Symmetrie von Funktionen (Referat)

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sommer87 Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrie von Funktionen (Referat)
Hi,

mein Mathelehrer ist heute mittag zu mir gekommen und hat gemeint, dass ich am Montag ein Referat über die Symmetrie von Funktionen halten soll.

Wir hatten das Thema noch nicht, also soll ich versuchen es meiner Klasse bei zu bringen.

Bestandteil soll im großen und ganzen die Punkt- und Achsensymmetrie und die Herleitung von f(x)=f(-x) und f(-x)=-f(x) sein.
Alles mit ein paar Beispielen...

Jetzt meine Frage:

Hat das Thema vll grade irgendwer im Unterricht gehabt?
Wenn ja, wie habt ihr das erklärt bekommen?
Welche Beispiele sind ganz hilfreich und welches Grundwissen ist von vorteil?

dann noch eine Frage zu der Herleitung von f(x)=f(-x) mit graden Exponenten und f(-x)=-f(x) mit ungeraden Exponenten.

Gibt es dazu eine genaue Herleitung oder wird das anhand von Beispielen belegt?

Wäre das folgende schon eine Herleitung dafür?

"Für gerade Exponenten bei x gilt: also gilt für die jeweilige Funktion f: "


Schonmal Danke für alle Antworten und allen ein schönes Wochenende smile
Benny
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Sollst du nur die Achsensymmetrie zur y-Achse und Punktsymmetrie zum Ursprung behandeln oder auch andere Symmetrien?
sommer87 Auf diesen Beitrag antworten »

Er hat erstmal nur von Achsen- und Punktsymmetrie gesprochen.

das soll ich dann am Beispiel von Nicht-Polynomen und Polynomen anwenden.

Dann noch erklären, wie ein Achsen- bzw. Punktsymetriepolynom aussieht.


Der "Spezialfall" der Biquadratischen Gleichung ist ja einfach die Achsensymetrie zur y-Achse oder?

\\EDIT: falschen Fehler verbessert :P
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sommer87
Der "Spezialfall" der Biquadratischen Gleichung ist ja einfach die Achsensymetrie zum Ursprung oder?

...zur y-Achse Augenzwinkern (wenn sie nur gerade Exponenten enthält. Ich glaube das meinst du mit Spezialfall)
sommer87 Auf diesen Beitrag antworten »

ach mein ich doch... danke :P

Biquadratische Gleichungen haben ja nur gerade Exponenten also müssen sie sich ja zur y-Achse Achsensymetrisch spiegeln.

Nehme an, er hat nochmal drauf hingewisen, weil wir erst die biquadratischen Gleichungen wiederholt hatten...
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Einen formalen Beweis habe ich leider nicht. Ich könnte es auch nur logisch erklären.

Bei einer Achsensymmetrie zur y-Achse muss gelten, da durch die Geraden Exponenten, jedes Argument "positiviert".
 
 
sommer87 Auf diesen Beitrag antworten »

genau, und bei ungeraden Exponenten bei x gilt

, da bei der Potenzierung einer negativen Zahl mit einem ungeraden Exponenten immer eine negative Zahl als Produkt folgt.

also ist gleichzusetzen mit .

Stimmt das so?

Gibt es einen Beweis, dass eine Funktion Achsen- bzw- Punktsymmetrisch ist, wenn eine dieser beiden Gleichungen erfüllt ist?
Oder geht das auch wieder nur aus der logischen Argumetation und der Anschauung durch die Versuche hervor?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Sache ist wohl so evident, daß sich ein Beweis erübrigt. Deswegen wäre es wohl besser, durch viele Zeichnungen zu illustrieren, was dahintersteckt.

Man könnte das Referat so anfangen:

Man zeichnet einen Punkt, z.B. P(2|3). Dann fragt man die Zuhörer: Welche Koordinaten hat der Bildpunkt P' bei Spiegelung an der y-Achse (am Ursprung)? Das kann fast jeder beantworten. Und dann könnte man sich fragen, wie denn ein Polynom aussehen könnte, das solches bewirkt.
sommer87 Auf diesen Beitrag antworten »

hm, ja das wäre eine gute idee...

ich muss jetzt leider weg, werd mir ein paar Gedanken machen und mich morgen nochmal melden...

schon mal vielen Dank für die Hilfe smile


PS.: welche anderen symmetriearten gibt es in diesem zusammenhang noch?
ich soll ja zwar nichts drüber sagen, aber vll schadets trotzdem nicht Augenzwinkern
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Also man kann aber schon sowas zeigen, wie du es gemeint hast. Dass halt bei geraden Exponenten das minus aufgehoben wird usw. Das wäre dann auch ein Beweis für die Achsensymmetrie, wenn du die vorher geeignet "definierst" (vorher ein wenig veranschaulichen und anschließend sagen, dass eine Funktion halt achsensymmetrisch zur y-Achse ist, wenn f(-x)=f(x) und wenn du das hast, dann kannst du deine Aussage über Polynome mit geraden bzw. ungeraden Exponenten auch 'beweisen').

