Berechnung einer Länge(Vektoren)

23.06.2007, 15:38

PG

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Berechnung einer Länge(Vektoren)

Hi
Es geht um folgende Aufgabe:
Wir haben einen Punkt $\begin{eqnarray*} R(14/-3/19) \end{eqnarray*}$ und die Kugel
K: $\begin{eqnarray*} (x+2)^2+(y-5)^2+(z-3)^2=196 \end{eqnarray*}$
Nun erhalten wir einén Punkt S, wenn wir durch R eine Gerade ziehen, die die Kugel berührt.
Berechnen sollen wir die Länge $\begin{eqnarray*} |\vec{AS}| \end{eqnarray*}$
Wie gehe ich da vor?
Ich habe viele Überlegungen angestellt. Z.B. müsste gelten:

$\begin{eqnarray*} \vec{MS}*\vec{RS}=0 \end{eqnarray*}$
Aber hat mir nicht weitergeholfen.
Außerdem können wir noch eine Gerade durch M und R aufstellen und dann die Schnittpunkte mit der Kugel berechnen- hilft aber leider auch nicht weiter.

Übrigens sieht die Zeichnung so aus(ihr müsst euch eine Kugel vorstellen):

edit: wie macht ihr die guten Zeichnungen?

23.06.2007, 15:43

riwe

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RE: Berechnung einer Länge(Vektoren)
was ist A verwirrt

verwirrt

23.06.2007, 16:06

riwe

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RE: Berechnung einer Länge(Vektoren)
unter der annahme A = M kann ich dir 2 berührpunkte von vielen anbieten:

$\begin{eqnarray*} B(\frac{1}{4}(29\pm\sqrt{255}/0/\frac{1}{4}(14\mp\sqrt{255})) \end{eqnarray*}$

rechenfehler vorgehalten

andererseits wenn gilt A=M, ist nichts zu rechnen, denn es gilt ja immer
$\begin{eqnarray*} |AS| = r \end{eqnarray*}$

23.06.2007, 16:13

PG

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Schau dir die Zeichnung an- M ist nicht gleich A- oder wie meinst du das?
edit: und es gilt auch nicht |AS|=r ...

edit2: A siehst du in der Zeichnung. Es liegt auf der Geraden von M nach R.

23.06.2007, 16:26

riwe

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als ich meine frage stellte, war dein gemälde noch nicht on board unglücklich

unglücklich

ich bin gerade zu faul zum schauen

die neugier hat gesiegt,
ich habe doch geschaut, das habe ich ja schon Big Laugh

Big Laugh

A(2.90/2.55/7.90)
wie üblich mit und ohne fehler böse

böse

im ernst:
berechne den schnittkreis der berührungspunkte des tangentialkegels

23.06.2007, 16:41

mYthos

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RS ist die Seitenlinie des an die Kugel angelegten Tangentialkegels. Das Dreieck MRS ist deswegen rechtwinkelig. Die Seite MR ist zu berechnen, desgleichen RS, und MS ist ja bereits r. AS ist dann die Höhe in diesem Dreieck auf die Hypotenuse. Für sie gilt

$\begin{eqnarray*} h = AS = \frac{MS \ . \ RS}{MR} \end{eqnarray*}$

mY+

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23.06.2007, 17:14

PG

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Zitat:

Original von riwe
berechne den schnittkreis der berührungspunkte des tangentialkegels

Das versteh ich nicht unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von mYthos
$\begin{eqnarray*} h = AS = \frac{MS \ . \ RS}{MR} \end{eqnarray*}$

Aber die Frage ist dann: Wie kommst du auf diese nie gesehenen Formel? Und ist das ein Malpunkt im Zähler?

23.06.2007, 17:24

riwe

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zur formel von mythos
2 mal gundlinie mal höhe im rechtwinkeligen dreieck,
einmal die beiden katheten, einmal hypothenuse mal zugehöriger höhe

wenn du nur die länge AS benötigst, ist die methode von mythos viel eleganter Freude

Freude

edit:

$\begin{eqnarray*} (\vec{x}-\vec{p})\cdot(\vec{p}-\vec{m})=r² \end{eqnarray*}$

ist die "polare" ebene des tangentialkegels von P, die den schnittkreis der berührungspunkte enthält.
und mit der üblichen methode kannst du jetz mittelpunkt und radius des schnittkreies A bestimmen.

23.06.2007, 17:36

PG

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Ich weiß nicht, wie er es sich hergeleitet hat- Riwe, kannst du mir bitte die Herleitung mathematisch(mit Variablen und Zahlen) zeigen?

