Schreibweise von Normalenform

08.01.2004, 22:31	Stan	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibweise von Normalenform Hab ne kleine Frage so zwischendurch. Sie Betrifft die Schreibweise von Ebenen, hab mir heute den Kopf durch zuviel pauken etwas verwirrt.. E1: -9 [-7; 4; -4] x -5 = 0 E2: 9 [7; -4; 4] x +5 = 0 Ahmm, kann man hoffentlich schon sagen, dass die beiden Ebenen identisch sind ?? Oder stehen sich die Normalenvektoren jetzt entgegen, quasi eine Ebene auf´m Kopf? Merci!! Stan
08.01.2004, 23:30	fALK dELUXE	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} E_1: -9 \(\array{-7\\4\\-4}\) \cdot \vec{x} - 5= 0 \end{align}$ $\begin{align} E_2: 9 * \(\array{7\\-4\\4}\) \cdot \vec{x} + 5= 0 \end{align}$ Zur groben Untersuchung der Lagebeziehung zweier Ebenen empfehle ich die Betrachtung in Koordinatenform. Die Umstellung aus der Normalenform geht relativ einfach: $\begin{align} E_1: \(\array{63\\-36\\36}\) \cdot \vec{x} = 5 \end{align}$ $\begin{align} E_2: \(\array{63\\-36\\36}\) \cdot \vec{x} = -5 \end{align}$ $\begin{align} E_1: 63x - 36y + 36z = 5 \end{align}$ $\begin{align} E_2: 63x - 36y + 36z = -5 \end{align*}$ Die beiden Ebenen sind echt parallel zu einander, denn die beiden linken Seiten der Gleichungen sind gleich bzw. können auch durch ein Vielfaches dargestellt werden. Die rechte Seite unterscheidet sich aber, somit sind die beiden Ebenen parallel zu einander. Identische wären bei Ebenen, wenn die rechten Seiten ebenfalls gleich wären, bzw. durch ein Vielfaches darstellbar wären. Das gleiche können wir jetzt auch auf die Normalenform anwenden. Jedoch hast du keine Normalenform angegeben, da bei dir der Stützvekor fehlt, deshalb geht dass nur bei deiner vereinfachten Variante: Nachdem man die 9 und die -9 in den Normalenvektor reingerechnet hat, erhält man jeweils den gleichen Normalenvektor, daraus folgt, dass beide Ebenen schon mal parallel oder identisch sind. Jedoch unterscheidet sich der Restterm -5 von 5, damit kann man sagen, dass die beiden Ebenen echt parallel zu einander sind. Ändert man das Vorzeichen aller Komponenten des Normalenvektors, so ändert sich nichts an der Lage der Ebene.
08.01.2004, 23:56	Stan	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die sehr aufschlussreiche und interessante Antwort. :] Kann man jetzt auch etwas zum Abstand der Ebenen sagen? Das dieser eventuell die Differenz der rechten Seite (-5 / +5 ) und somit 10 ist? Danke im voraus!
10.01.2004, 02:41	fALK dELUXE	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sag erstmal grundsätzlich nein. Aber ich weiß es zu diesem Zeitpunkt nicht. Es wird sich im Laufe der Rechnung zeigen, ob d(E1;E2) = 10LE beträgt. Doch zunächst versuchen wir erstmal eine gescheite Normalenform hinzubekommen, am besten gleich die Hesse'sche. $\begin{align} E_1: \(\array{63\\-36\\36}\) \cdot \vec{x} = 5 \end{align}$ Als erstes müssen wir einen stützvektor finden, um die Form: $\begin{align} \(\vec{x} - \vec{a}\) \cdot \vec{n} = 0 \end{align}$ hinzubekommen. Dazu können wir einfach einen Achsenabschnitt aus der Koordinatenform nehmen. Wir setzen y = 0 und z = 0, so erhalten wir x = $\begin{align} \frac{5}{63} \end{align}$ und den Stützvektor: $\begin{align} \(\array{\frac{5}{63}\\0\\0}\) \end{align}$ Zugegeben eine sehr unschöne Zahl... Nun erhalten wir: $\begin{align} E_1: \[ \vec{x} - \(\array{\frac{5}{63}\\0\\0}\)\]\cdot\(\array{63\\-36\\36}\) = 0 \end{align}$ Jetzt können wir den Normalenvektor mit 1/9 multiplizieren, ohne das sich etwas an der Ebene ändert, jedoch werden die Rechnungen einfacher. $\begin{align} E_1: \[ \vec{x} - \(\array{\frac{5}{63}\\0\\0}\)\]\cdot\(\array{7\\-4\\4}\) = 0 \end{align}$ Nun bringen wir die ganze Sache noch in die Hesse'sche Normalenform, d.h. wir normieren den Normalenvektor... und erhalten für $\begin{align} \vec{n_0} = \(\array{\frac{7}{9}\\\frac{-4}{9}\\\frac{4}{9}}\) \end{align}$ . Jetzt benötigen wir nur noch einen Ortsvektor eines Punktes der in der Ebene E2 liegt. Den können wir ebenfalls aus der Koordinatenform der Ebene E2 entnehmen: Setzen wir wieder für y = 0 und z = 0 ein, so erhalten wir den Vektor $\begin{align} \(\array{-\frac{5}{63}\\0\\0}\) \end{align}$ . Diesen Vektor können wir jetzt in die Hesse'sche Form einsetzen und wir erhalten nicht 0, sondern den Abstand zwischen beiden Ebenen: $\begin{align} d\(E_1;E_2\) = \\|\[\(\array{-\frac{5}{63}\\0\\0}\) - \(\array{\frac{5}{63}\\0\\0}\)\] \cdot \(\array{\frac{7}{9}\\\frac{-4}{9}\\\frac{4}{9}}\)\\|=\\|\(\array{-\frac{10}{63}\\0\\0}\)\cdot\(\array{\frac{7}{9}\\\frac{-4}{9}\\\frac{4}{9}}\)\\|= \frac{10}{81}\text{LE.} \end{align}$ Wenn ich jetzt keine großen/kleinen Fehler gemacht habe, dann müsste das deiner Vermutung widersprechen und das bedeutet, dass man den Abstand paralleler Ebenen nicht direkt aus der Koordinatenform ablesen kann. Ach übrigens, der größte Aufwand meiner Rechnung bestand nur darin eine gescheite Normalenform zu finden. Ich bitte dich, diese beim nächsten Mal oder generell in Zukunft selbst aufzustellen.

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