edit: Es gibt noch die Achsensymmetrie zu anderen senkrechten Geraden. Wenn eine Funktion achsensymmetrisch zur Geraden x=a ist, dann gilt für sie:



Und wenn sie punktsymmetrisch zum Punkt ist, dann gilt

Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich kann man zeigen, daß Polynome mit nur geraden Potenzen erfüllen. Aber daß diese Gleichung gerade die Achsensymmetrie kennzeichnet, ist evident und nicht beweisbar. Es ist sozusagen inhärent der Konstruktion von aus .
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Aber daß diese Gleichung gerade die Achsensymmetrie kennzeichnet, ist evident und nicht beweisbar.

Das kommt darauf an, wie man Achsensymmetrie definiert. Augenzwinkern Deswegen hatte ich ja auch gesagt, erstmal ne anschauliche Plausibilitätserklärung und dann das mehr oder weniger zur Definition erheben.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Das kommt darauf an, wie man Achsensymmetrie definiert. Augenzwinkern


Das wäre ja nicht weiter schwer.

Ein Automorphismus eines euklidischen Vektorraumes mit Skalarprodukt heißt Spiegelung, wenn ein existiert mit

Big Laugh
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt den armen jungen doch nicht so unglücklich

wenns nur um polynome geht, kann man ja den nachweis von f(x)=f(-x) und f(-x)=-f(x) zumindest formal hinschreiben.

dein polynom fürm gerade potenzen hat eben diese form:

-x einsetzen und.... ist klar.

dein polynom mit ungeraden potenzen hat eben diese form:

nachdem du hier elegant x ausgeklammert hast, kannst du das dann als f(x)=x*g(x) schreiben, dabei ist g(x) ein (inzwischen bekanntermaßen) zur y-achse symmetrisches polynom.
also ist dann f(-x)=(-x)*g(-x)=(-x)*g(x)=-(x*g(x))=-f(x)

und du hast 2 wunderschöne beweise, wovon der eine sogar den anderen verwendet.



noch ein hinweis: thema gebrochenrationale funktionen
sei f(x)=p(x)/q(x) ein gebrochenrationales polynom (p und q ganzrationale polynome)

kannst dir ja mal überlegen, ob du da ähnliches behaupten kannst für nur gerade und ungerade hochzahlen in p und q....

mfg jochen



edit: was editiert
sommer87 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

nochmal vielen Dank für die weitere Hilfe, war ganz lustig zu lesen Augenzwinkern
Nur soll ich das alle ja auch noch meiner Klasse erklären und unter 90 Minuten fertig sein Hammer

Also eine Definition für die Achsensymmetrie und die Verwendung von gebrochen rationalen Funktionen müssen leider erst noch mal ein bischen warten...
Aber es ist ganz interessant zu lesen smile
denke, das kommt dann nächstes halbjahr, aber wenn ich noch zeit habe kann schau ichs mir noch mal an...

Die Symmetrie zur gerade x=a und zum pkt (x/y) kommen noch rein, die stehen auch noch im buch drinnen und die "herleitung" von LOED finde ich auch ganz gut, vll auch leicht an einem beispiel zu zeigen...

mal ne kurze frage dazu:

f(x)=x*g(x) das ist klar, g(x) hat dabei dann wieder gerade exponenten und ist achsensymetrisch.

f(-x)=(-x)*g(-x) ok, -x eingesetzt...

=(-x)*g(x) --> wo ist das minus hin? (bei g(-x))

kommt das daher, dass g(x) achsensymetrisch zur y-achse ist und somit g(x)=g(-x) gilt?
dann wäre g(-x) umgekehrt auch g(x) und es würde passen.
hoffe mein gedankengang ist richtig...


gute nacht Schläfer

Benny
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

genau, das ist die idee die dahintersteckt....
du klammerst -x aus, den rest kannst du als "gerades-exponenten"-polynom behandeln (indem du einfach g(-x)=g(x) sagst) und danach kannst das x wieder reinziehen, wobei das - vorne davor verbleibt.

