Schneiden von Ebenen

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Marlene7 Auf diesen Beitrag antworten »
Schneiden von Ebenen
Wenn man 2 Ebenen schneidet, soll ja eine Gerade herauskommen.

Wie berechne ich aber den Stützvektor dieser Geraden?

Die Methode meiner Professorin verstehe ich überhaupt nicht, sie sagt da irgendetwas von x = 0 (x null setzen) und y und z passend dazu ausrechnen *nixkapier* verwirrt
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schneiden von Ebenen
schreib mal ein beispiel auf,

werner
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Wenn du zwei Ebenen in Normalkoordiantenform gegeben hast, etwa

3x - y + 2z = 6
2x + y - z = 14

ist dieses lin. Gl. System aufzulösen. Die Ebenen sollen im Allgemeinen nicht parallell (Widerspruch) oder identisch (identische Gleichungen) sein.

Da nur zwei Gleichungen vorhanden sind, kann man eine (beliebige) Variable vorgeben, eben z.B. z = 0

Daraus

3x - y = 6
2x + y = 14
-----------------
5x = 20

x = 4, y = 6

Damit ist zwar nun ein Anfangspunkt (4; 6; 0) festgelegt, nicht aber der Richtungsvektor der Geraden.
Deshalb ist es besser, für z nicht 0, sondern gleich etwa 0 + t = t zu setzen, denn t ist dann der Paranmeter in der (Parameter-)Gleichung der Geraden.

z = t

3x - y = 6 - 2t
2x + y = 14 + t
-----------------------
5x = 20 - t
x = 4 - t/5
°°°°°°°°°°°
y = 6 + 7t/5
°°°°°°°°°°°°

Der Richtungsvektor wird durch die Koeffizienten von t festgelegt, er ist hier (-1/5 ; 7/5; 1), man kann ihn noch mit 5 erweitern (verlängern)
»»
(-1; 7; 5)

Daraus erhalten wir für die Gerade: X = (4;6;0) + t*(-1; 7; 5)

Gr
mYthos
Marlene7 Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine Frage:

Wenn ich 2 Geraden im Raum schneide, wie erkenne ich jeweils welche Lagebeziehung sie haben?
PK Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst da eigentlich nur die Spann- und Stützvektoren und deren lineare abhängigkeit Betrachten.

es gibt drei verschieden Lagen von Geraden zueinander:

Sie sind identisch: Die einzelnen Stützvektoren lassen sich mit der anderen Ebenengleichung darstellen.

Sie schneiden sich: Wenn du die Ebenen gleichsetzt, bekommst du am Ende eine Schnittgerade, oder du machst es wie oben beschrieben mit der Koordinatenform

Sie sind parallel: Richtungsvektoren sind linear abhängig, aber die Stützvektoren liegen nicht auf der gleichen Ebene.
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
Lagebeziehungen von Geraden
wenn du zwei geraden im raum SCHNEIDEST, dann bekommste einen Schnittpunkt raus.
Wenn nicht dann sind die geraden entweder parallel oder identisch oder windschief.

IDentisch sind sie, wenn die beiden Richtungsvektoren bzw. die beiden Ortsvektoren identisch sind.

Paralle, wenn die beiden Richtungsvektoren vielfache von einander sind

Windschief, wenn die beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und ihre Richtungsvektoren linear unabhängig sind. War glaub ich so!


gruß dennis
 
 
Denjell Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagebeziehungen von Geraden
Zitat:
Original von brunsi
IDentisch sind sie, wenn die beiden Richtungsvektoren bzw. die beiden Ortsvektoren identisch sind.


Da würde ich nich zustimmen.
Meiner Ansicht nach müssen für die Identität diese 2 Bedingungen erfüllt sein:

1) Die Richtungsvektoren müssen linear abhängig sein (Vielfache von einander).

2) Der Ortsvektor von Gerade a muss Bestandteil von Gerade b sein(oder umgekehrt).


Ist nur 1) erfüllt handelt es sich um parallele Geraden.

Ist 1) nicht erfüllt gilt es den Schnittpunkt zu bestimmen (Geraden gleichsetzen).

Existiert dieser schneiden sich die Geraden, existiert er nicht sind sie windschief.

MfG
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