Charac. Polynom und Mipo

16.06.2007, 16:43

SilverBullet

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Charac. Polynom und Mipo

Hallo zusammen,

ich hab als Aufgabe von so einigen Matrizen jeweils das characteristische Polynom sowie das Minimalpolynom und wenn existent auch die Jordanische Normalform zu bestimmen.
Als Beispiel hier diese Matrix :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 & -3 \\ 1 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 &-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hoffe jemand hat sowas wie Mathematika oder sowas womit er meine Ergebnisse mal überprüfen kann.

Hab raus :

Characteristische Polynom: $\begin{eqnarray*} (T+1)(T-1)^4 \end{eqnarray*}$
Mipo : $\begin{eqnarray*} (T+1)(T-1)^2 \end{eqnarray*}$

Nun hab ich aber noch das Problem das ich nicht weiß wie ich auf die Jordanische Normalform komme. Wir haben in der Vorlesung ein Beispiel gehabt wo die Elementarteiler (hier ((T+1), (T+1), (T+1)(T-1)^2) ) Primpotenzen waren und wie irgendwie über deren Nullstellen die Jordanische Normalform bestimmt haben aber irgendwie check ich das nicht.

Wer kann man eben meine Ergebnisse checken und mir mit der JordanischenNormalform helfen `?

Gruß
Marc

Edit: Einfach mal als Versuch hätte ich als Jordanische Normalform folgendes geschrieben :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ? & ? \\ 0& 0 & ? &? \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

EditEdit : Hab grad nen Fehler bemerkt rechne alles nochmal aus

16.06.2007, 18:13

WebFritzi

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RE: Charac. Polynom und Mipo

Zitat:

Original von SilverBullet
Einfach mal als Versuch hätte ich als Jordanische Normalform folgendes geschrieben

Das kann doch wieder mal nur daneben gehen. Ich hab es dir glaube ich schon tausendmal gesagt: du sollst WISSEN, was du tust. Nicht rumprobieren. Es wäre hier ein Vorteil, wenn du mal aufschreibst, wie du zu charakteristischem und Minimalpolynom gekommen bist.

16.06.2007, 18:55

SilverBullet

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Ok ich hätte es ja oben auch anders schreiben können :

ICH WEIß das der anfang der Jordanischen Normalform wie oben aussieht wäre meine Rechnung denn Richtig. OK ?

Nun zurück zum Thema wir hatten leider kein Namen für das Verfahren das ich benutzt habe.. und so richtig will es auch nicht klappen.

Darum habe ich jetzt $\begin{eqnarray*} det(TE-A) \end{eqnarray*}$ berechnet und habe demzufolge das Characteristische Polynom mit $\begin{eqnarray*} X_f = (t+1)^2 \cdot (t-1)^2 \end{eqnarray*}$ bestimmt.

So ich probier jetzt mal das Mipo rauszufinden da es ja ein Teiler von Xf sein muss und die selben Nullstellen besitzt brb

16.06.2007, 19:02

SilverBullet

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Ok nochmal zusammengefasst :

Über $\begin{eqnarray*} det(TE-A) \end{eqnarray*}$ habe ich das char. Polynom $\begin{eqnarray*} X_f = (t+1)^2 \cdot (t-1)^2 \end{eqnarray*}$ bestimmt.

Da ich weiß das das MinimalPolynom die selben Nullstellen hat (also -1 und 1) und ebenfalls das char. Polynom teilt habe ich einfach durchprobiert und habe
für das Mipo erhalten: $\begin{eqnarray*} (T+1)(T-1)^2 \end{eqnarray*}$

Stimmt das bisher ?

Wer erklärt mir wie ich auf die Jordanische Normalform komme ?

16.06.2007, 19:22

WebFritzi

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Zitat:

Original von SilverBullet
Ok ich hätte es ja oben auch anders schreiben können :

ICH WEIß das der anfang der Jordanischen Normalform wie oben aussieht wäre meine Rechnung denn Richtig. OK ?

Ne, nichts ist OK, denn man versteht nicht, was du meinst.