23.06.2007, 17:49

riwe

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das hat doch mythos eh super erklärt.

aber vielleicht geht es mit bilderl besser
mit den üblichen bezeichnungen im rechtwinkeligen dreieck, steht da:

$\begin{eqnarray*} 2A=a\cdot b=c\cdot h_c \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} a = r=MS \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b = PS \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} c = PM \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h_c=AS \end{eqnarray*}$

23.06.2007, 18:10

PG

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Ist
$\begin{eqnarray*} h=11,37 \end{eqnarray*}$ ?

Jetzt habe ich zwar nachvollzogen, wie Mythos auf diese Formel kommt, aber ich will es nochmal zeigen:

$\begin{eqnarray*} \vec{AS}*\vec{MR}=\vec{MS}*\vec{RS} \end{eqnarray*}$
Also ein Skalarprodukt.

Aber nun darf ich einfach als Betrag setzen und multiplizieren:
$\begin{eqnarray*} |\vec{AS}|\cdot|\vec{MR}|=|\vec{MS}|\cdot|\vec{RS}| \end{eqnarray*}$

Aber warum gilt das gerade? Ich brauche eigentlich nur eine kurze Erklärung, denn ich will euch damit nicht lange aufhalten.
Eigentlich müsste folgendes gelten:
$\begin{eqnarray*} |\vec{AS}|\cdot|\vec{MR}|cos(90°)=|\vec{MS}|\cdot|\vec{RS}|cos(90°) \end{eqnarray*}$ nd das wäre

$\begin{eqnarray*} 0=0 \end{eqnarray*}$

...

23.06.2007, 18:34

riwe

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Zitat:

Original von PG
Ist
$\begin{eqnarray*} h=11,37 \end{eqnarray*}$ ?

Jetzt habe ich zwar nachvollzogen, wie Mythos auf diese Formel kommt, aber ich will es nochmal zeigen:

$\begin{eqnarray*} \vec{AS}*\vec{MR}=\vec{MS}*\vec{RS} \end{eqnarray*}$
Also ein Skalarprodukt.
NEIN

es ist zwar richtig vom ergebnis her, da beide vektorpaare jeweils senkrecht aufeinand stehen,
aber so läuft die argumentation (3 = 2 wegen 3*0 = 2*0) nicht,
das ergäbe zu ende gebracht A = 0 verwirrt

verwirrt

.

Aber nun darf ich einfach als Betrag setzen und multiplizieren:
JA
$\begin{eqnarray*} |\vec{AS}|\cdot|\vec{MR}|=|\vec{MS}|\cdot|\vec{RS}| \end{eqnarray*}$

Aber warum gilt das gerade? Ich brauche eigentlich nur eine kurze Erklärung, denn ich will euch damit nicht lange aufhalten.
Eigentlich müsste folgendes gelten:
$\begin{eqnarray*} |\vec{AS}|\cdot|\vec{MR}|cos(90°)=|\vec{MS}|\cdot|\vec{RS}|cos(90°) \end{eqnarray*}$ nd das wäre

$\begin{eqnarray*} 0=0 \end{eqnarray*}$

...

nein kein skalarprodukt, es handelt sich um STRECKEN bzw. deren längen, nicht VEKTOREN

daher darfst du NUR die beträge = strecken = zahlen multiplizieren

warum das so ist, steht doch oben:
so berechnet man die fläche eines rechtwinkeligen dreiecks

jetzt klarer verwirrt

verwirrt

edit:

ja dein ergebnis stimmt.
am beispiel
$\begin{eqnarray*} RS = \sqrt{380} \end{eqnarray*}$
RM = 24, r = 14

daher

$\begin{eqnarray*} 24\cdot AS = 14\cdot\sqrt{380}\to h = AS = 11.37 \end{eqnarray*}$

23.06.2007, 18:42

PG

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Ok soweit so gut Big Laugh

Big Laugh

Du meinst also Fläche eines Dreiecks?
Für Fläche eines Dreiecks aber gilt:
$\begin{eqnarray*} A=0,5\cdot g\cdot h \end{eqnarray*}$

Nach h auflösen bedeutet:
$\begin{eqnarray*} h=\frac{2A}{g} \end{eqnarray*}$

In diesem Fall wäre g die Hypotenuse, die wir ja haben, aber die Fläche haben wir nicht... Eigentlich ist das das hauptsächliche Problem- wie kommt er von der Flächenformel eines Dreiecks auf diese andere Formel(s.o.)??

edit: vielleicht weil bei einem rechtwinkligen Dreieck gilt: $\begin{eqnarray*} A=Kathete*Kathete/2 \end{eqnarray*}$
... Das hattest du ja vorhin gesagt und das könnte ich nachvollziehen.

