}*(- \frac{2}{3} x^{-3})]+[ x^{2}*( \frac{-2}{3} x^{-3}][/latex] ...

wenn ich da jetz 1 einsetze, kommt -8/9 raus!

Was hab ich hier noch falsch gemacht?
18.06.2007, 12:06 Auf diesen Beitrag antworten »
klarsoweit

Du hast offensichtlich große Schwierigkeiten, die richtige Stammfunktion zu bilden.

[latex]\frac{-1}{3} x^{3}*(- \frac{2}{3} x^{-3})[/latex] ist z. B. keine Stammfunktion von [latex]\frac{x^2}{2x^4}[/latex] wie man leicht nachrechnet. Ich hatte extra auch gesagt, erst Potenzregeln anwenden (also Bruch kürzen).
18.06.2007, 15:59 Auf diesen Beitrag antworten »
WebFritzi

@klarsoweit: Na gut, dann rechnet ihr jetzt doch. Ich wollte eigentlich, dass er das Integral, welches in deiner Unleichungskette in der Mitte steht, abschätzt durch das von c/x^2 mit einer Konstanten c. Man braucht hier nicht zu rechnen. Aber das scheint ja trotzdem eine gute Übung für das Falken-Gesäß zu sein... Augenzwinkern
18.06.2007, 19:16 Auf diesen Beitrag antworten »
Falken-Gesäß

Es kann doch net war sein das ich tagelang an so ner Aufgabe rum rechne. Hier noch mal meine Schritte:

[latex]\int_{1}^{\infty}~ \frac{x^2}{2x^4}~dx+\int_{1}^{\infty}~\frac{2x}{2x^4}~dx \Rightarrow \int_{1}^{\infty}~ \frac{1}{2x^2}~dx+ 2*\int_{1}^{\infty}~\frac{1}{2x^3}~dx \Rightarrow [-\frac{1}{2x}]+ 2*[- \frac{1}{4x^2}] = -1[/latex]

Wo ist der Fehler???
18.06.2007, 20:54 Auf diesen Beitrag antworten »
WebFritzi

Erstens sind die Pfeile falsch. Dahin gehören Gleichheitszeichen. Zweitens gehören am Ende Grenzen an die Klammern. Die letzte Gleichheit stimmt nicht.
18.06.2007, 20:59 Auf diesen Beitrag antworten »
Falken-Gesäß

Ja und was ist falsch? Hab die Konstante 2 vor gezogen und 1/2x^3 Integriert ergibt doch -1/4x^2 oder net?
18.06.2007, 21:09 Auf diesen Beitrag antworten »
WebFritzi

Ich habe vom letzten Gleichheitszeichen gesprochen (mal ganz davon abgesehen, dass es bei dir nur eins gibt Big Laugh ).
18.06.2007, 21:17 Auf diesen Beitrag antworten »
Falken-Gesäß

-1/2 + 2*[-1/4] gibt -1!

Sag mir doch bitte einfach was falsch ist. Hab ich ein Fehler beim Integrieren gemacht?
18.06.2007, 21:18 Auf diesen Beitrag antworten »
WebFritzi

Zitat:
Original von Falken-Gesäß
Sag mir doch bitte einfach was falsch ist.


Das habe ich bereits. Und ich wiederhole es: Das letzte Gleichheitszeichen stimmt nicht.
18.06.2007, 21:27 Auf diesen Beitrag antworten »
Falken-Gesäß

vielleicht [latex]\leq[/latex] -1 ???
18.06.2007, 21:49 Auf diesen Beitrag antworten »
WebFritzi

[latex]\neq -1[/latex] wäre besser.
18.06.2007, 21:52 Auf diesen Beitrag antworten »
Falken-Gesäß

na toll, dann is ja doch irgendwas schief gegangen beim rechnen!?
18.06.2007, 21:55 Auf diesen Beitrag antworten »
WebFritzi

Ja, offenbar. Um dir das Leiden zu ersparen: es ist alles richtig bis eben auf das -1. Das ist falsch.
18.06.2007, 22:05 Auf diesen Beitrag antworten »
Falken-Gesäß

[latex][-\frac{1}{2x}]_{1}^\infty+ 2*[- \frac{1}{4x^2}]_{1}^\infty[/latex] = 3/2???
18.06.2007, 22:12 Auf diesen Beitrag antworten »
WebFritzi

So wie ich das sehe ist das wieder falsch. Aber wenigstens hast du jetzt schonmal die Grenzen hingeschrieben. Rechne mal vor. Obere Grenze eingesetzt minus untere Grenze eingesetzt. Und beachte die MINUSKLAMMER.
18.06.2007, 22:26 Auf diesen Beitrag antworten »
Falken-Gesäß

[latex]...=[- \frac{1}{2*\infty}-(- \frac{1}{2*1})] +2*[-\frac{1}{4*\infty^2}-(- \frac{1}{4*1^2})]=[0-(- \frac{1}{2})]+2*[0-(- \frac{1}{4})] = \frac{1}{2}+2* \frac{1}{4}= 1 ??[/latex]
18.06.2007, 22:29 Auf diesen Beitrag antworten »
WebFritzi

Na endlich. Freude
18.06.2007, 22:35 Auf diesen Beitrag antworten »
Falken-Gesäß

ja sorry, ich hab des mit den vorzeichen verpeilt. aber was ist mit den 5/2 wo du mal gesagt hast?
18.06.2007, 23:49 Auf diesen Beitrag antworten »
WebFritzi

Wo ich mal gesagt hab?