Was bedeutet "ich habe durchprobiert"? Verstehe ich nicht.

16.06.2007, 19:32

SilverBullet

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omg ist doch eigentlich sowas von wurscht das ist richtig was ich geschrieben habe mir gehts doch um die Jordansche Normalform.. aber nun gut...

Es gelte was oben geschrieben steht..

Ich setzte meine Matrix A ein in : (T+1)(T-1)
und stelle fest es kommt nicht die 0-Matrix raus.

Ich setzte meine Matrix A ein in : (T+1)^2(T-1)
und stelle fest es kommt nicht die 0-Matrix raus.

Ich setzte meine Matrix A ein in : (T+1)(T-1) ^2
und stelle fest es kommt die 0-Matrix raus.

Fertig. So hab ich es schon früher gemacht man war damit zu frieden es brachte Punkte und reicht für meine Zwecke...

Frage bleibt bestehen : Wie komm ich an die Jordansche Normalform

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16.06.2007, 20:25

WebFritzi

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Ja, so ist das OK. Zusatzfrage: Und was ist mit (T - 1)^2 und (T + 1)^2? Das sind doch auch Teiler deines Polynoms. Warum kann man die aber ausschließen?

Deine Rechnung ist sogar nützlich für die Berechnung der Jordan-Normalform. Deine Eigenwerte sind also 1 und -1. Berechne zuerstmal Eigenvektoren, die die Eigenräume aufspannen. Dann helfe ich dir weiter.

16.06.2007, 21:02

SilverBullet

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Zitat:

Ja, so ist das OK. Zusatzfrage: Und was ist mit (T - 1)^2 und (T + 1)^2? Das sind doch auch Teiler deines Polynoms. Warum kann man die aber ausschließen?

Kann man ausschließen weil das Polynom kleinsten Grades gesucht ist und das von dir angegebene ist größer.

Habe jetzt mal versucht für den Eigenwert 1 den zugehörigen EigenVektor zu bestimmen : Bei den Punkten habe ich das Gaußverfahren verwendet

$\begin{eqnarray*} (A-\lambda id) =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -3 \\1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & -2 & -1 \\ 1& 2 & 0 &-3 \end{pmatrix}=...= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -3 \\ 0 & -2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & 2 \\ 0& 0 & 0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Setze $\begin{eqnarray*} x_4 = \lambda \end{eqnarray*}$ beliebig

dann folgt aus der 3ten Gleichung : $\begin{eqnarray*} -2x_3 = -2\lambda \end{eqnarray*}$ damit also $\begin{eqnarray*} x_3 = \lambda \end{eqnarray*}$

aus der 2ten Gleichung folgt : $\begin{eqnarray*} x_2 = \lambda \end{eqnarray*}$

aus der 1ten Gleichung folgt : $\begin{eqnarray*} x_1 =- 2\lambda +3\lambda = \lambda \end{eqnarray*}$

Speziel für $\begin{eqnarray*} \lambda = 1 \end{eqnarray*}$ erhalten wir also den Eigenvektor
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so ? Berechne jetzt den Eigenvektor zu EW = -1

16.06.2007, 21:08

SilverBullet

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Mit dem Gleichen verfahren hab ich für den EW = -1

den folgenden Eigenvektor berechnet : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diesen erhielt ich aus der Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & \frac 2 3 & 0 & -1 \\ 0 & \frac 4 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

16.06.2007, 21:44

WebFritzi

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Zitat:

Original von SilverBullet

Zitat:

Ja, so ist das OK. Zusatzfrage: Und was ist mit (T - 1)^2 und (T + 1)^2? Das sind doch auch Teiler deines Polynoms. Warum kann man die aber ausschließen?

Kann man ausschließen weil das Polynom kleinsten Grades gesucht ist und das von dir angegebene ist größer.

Als deins? Nö. Außerdem ist das nichtder Grund.

Deine Rechungen zu den Eigenvektoren sind - soweit ich das überblicken kann - richtig. Nur beim Eigenwert -1 fehlt ein zweiter Eigenvektor. Der Eigenraum ist zweidimensional!