23.06.2007, 18:54

riwe

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Zitat:

Original von PG
Ok soweit so gut Big Laugh

Big Laugh

Du meinst also Fläche eines Dreiecks?
Für Fläche eines Dreiecks aber gilt:
$\begin{eqnarray*} A=0,5\cdot g\cdot h \end{eqnarray*}$

Nach h auflösen bedeutet:
$\begin{eqnarray*} h=\frac{2A}{g} \end{eqnarray*}$

In diesem Fall wäre g die Hypotenuse, die wir ja haben, aber die Fläche haben wir nicht... Eigentlich ist das das hauptsächliche Problem- wie kommt er von der Flächenformel eines Dreiecks auf diese andere Formel(s.o.)??

edit: vielleicht weil bei einem rechtwinkligen Dreieck gilt: $\begin{eqnarray*} A=Kathete*Kathete/2 \end{eqnarray*}$
... Das hattest du ja vorhin gesagt und das könnte ich nachvollziehen.

jetzt paßt es Freude

Freude

genau das hat mythos in seinem beitrag geschrieben

23.06.2007, 18:59

mYthos

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Entweder aus

$\begin{eqnarray*} 2A = a \cdot b = c \cdot h \end{eqnarray*}$

oder aus der Verhältnisgleichung (Ähnlichkeit der Teildreiecke!!)

$\begin{eqnarray*} a : c = h : b \end{eqnarray*}$

mY+

Ja, und h = 11,37126, stimmt!

P.S.: Mich wundert immer wieder, dass diese Beziehung und auch ihre Herleitung eigentlich so wenig bekannt ist!

23.06.2007, 19:01

PG

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Zitat:

Original von mYthos
oder aus der Verhältnisgleichung (Ähnlichkeit der Teildreiecke!!)

$\begin{eqnarray*} a : c = h : b \end{eqnarray*}$

Es ist immer interessant, was ihr da erzählt. Ist dieses Verhältnis eine Eigenschaft eines rechtwi. Dreiecks?

23.06.2007, 19:07

mYthos

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Ja, so ist es. In beiden Teildreiecken und dem ganzen Dreieck gibt es nämlich den (bzw. die) gleichen Winkel! Somit ist dessen Sinus (EDIT: Gegenkathete zu Hypotenuse) jeweils gleich.

$\begin{eqnarray*} \sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{h}{b} \end{eqnarray*}$

mY+

23.06.2007, 19:09

PG

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cool- Vielen Danke Mythos Big Laugh

Big Laugh

Lehrer

edit: ist h=11,37 richtig?

23.06.2007, 19:17

PG

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Zitat:

Original von mYthos
Ja, so ist es. In beiden Teildreiecken und dem ganzen Dreieck gibt es nämlich den (bzw. die) gleichen Winkel! Somit ist dessen Sinus (Ankathete zu Hypotenuse) jeweils gleich.

Du meinst sicherlich Gegenkathete Augenzwinkern

Augenzwinkern

siehe edit!

23.06.2007, 19:27

mYthos

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Sorry, verschrieben, ja klar!

h = 11,37126 ist richtig!

mY+

23.06.2007, 19:28

PG

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Trotzdem Danke, aber kannst du noch das Ergebnis bestätigen?
Vielen Dank an euch beiden(Mythos und Riwe) !!

23.06.2007, 19:29

mYthos

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h = 11,37126 ist richtig!

mY+

Das schrieb ich auch schon vorher!

Zitat:

Original von mYthos
...
Ja, und h = 11,37126, stimmt!

P.S.: Mich wundert immer wieder, dass diese Beziehung und auch ihre Herleitung eigentlich so wenig bekannt ist!

23.06.2007, 19:33

PG

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Danke Meister :P

23.06.2007, 19:37

riwe

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Zitat:

Original von riwe

ja dein ergebnis stimmt.
am beispiel
$\begin{eqnarray*} RS = \sqrt{380} \end{eqnarray*}$
RM = 24, r = 14

daher

$\begin{eqnarray*} 24\cdot AS = 14\cdot\sqrt{380}\to h = AS = 11.37 \end{eqnarray*}$

und ich habe es auch schon bestätigt Big Laugh

Big Laugh

aber x-fach gemoppelt

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