Zitat:
Original von Falken-Gesäß
[latex]\int_{1}^{\infty}~ \frac{x^{2}}{\sqrt{4x^8}}~dx+\int_{1}^{\infty}~ \frac{2x}{\sqrt{4x^8}}~dx = \int_{1}^{\infty} x^2*(-2x^{-4}) + \int_{1}^{\infty} 2x*(-2x^{-4}) .... = - \frac{8}{9}[/latex]


Das erste Gleichheitszeichen ist falsch. Ich habe das nicht bemerkt und die beiden Integrale nach diesem Gleichheitszeichen ausgerechnet. Und da kommt 5/2 raus. Du solltest scheinbar rechnen üben. Das ist ja schlimm...
19.06.2007, 09:38 Auf diesen Beitrag antworten »
klarsoweit

Zitat:
Original von Falken-Gesäß
[latex]...=[- \frac{1}{2*\infty}-(- \frac{1}{2*1})] +2*[-\frac{1}{4*\infty^2}-(- \frac{1}{4*1^2})][/latex]

Ich bin ein eher konservativer Mathematiker und da sehe ich so Rechnungen mit unendlich drin gar nicht gerne, auch wenn das Ergebnis letztlich stimmt.

Zitat:
Original von WebFritzi
Wo ich mal gesagt hab?

Zitat:
Original von Falken-Gesäß
[latex]\int_{1}^{\infty}~ \frac{x^{2}}{\sqrt{4x^8}}~dx+\int_{1}^{\infty}~ \frac{2x}{\sqrt{4x^8}}~dx = \int_{1}^{\infty} x^2*(-2x^{-4}) + \int_{1}^{\infty} 2x*(-2x^{-4}) .... = - \frac{8}{9}[/latex]


Das erste Gleichheitszeichen ist falsch. Ich habe das nicht bemerkt und die beiden Integrale nach diesem Gleichheitszeichen ausgerechnet. Und da kommt 5/2 raus.

Die Integrale [latex]\int_{1}^{\infty} x^2*(-2x^{-4})~dx + \int_{1}^{\infty} 2x*(-2x^{-4})~dx[/latex] sind in der Umformungsfolge zwar falsch, aber da die Integranden jeweils negativ sind, kann auch nicht 5/2 rauskommen.
19.06.2007, 13:39 Auf diesen Beitrag antworten »
Falken-Gesäß

Rechnen üben??
Ja mag sein, hoffe es reicht noch für die Mathe 2 Klausur nächste Woche!
19.06.2007, 13:45 Auf diesen Beitrag antworten »
WebFritzi

Tipp: Da du nicht sehr fit im Rechnen bist, rechne in der Klausur laaangsaaam. Augenzwinkern
19.06.2007, 19:11 Auf diesen Beitrag antworten »
Falken-Gesäß

Ich hab hier noch en schönes Integral:

[latex]\int_{0}^{\infty}~ \frac{1}{\sqrt{x^2+4}}~dx[/latex]

HINWEIS: Minorantenkriterium mit vollständigem Quadrat.


Sagt mir mal was ich mit dem Hinweis anfangen soll, dann versuch ich mich mal an der Aufgabe.
19.06.2007, 22:14 Auf diesen Beitrag antworten »
WebFritzi

[latex]x^2 + 4 \le (x + 2)^2[/latex]
20.06.2007, 20:03 Auf diesen Beitrag antworten »
Falken-Gesäß

Kurze Erläuterung zu dem Hinweis wäre toll. Ich muss doch jetzt was kleineres suchen!?
???Mit vollständigem Quadrat???
20.06.2007, 20:09 Auf diesen Beitrag antworten »
Calvin

Zitat:
Original von Falken-Gesäß
Ich muss doch jetzt was kleineres suchen!?


Ja. Und wenn der Nenner größer wird, wird der komplette Bruch kleiner Augenzwinkern

Warum die Abschätzung im Integrationsintervall stimmt, kannst du übrigens sehr leicht zeigen, indem du rechts die Klammer auflöst.
20.06.2007, 20:22 Auf diesen Beitrag antworten »
Falken-Gesäß

Ja, aber was genau soll das mit dem "ganzen Quadrat" heißen?
Das ich Abschätzungen, jetzt hier im Nenner zum Bsp. nur quadratisch ändern darf?

Sieht dann so aus:

[latex]...\geq \int_{0}^{\infty}~ \frac{1}{x^4+8x^2+16} ~dx[/latex]
nächste Seite
 
Neue Frage »
Antworten »


Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »




MatheBoard » Hochschulmathematik » Analysis » Integral

 
© 2003-2010 bei Matheboard.de | Archiv, neueste | Themen | Tipps | Tools | Kontakt | Jugendschutz | Nutzungsbedingungen | Werben