16.06.2007, 22:01

SilverBullet

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Omg ja sorry hab nicht richtig hingeschaut und damit gerechnet das ne andere Frage kommt *g* also (T - 1)^2 und (T + 1)^2 sind zwar auch Teiler des Polynomes aber sie annulieren die Matrix nicht außerdem gibt es 2 Nullstellen und das Mipo muss diese Nullstellen ebenso besitzen und das wäre nicht der Fall wäre es eines deiner beiden.

Verstehe nicht wieso da ein Eigenvektor fehlt ? Wo genau ?

Ich habe doch den den Eigenvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und dieser Erzeugt doch einen 2-Dimensionalen Raum, seinen Eigenraum.

16.06.2007, 22:36

WebFritzi

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Zitat:

Original von SilverBullet
Omg ja sorry hab nicht richtig hingeschaut und damit gerechnet das ne andere Frage kommt *g* also (T - 1)^2 und (T + 1)^2 sind zwar auch Teiler des Polynomes aber sie annulieren die Matrix nicht außerdem gibt es 2 Nullstellen und das Mipo muss diese Nullstellen ebenso besitzen und das wäre nicht der Fall wäre es eines deiner beiden.

OK, so stimmts. smile

smile

Zitat:

Original von SilverBullet
Verstehe nicht wieso da ein Eigenvektor fehlt ? Wo genau ?

Na, schau dir doch die Matrix an. Der Rang ist offenbar 2. Nach dem Dimensionssatz (heißt der so?) hat der Kern also die Dimension 2. Der Kern ist aber gerade der Eigenraum bzgl. des Eigenwertes -1.

16.06.2007, 23:39

SilverBullet

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Kann man die Jordansche Normalform überprüfen ?

Hab für die JordanscheNormalForm jetzt raus :

Hab das mit so einem Namenlosen Verfahren aus unserer Vorlesung gemacht.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

16.06.2007, 23:41

WebFritzi

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Das ist leider keine Jordan-Normalform. Außerdem musst du natürlich noch die Basis angeben, bezüglich derer deine Matrix in der Jordan-Normalform ist. Warum folgst du nicht meinen Instruktionen?

16.06.2007, 23:55

SilverBullet

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Weil uns gesagt wurde wir sollten das Verfahren anwenden und da kommen weder Eigenräume noch Eigenvektroren vor unglücklich

unglücklich

Wir hatten z.b. die Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Elementarteiler : $\begin{eqnarray*} (T-2),(T-2),(T-2)^2 \end{eqnarray*}$
mit dem CharacteristischenPolynom $\begin{eqnarray*} X_f = (T-2)^4 \end{eqnarray*}$
und dem Mipo : $\begin{eqnarray*} p_f=(T-2)^2 \end{eqnarray*}$

und diese Informationen sind hier ausreichend für die JordanscheNormalform :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Man erhält die Form indem man sich die Nullstellen der Elteiler betrachtet also 2,2,2.
Es ergeben sich die JordanKästchen j(2,1),j(2,1),j(2,2) und diese Kästchen entsprechen der JordanMatrix wenn man die auf der Hauptdiagonalen einträgt (siehe oben)

17.06.2007, 00:14

WebFritzi

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Zitat:

Original von SilverBullet
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist keine Jordansche Normalform! Die müsste wie folgt aussehen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 &1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Siehe auch: http://de.wikipedia.org/wiki/Jordan_Normalform

Aber wenn du eh nicht das machst, was ich dir vorschlage, dann kann ich ja auch einpacken. So hab ich jedenfalls keinen Bock mehr.

17.06.2007, 00:31

SilverBullet

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Ist ja interessant bei uns haben wir die JordanscheNOrmalform dann halt anders definiert als in Wikipedia versteh nur nicht wieso hmm

Bei dir komme ich aber auch nicht weiter kann keinen 2ten Eigenvektor finden warum solle es auch 2 geben zu 1. Eigenwert ? Ja aus Dimensionsgründen finden kann ich ihn dennoch nicht

17.06.2007, 00:35

SilverBullet

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Seh grade wir haben die JordanKästchen einfach nur anders definiert darum sieht auch unsere Jordansche Normalform anders aus...

