poisson verteilung

22.06.2007, 17:56

mopar

poisson verteilung

hallo

ich habe folgende Aufgabe zur Poisson 'Verteilung bekommen:

Gegeben sind die Beobachtungen eines radioaktiven Zerfalls eines Elementes. Sie beobachten die Anzahl der Zerfälle (Zerfalszahl k) innerhalb eines Zeitintervalls von 7,5 sec. Die Messung wurde insgesamt n-mal wiederholt.

Anzahl der Zerfaelle pro Zeiteinheit: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Häufigkeit der Beobachtung : 22 42 58 125 150 195 192 174 159 108 74

Passen sie den gemessenen Daten eine Poisson Verteilung an indem sie den Parameter µ der Verteilung berechnen.
Berechnen sie im nächsten Schritt die Differenz (Residuen) zwischen der gemessenen und der theorethischen absoluten Häufigkeitsverteilung für alle Zerfallszahlen. Bestimmen sie den Mittelwert und die Standardabweichung der Residuen.

Jetzt meine Frage: Das µ berechne ich doch so indem ich sage µ = sigma^2

und da mit sigma^2 $\begin{eqnarray*} = \frac{\sum_{k=1}^n~ (x-xmittel)^{2}}{n-1} \end{eqnarray*}$

wofür dann für mein sigma^2 dann = 18748900 wäre aber das ist doch ein extrem hoher wert oder nicht ? ich nehme für die x-Werte die Häufigkeit der Beobachtung und für xmittel logischerweise den mittelwert davon und mein n-1 = 9 aber irgendwo ist da bestimmt ein großer Fehler drin nur komm ich nicht drauf verwirrt

wäre sehr dankbar für Hilfe

22.06.2007, 18:16

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Mal ganz langsam: Was ist bei dir $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ? Ich nehme an, das soll der Parameter derjenigen Poissonverteilung sein, die die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Grundgesamtheit der vorliegenden Stichprobe ist, also $\begin{eqnarray*} X\sim\operatorname{Poisson}(\mu) \end{eqnarray*}$ . Diesen Parameter kannst du aber aus der Stichprobe nicht berechnen, sondern höchstens schätzen. Ein feiner Unterschied, denn es gibt durchaus unterschiedliche Schätzverfahren mit z.T. auch unterschiedlichen Ergebnissen für ein- und denselben Parameter ein- und derselben Stichprobe!

Du hast nun als Stichprobe die Werte $\begin{eqnarray*} x_k=k \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0,1,\ldots,10 \end{eqnarray*}$ jeweils mit den angegebenen absoluten Häufigkeiten $\begin{eqnarray*} h_k \end{eqnarray*}$ vorliegen. Nach welcher Methode willst du denn nun $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ schätzen? Naheliegend wären etwa Momenten- sowie Maximum-Likelihood-Methode, wobei im Fall der Poissonverteilung da zufällig mal dieselben Schätzer herauskommen, nämlich jeweils

$\begin{eqnarray*} \hat{\mu} = \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{10} x_k h_k = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{10} k h_k \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} n= \sum_{k=0}^{10} h_k \end{eqnarray*}$ die Stichprobengröße darstellt.

P.S.: Etwas verdächtig ist, dass bei $\begin{eqnarray*} k=10 \end{eqnarray*}$ noch ein so relativ hoher Wert $\begin{eqnarray*} h_{10}=74 \end{eqnarray*}$ auftaucht, aber keinerlei Werte 11 und größer... Das riecht nach Manipulation der Daten - oder aber unzulänglichen Messmethoden (Messgerät kann keine Anzahl größer 10 erfassen). Augenzwinkern

23.06.2007, 09:03

mopar

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Hallo danke für die Hilfe also mein µ ist die Häufigkeit das das Ereignis A einmal auftritt.
Und ich habe nur die Formel für die Wahrscheinlichkeit der Poisson-Verteilung gegeben
$\begin{eqnarray*} P(X=k)=\frac{mue^{k} }{k!} e^-mue \end{eqnarray*}$

sorry ich weiß leider nicht wie man das µ in dem Formeleditor schreibt. Es gibt also keinen direkten Weg das µ zu berechnen ??

23.06.2007, 10:58

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Es gibt überhaupt keinen Weg, das $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ aus der Stichprobe zu berechnen - wie meistens in der Statistik.

Ich wiederhole mich: Du kannst es allenfalls schätzen - und wie das geht, habe ich oben beschrieben.

P.S.: $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ wird innerhalb der LaTeX-Umgebung \mu geschrieben - hättest du auch selbst rausfinden können durch Drücken auf den Zitat-Knopf...

23.06.2007, 12:24

mopar

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ah ok vielen dank dann werde ich das so mal probieren

--- Doppelpost zusammengefügt! (Dual Space) ---

also ich habe das $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ jetzt mir deiner obigen Abschätzung ausgerechnet der Wert erscheint mir auch viel realistischer als den den ich zuerst raushatte vielen Dank smile

.
Ich kriege jetzt $\begin{eqnarray*} \mu = 5,74 \end{eqnarray*}$ raus.

Wenn ich jetzt die Differenz (Residuen) zwischen der gemessenen und der theorethischen absoluten Häufigkeitsverteilung für alle Zerfallszahlen bestimmen soll dann muss ich um die Differenz auszurechnen doch einfach $\begin{eqnarray*} H_itheoretisch=P(Xi)* \sum_{k=1}^n~h_k \end{eqnarray*}$ und für die Residuen dann einfach den jeweils beobachteten Wert abziehen oder? Wobei das $\begin{eqnarray*} H_itheoretisch=P(Xi) \end{eqnarray*}$ gleich der Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis auftritt ist oder?

24.06.2007, 13:25

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Zitat:

Original von mopar
Wenn ich jetzt die Differenz (Residuen) zwischen der gemessenen und der theorethischen absoluten Häufigkeitsverteilung für alle Zerfallszahlen bestimmen soll dann muss ich um die Differenz auszurechnen doch einfach $\begin{eqnarray*} H_itheoretisch=P(Xi)* \sum_{k=1}^n~h_k \end{eqnarray*}$ und für die Residuen dann einfach den jeweils beobachteten Wert abziehen oder? Wobei das $\begin{eqnarray*} H_itheoretisch=P(Xi) \end{eqnarray*}$ gleich der Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis auftritt ist oder?

Hmmm, ein bisschen geht es bei dir durcheinander: Was soll das $\begin{eqnarray*} H_i \end{eqnarray*}$ jetzt bei dir denn nun sein: die theoretisch zu erwartende relative oder doch absolute Häufigkeit? Ich gehe mal vom zweiten aus, das wäre dann

$\begin{eqnarray*} H_i = P(X=i)\cdot n \end{eqnarray*}$

mit Stichprobenanzahl $\begin{eqnarray*} n=\sum_{i=1}^{10} h_i \end{eqnarray*}$ und Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(X=i)=\frac{\mu^i}{i!} e^{-\mu} \end{eqnarray*}$ auf der Basis des geschätzten $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ .

(Anmerkung: Mein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ hat offenbar eine andere inhaltliche Bedeutung als das von dir verwendete $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ...)

Und dann kannst du direkt die Differenz $\begin{eqnarray*} H_i-h_i \end{eqnarray*}$ betrachten und damit anstellen, was auch immer du damit vorhast (Chi-Quadrat-Anpassungstest o.ä. ? ).

EDIT: Schreibfehler...

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