als nette idee, kannst du die leute zum abschluss auch noch fragen, ob sie glauben, dass es eine zur y-achse und zum ursprung symmetrische funktion gibt.... (natürlich f(x)=0)
oder du gibst ihnen als knobelhausaufgabe auf, eine solche funktion zu konstruieren Augenzwinkern

mfg jochen
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Oder wie wäre es mit einer Funktion, die zur Geraden mit der Gleichung y=x symmetrisch ist ? (Dafür taugt jede Funktion, die zu sich selbst invers ist; einfache Beispiele sind f(x)=1/x oder f(x)=5-x.)
sommer87 Auf diesen Beitrag antworten »

hm, mit der HA muss ich mir mal überlegen, aber ich denke, da könnte ich im uricht eine knobelfrage in der richtung stellen.

der begriff invers hab ich zwar im inet gefunden, aber er taucht nirgendwo in meinen schulbüchern auf, denke also das ginge dann zu weit, oder wann wird das normal durchgenommen bzw wobei?


Zur Symmetrie mit Sinus un Kosinus gibt es denke ich dann auch keinen allgemeinen Beweis oder?
lediglich nur die Aussagen sin(-x)= -sin(x) und cos(x)=cos(-x).

Mal eine Frage (vll eher an die Lehrer):
Wird zur Punkt- und Achsensymmetrie zur y-Achse bzw zum Ursprung auch gleich die Symmetrie zu einem bestimmten Punkt bzw einer bestimmten Geraden durchgeführt?
Oder kommt das erst in folgenden Unterrichtseinheiten drann?
Ich darf ja auch nicht zuviel rein packen, glaube nicht, dass ich die kompletten 2 Stunden dafür Zeit habe...

Und noch was zu den bestimmten Symmetriepunkten, -geraden:
Kann ich auch rechnerisch bestimmen, an welchem Punkt / welcher Gerade nun gespiegelt wird (ohne differentialrechnung usw.) ?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Zur Symmetrie mit Sinus un Kosinus gibt es denke ich dann auch keinen allgemeinen Beweis oder?
lediglich nur die Aussagen sin(-x)= -sin(x) und cos(x)=cos(-x).

wenn du lust hast, kannst du das am einheitskreis verdeutlichen....


edit: da kannst dann mit dem finger in beide richtungen rumlaufen Big Laugh
sommer87 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
wenn du lust hast, kannst du das am einheitskreis verdeutlichen....


Aber gibt es auch eine rechnerische herleitung oder was ähnliches wie bei f(x)=f(-x)...?
oder geht das nur am einheitskreis?

nochmal zu meiner letzten frage:
habt ihr zur symmetrie zum Ursprung / zur y-Achse auch gleich die Symmetrie zu einer bestimten Geraden / einem bestimmten Punkt dazu gemacht?
Oder macht man das normalerweise erst in folgenden Unterrichtseinheiten?
hummma Auf diesen Beitrag antworten »

Die rechnerische Herleitung gibts bestimmt, aber ich denk eine geometrische Veranschaulichung reicht voellig.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ich würde es bei den symmetrien zu anderen punkten/geraden mal bei der einfachen formelherleitung am bild und bei einfachen beispielen belassen.....
das wird sonst zu umfangreich!

mfg jochen
sommer87 Auf diesen Beitrag antworten »

ja, denke auch.
wenn ich das überhaupt mit reinbringen soll.

Werde jetzt mal ein paar Folien drucken, auf denen ein paar einfache Funktionen mit Graphen abgebildet sind und mir einen kurzen Text zusammenstellen.

denke die Hauptsache ist die Herleitung von f(x)=f(-x) und f(-x)=-f(x) und dann ein paar Bsps. dazu.

nur mit Sinus und Cosinus bin ich noch nicht ganz zufrieden, aber ich glaube das würde auch zuviel Zeit in Anspruch nehmen, das komplett herzuleiten.
das werde ich dann wohl auch nur kurz ansprechen...

nochmals vielen dank für eure Hilfe smile
und noch einen schönen Sonntag Abend

Benny
sommer87 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

komme gerade von dem Vortrag...

hab 15 Punkte drauf bekommen smile
nochmal vielen Danke für alle Antworten und Anregungen Freude
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hui, 15 punkte? gratuliere! Tanzen Tanzen Tanzen
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

super. Freude

auch von mir grautulation!!
sommer87 Auf diesen Beitrag antworten »

danke smile

die symmetrie zu bestimmten punkten bzw. geraden und die sinus und kosinus symmetrie waren garnicht mehr gefragt.
hatte mir also wieder mal zu viele gedanken gemacht Augenzwinkern

Der Vortrag hat knapp ne stunde gedauert und meine klasse hat gemeint, dass es ganz gut zu verstehen gewesen wäre (hoffe mal, sie waren ehrlich Augenzwinkern )

Hab das matheboard gleich mal mit in mein Quellenverzeichniss aufgenommen Freude
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