Demnach wäre es ja nach Wikipediaform einfach nur :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wäre hilfreich wenn sich jemand mit Maple oder Mathematika mal eben dransetzt und mir die JordanscheNormalform sagt da ich noch 4 Aufgaben dieser Art hab und diese ja als Beispiel zu den anderen lösen will

17.06.2007, 00:53

WebFritzi

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Das stimmt so.

17.06.2007, 00:58

WebFritzi

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Zitat:

Original von SilverBullet
Elementarteiler : $\begin{eqnarray*} (T-2),(T-2),(T-2)^2 \end{eqnarray*}$
mit dem CharacteristischenPolynom $\begin{eqnarray*} X_f = (T-2)^4 \end{eqnarray*}$
und dem Mipo : $\begin{eqnarray*} p_f=(T-2)^2 \end{eqnarray*}$

und diese Informationen sind hier ausreichend für die JordanscheNormalform :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch! Auch wenn wir das in Wiki-Form "übersetzen". Die Jordan-Normalform (a la Wiki) könnte auch so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Informationen geben nämlich nicht her, wie groß die geometrische Vielfachheit von 2 ist. Das ist aber wichtig. In der oberen JNF wäre sie 3. In der unteren 2.

17.06.2007, 01:06

WebFritzi

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Um die Jordan-Normalform zu verstehen, schau dir mal den letzten Beitrag im folgenden Thread an.

Minimalpolynom und Jordan-Normalform

17.06.2007, 01:11

tigerbine

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Idee!

Info:
Mit einem Klick auf den weißen Zettel links neben dem Datum kannst Du auch direkt auf eine Antwort linken. Aber vielleicht wusstest Du das auch schon. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.06.2007, 01:25

SilverBullet

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Bin ja erstmal beruhigt das ich die JordanNormalform noch so irgendwie hinbekommen habe aber nochmal zu dem was du geschrieben hast.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch! Auch wenn wir das in Wiki-Form "übersetzen". Die Jordan-Normalform (a la Wiki) könnte auch so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Informationen geben nämlich nicht her, wie groß die geometrische Vielfachheit von 2 ist. Das ist aber wichtig. In der oberen JNF wäre sie 3. In der unteren 2.

Hmm also wir bilden ja die JNF indem wir die JordanKästchen bezüglich der Eigenwerte entlang der Hauptdiagonale schreiben.

Bei deiner unteren Version ist die algebraische Vielfachheit wie du sagtest 2 und nicht wie sie sein muss 3.
Du hast ja auch nur JordanKästchen auf der Diagonale.

Aber so wie ich es sehe macht es keinen Unterschied ob nun ein Beispielsweise JordanKästchen J(\lambda,2) so :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 1 & \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder halt wie in Wiki :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

definiert wird.

Demzufolge wäre unser JNF :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und in Wiki :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Beide bestehen aus 3 Jordankästchen mit dem Eigenwert = 2 und damit hat 2 doch eine algebraische Vielfachheit von 3.

Oder ich überseh mal wieder was

17.06.2007, 01:28

SilverBullet

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Achja die Informationen müssten doch die algebraische Vielfachheit wiedergeben da die Elementarteiler ja Primpotenzen sind.

17.06.2007, 11:18

WebFritzi

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Ich glaube, du hast mich nicht verstanden. Wiki oder deine Darstellung hin oder her... Du hattest geschrieben: "Und diese Informationen sind hier ausreichend für die JNF." Sind sie aber nicht. Wie gesagt fehlt noch die wichtige Information, welche geom. VFH der Eigenwert 2 besitzt. Diese sagt nämlich aus, wieviele Jordan-Kästchen wir haben. In deiner Version sind es drei und in meiner 2. Man müsste sich also noch anschauen, wie viele Dimensionen der Eigenraum des EWs 2 hat. Erst dann hat man alle Infos zusammen, um die JNF zu bestimmen.

@tigaabine: Danke für die Info. Das wusste ich bisher noch nicht. Wink

Wink

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